MATEMATICA 2025-2026 - SCQ1096919
Schema della sezione
-
-
Spazi vettoriali: definizione ed esempi. Vettori linearmente dipendenti o indipendenti. Insiemi di generatori.
-
Basi di uno spazio vettoriale. La base canonica di R^n. Dimensione di uno spazio vettoriale. Esercizi su vettori linearmente indipendenti e basi. Spazi vettoriali finitamente generati. Coordinate di un vettore rispetto a una base fissata. Passaggio da una base ad un'altra (cambiamento del sistema di riferimento). Sottospazi vettoriali. Esercizi sui sottospazi vettoriali (calcolo della dimensione e di una base di un sottospazio vettoriale).
-
-
Intersezione e unione di sottospazi vettoriali. Somma di due sottospazi vettoriali. Somma diretta. Esercizi su intersezione e somma di sottospazi vettoriali.
-
Formula di Grassmann. Esercizi su sottospazi vettoriali, sistemi di generatori, basi, intersezione e somma di sottospazi vettoriali.
-
-
Esercizi su sistemi lineari e matrici. Il rango (per righe) di una matrice. Esercizi sulla riduzione di una matrice in forma a scala. Applicazioni al calcolo di una base di un sottospazio vettoriale. Operazioni tra matrici e loro proprietà. Il problema del calcolo dell'inversa di una matrice.
-
Definizione di funzione lineare tra due spazi vettoriali. Proprietà delle funzioni lineari. Esempi di funzioni lineari e non lineari. La matrice associata a una funzione lineare.
-
La matrice associata a una funzione lineare. Nucleo e immagine di una funzione lineare. Rango di una matrice e dimensione dell'immagine. Teorema sulle dimensioni di nucleo e immagine.
-
Il determinante di una matrice. Calcolo del determinante di matrici di ordine 2 e 3. Alcune proprietà del determinante. Calcolo del determinante di una matrice mediante la formula di Laplace.
-
Alcune proprietà del determinante. Effetto delle operazioni elementari (su righe o colonne) sul calcolo del determinante. Calcolo del determinante di una matrice mediante la riduzione a forma a scala.
-
Formula esplicita per il calcolo dell'inversa di una matrice. Calcolo dell'inversa di una matrice mediante l'eliminazione di Gauss.
-
-
-
-
Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali separabili. Problemi di Cauchy. Esempi.
-
Tipi di equazioni differenziali. Risoluzione di equazioni lineare di primo ordine omogenee. Esempi. Soluzione generale di equazioni non-omogenee, partendo da una soluzione particolare.
-
Equazioni differenziali lineari di primo ordine non-omogenee: metodo della variazione della costante. Risoluzione di esercizi. Equazioni differenziali lineari di secondo ordine a coefficienti costanti - una introduzione.
-
Ripasso sui numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso e operazioni aritmetiche con numeri complessi. Proprietà delle operazioni, e calcolo dell'inverso di un numero complesso non-nullo.
-
Ripasso della forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Soluzioni di un'equazione polinomiale di secondo grado sui complessi. Equazioni di secondo ordine omogenee a coefficienti costanti - soluzione generale.
-
Risoluzione di equazioni differenziali lineari omogenee di secondo ordine a coefficienti costanti. Esempi. Problemi di Cauchy di secondo ordine. Metodo della somiglianza per trovare soluzioni di equazioni non-omogenee.
-
-
Introduzione alle funzioni in varie variabili. Limiti, continuità e derivate direzionali. Esempi.
-
Derivate parziali. Il vettore gradiente come direzione di massima variazione. Il piano tangente al grafico di una funzione in due variabili. Punti critici. Esempi.
-
-
-
Revisione di integrali; equazioni differenziali di primo ordine; problemi di Cauchy di primo ordine.
-
Revisione studio di funzioni e calcolo di aree. Revisione operazioni sui numeri complessi e le sue forme algebriche e trigonometriche/esponenziali. Equazioni differenziali di secondo ordine omogenee.
-
Equazioni differenziali lineari di secondo ordine non-omogenee. Funzioni a varie variabili.
-
-
-
-