Lezioni per tutti gli studenti (Prof. Vitória)

Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali separabili. Problemi di Cauchy. Esempi.

Tipi di equazioni differenziali. Risoluzione di equazioni lineare di primo ordine omogenee. Esempi. Soluzione generale di equazioni non-omogenee, partendo da una soluzione particolare.

Equazioni differenziali lineari di primo ordine non-omogenee: metodo della variazione della costante. Risoluzione di esercizi. Equazioni differenziali lineari di secondo ordine a coefficienti costanti - una introduzione.

Ripasso sui numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso e operazioni aritmetiche con numeri complessi. Proprietà delle operazioni, e calcolo dell'inverso di un numero complesso non-nullo.

Ripasso della forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Soluzioni di un'equazione polinomiale di secondo grado sui complessi. Equazioni di secondo ordine omogenee a coefficienti costanti - soluzione generale.

Risoluzione di equazioni differenziali lineari omogenee di secondo ordine a coefficienti costanti. Esempi. Problemi di Cauchy di secondo ordine. Metodo della somiglianza per trovare soluzioni di equazioni non-omogenee.

Esempi di uso del metodo di somiglianza.

Introduzione alle funzioni in varie variabili. Limiti, continuità e derivate direzionali. Esempi.

Derivate parziali. Il vettore gradiente come direzione di massima variazione. Il piano tangente al grafico di una funzione in due variabili. Punti critici. Esempi.

Seconde derivate parziali. Teorema di Schwarz. La matrice Hessiana. Classificazione dei punti critici di funzioni in due variabili. Esempi.

Funzioni in più di due variabili - alcune osservazioni. Esercizi e applicazioni delle tecniche sulle funzioni in due variabili. 

Breve introduzione allo studio dei campi vettoriali. Divergenza e rotore. Il campo vettoriale gradiente. Esempi.

Sistemi di m equazioni lineari a n incognite. Soluzioni. Operazioni elementari sulle equazioni. Matrice completa associata ad un sistema di equazioni lineari.

Matrici. Operazioni elementari sulle matrici. Algoritmo di eliminazione Gaussiana. Esempi.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari con eliminazione Gaussiana. Rango di una matrice ridotta. Teorema di Rouche-Cappelli. Esempi. Applicazione al bilanciamento di una reazione chimica.

Problemi su la risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Introduzione agli spazi vettoriali - motivazione, definizione ed esempi.

I numeri reali positivi come spazio vettoriale sui numeri reali - verifica degli assiomi.

Combinazioni lineari. Sottospazi. Esempi ed esercizi.

Un sottoinsieme è un sottospazio se e solo se è chiuso per combinazioni lineari. L'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogeneo è un sottospazio. L'intersezione di sottospazi è un sottospazio.

Generatori di un sottospazio vettoriale. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Equazioni cartesiane. Esempi.

Dipendenza e indipendenza lineare. Base di uno spazio vettoriale. Esempi.

Esempi di basi. Esistenza di basi in uno spazio generato da un numero finito di vettori. Algoritmo per costruire basi partendo da un insieme di generatori.

Unicità delle coordinate rispetto ad una base. Esempi.

Teorema dello scambio e applicazioni alla costruzioni di basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Esempi.

Esempio: i numeri complessi come spazio vettoriale reale. Caratterizzazioni di una base di uno spazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio. Sottospazi di R^2 e R^3.

Somma di sottospazi: definizione e generatori.

Esempio di calcolo di basi per l'intersezione e la somma di sottospazi. Formula di Grassmann. Sottospazi in sommo diretta. Complemento di un sottospazio vettoriale in uno spazio vettoriale.

Algoritmo per il calcolo di un complemento di un sottospazio vettoriale. Il rango di una matrice come dimensione del sottospazio generato dalle righe.

Rango di una matrice, teorema di Rouchè Cappelli (versione 2). Applicazioni e osservazioni.