MATEMATICA 2025-2026 - SCQ1096919
Schema della sezione
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Spazi vettoriali: definizione ed esempi. Vettori linearmente dipendenti o indipendenti. Insiemi di generatori.
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Basi di uno spazio vettoriale. La base canonica di R^n. Dimensione di uno spazio vettoriale. Esercizi su vettori linearmente indipendenti e basi. Spazi vettoriali finitamente generati. Coordinate di un vettore rispetto a una base fissata. Passaggio da una base ad un'altra (cambiamento del sistema di riferimento). Sottospazi vettoriali. Esercizi sui sottospazi vettoriali (calcolo della dimensione e di una base di un sottospazio vettoriale).
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Intersezione e unione di sottospazi vettoriali. Somma di due sottospazi vettoriali. Somma diretta. Esercizi su intersezione e somma di sottospazi vettoriali.
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Formula di Grassmann. Esercizi su sottospazi vettoriali, sistemi di generatori, basi, intersezione e somma di sottospazi vettoriali.
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Esercizi su sistemi lineari e matrici. Il rango (per righe) di una matrice. Esercizi sulla riduzione di una matrice in forma a scala. Applicazioni al calcolo di una base di un sottospazio vettoriale. Operazioni tra matrici e loro proprietà. Il problema del calcolo dell'inversa di una matrice.
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Definizione di funzione lineare tra due spazi vettoriali. Proprietà delle funzioni lineari. Esempi di funzioni lineari e non lineari. La matrice associata a una funzione lineare.
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La matrice associata a una funzione lineare. Nucleo e immagine di una funzione lineare. Rango di una matrice e dimensione dell'immagine. Teorema sulle dimensioni di nucleo e immagine.
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Il determinante di una matrice. Calcolo del determinante di matrici di ordine 2 e 3. Alcune proprietà del determinante. Calcolo del determinante di una matrice mediante la formula di Laplace.
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Alcune proprietà del determinante. Effetto delle operazioni elementari (su righe o colonne) sul calcolo del determinante. Calcolo del determinante di una matrice mediante la riduzione a forma a scala.
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Formula esplicita per il calcolo dell'inversa di una matrice. Calcolo dell'inversa di una matrice mediante l'eliminazione di Gauss.
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Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali separabili. Problemi di Cauchy. Esempi.
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Tipi di equazioni differenziali. Risoluzione di equazioni lineare di primo ordine omogenee. Esempi. Soluzione generale di equazioni non-omogenee, partendo da una soluzione particolare.
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Equazioni differenziali lineari di primo ordine non-omogenee: metodo della variazione della costante. Risoluzione di esercizi. Equazioni differenziali lineari di secondo ordine a coefficienti costanti - una introduzione.
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Ripasso sui numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso e operazioni aritmetiche con numeri complessi. Proprietà delle operazioni, e calcolo dell'inverso di un numero complesso non-nullo.
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Ripasso della forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Soluzioni di un'equazione polinomiale di secondo grado sui complessi. Equazioni di secondo ordine omogenee a coefficienti costanti - soluzione generale.
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Risoluzione di equazioni differenziali lineari omogenee di secondo ordine a coefficienti costanti. Esempi. Problemi di Cauchy di secondo ordine. Metodo della somiglianza per trovare soluzioni di equazioni non-omogenee.
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Introduzione alle funzioni in varie variabili. Limiti, continuità e derivate direzionali. Esempi.
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Derivate parziali. Il vettore gradiente come direzione di massima variazione. Il piano tangente al grafico di una funzione in due variabili. Punti critici. Esempi.
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Seconde derivate parziali. Teorema di Schwarz. La matrice Hessiana. Classificazione dei punti critici di funzioni in due variabili. Esempi.
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Funzioni in più di due variabili - alcune osservazioni. Esercizi e applicazioni delle tecniche sulle funzioni in due variabili.
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Breve introduzione allo studio dei campi vettoriali. Divergenza e rotore. Il campo vettoriale gradiente. Esempi.
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Sistemi di m equazioni lineari a n incognite. Soluzioni. Operazioni elementari sulle equazioni. Matrice completa associata ad un sistema di equazioni lineari.
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Matrici. Operazioni elementari sulle matrici. Algoritmo di eliminazione Gaussiana. Esempi.
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Risoluzione di sistemi di equazioni lineari con eliminazione Gaussiana. Rango di una matrice ridotta. Teorema di Rouche-Cappelli. Esempi. Applicazione al bilanciamento di una reazione chimica.
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Problemi su la risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Introduzione agli spazi vettoriali - motivazione, definizione ed esempi.
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I numeri reali positivi come spazio vettoriale sui numeri reali - verifica degli assiomi.
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Combinazioni lineari. Sottospazi. Esempi ed esercizi.
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Un sottoinsieme è un sottospazio se e solo se è chiuso per combinazioni lineari. L'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogeneo è un sottospazio. L'intersezione di sottospazi è un sottospazio.
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Generatori di un sottospazio vettoriale. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Equazioni cartesiane. Esempi.
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Dipendenza e indipendenza lineare. Base di uno spazio vettoriale. Esempi.
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Esempi di basi. Esistenza di basi in uno spazio generato da un numero finito di vettori. Algoritmo per costruire basi partendo da un insieme di generatori.
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Unicità delle coordinate rispetto ad una base. Esempi.
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Teorema dello scambio e applicazioni alla costruzioni di basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Esempi.
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Esempio: i numeri complessi come spazio vettoriale reale. Caratterizzazioni di una base di uno spazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio. Sottospazi di R^2 e R^3.
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Esempio di calcolo di basi per l'intersezione e la somma di sottospazi. Formula di Grassmann. Sottospazi in sommo diretta. Complemento di un sottospazio vettoriale in uno spazio vettoriale.
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Algoritmo per il calcolo di un complemento di un sottospazio vettoriale. Il rango di una matrice come dimensione del sottospazio generato dalle righe.
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Rango di una matrice, teorema di Rouchè Cappelli (versione 2). Applicazioni e osservazioni.
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Revisione di integrali; equazioni differenziali di primo ordine; problemi di Cauchy di primo ordine.
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Revisione studio di funzioni e calcolo di aree. Revisione operazioni sui numeri complessi e le sue forme algebriche e trigonometriche/esponenziali. Equazioni differenziali di secondo ordine omogenee.
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Equazioni differenziali lineari di secondo ordine non-omogenee. Funzioni a varie variabili.
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