Topic outline

  • ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Informazioni generali ~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    Il corso di Geometria 1 è diviso in due moduli (primo e secondo semestre) e nel primo semestre è diviso in due canali: 

    canale cognomi A-L : titolare M.Cailotto,

    canale cognomi M-Z : titolare A.Bertapelle, 

    Il modulo del secondo semestre è unico. 

    Il programma è lo stesso per entrambi i canali, e a questa pagina moodle possono fare riferimento tutti gli studenti del corso. 

    Il programma del corso copre l'algebra lineare e il suo significato geometrico; il primo semestre sarà essenzialmente algebrico, il secondo più geometrico; 

    vi saranno delle dispense che coprono tutto il programma anche per la parte di esercizi, e saranno a disposizione anche gli esami degli anni passati e via via i testi degli esami che saranno proposti. 

    Lo scopo del corso e` capire la geometria degli spazi di dimensione finita (ma arbitraria, non solo 2 e 3) e useremo come strumento fondamentale l'algebra lineare; questo strumento sarà usato in molti altri corsi sia paralleli (algebra, analisi), sia successivi (anche per aspetti applicativi). 


  • ================================== Primo semestre ============================

  • Strutture algebriche, numeri complessi.

    Questa prima parte serve per familiarizzare con le nozioni algebriche che dovremo usare subito (gruppi, anelli, campi) e introdurre il campo dei numeri complessi. Vedremo già qualche applicazione per la geometria del piano e certe trasformazioni geometriche del piano. Riferimento: AGLQ cap.O, sez.7, in particolare 7.9. 

  • Spazi vettoriali.

    In questa parte introduciamo lo strumento principale del corso: la nozione di Spazio Vettoriale su un campo K. Si tratta di una struttura algebrica di cui vedremo i principali risultati, soprattutto algebrici; ogni tanto si intravvederà un po' di geometria, che sarà resa esplicita nel secondo semestre. Riferimento: AGLQ cap.I. 

  • Applicazioni lineari e Matrici.

    Per studiare le trasformazioni tra spazi geometrici, il primo strumento fondamentale è dato dalle applicazioni lineari (tra spazi vettoriali). Vi è un dizionario completo tra applicazioni lineari e calcolo matriciale che dobbiamo esplicitare: il calcolo con le matrici va anche pensato come strumento autonomo, che verrà utilizzato in molte applicazioni; comunque l'aspetto geometrico dovrebbe essere sempre tenuto presente. Riferimento: AGLQ, cap. II e III. 

  • Determinanti.

    Questo è un argomento tecnico fondamentale: useremo il calcolo dei determinanti sia per ragioni algebriche (indipendenza di vettori, ranghi di matrici, soluzioni di sistemi lineari), sia per ragioni geometriche (calcolo di volumi, calcolo di equazioni cartesiane). Vedremo: 

    a. definizione tramite funzioni multilineari alternanti (conseguenze teoriche: teorema di Binet del prodotto, formula con le permutazioni, calcolo per riduzione di Gauss e casi semplici: matrici triangolari e a blocchi), 

    b. sviluppi di Laplace (per colonne, per righe, alieni; calcolo della matrice inversa tramite complementi algebrici; sistemi e formula di Cramer), 

    c. minori di una matrice qualsiasi, relazione tra rango e minori (principio dei minori orlati e calcolo di equazioni cartesiane tramite annullamento di minori). 

    Riferimento: AGLQ, cap. IV, sez. 1,2,4(parte),5(parte). 

  • Forme Canoniche.

    L'ultima parte di questo modulo ha lo scopo di "classificare le matrici" modulo la relazione di rappresentare la stessa applicazione lineare in basi diverse. 

    Studieremo il caso di equivalenza (cambiare la base indipendentemente in dominio e codominio) e di similitudine (per endomorfismi, usiamo in dominio e codominio la stessa base). 

    Abbiamo il problema algebrico (descrivere gli insiemi quoziente e per ogni classe di equivalenza/similitudine di matrice trovare un rappresentante il più semplice possibile (diagonale, triangolare, a blocchi...), e bisogna pensare anche al significato geometrico (per ogni applicazione conviene scegliere una base in cui la matrice associata sia la più semplice possibile per fare  conti). 

    Riferimento: AGLQ, cap. V (tranne sez.7). 

  • ================================== Secondo semestre ============================

  • Geometria Affine.

    Qui ci occupiamo delle proprietà geometriche che vengono direttamente dalla struttura di spazio vettoriale su un campo (che quindi valgono su un qualsiasi campo, anche finito o di caratteristica non nulla), e in particolare non dipendono da nozioni di distanza o angoli. Definiamo gli spazi affini come insiemi su cui uno spazio vettoriale agisce in modo fedele e transitivo, e studieremo alcuni aspetti fondamentali: 

    1. nozione di punti in posizione generale, riferimenti affini e coordinate affini, sottospazi affini, loro posizioni reciproche (incidenti, parallele, sghembe, complementari, ...), e problemi riguardanti famiglie di sottospazi e di incidenza tra sottospazi; 

    2. nozione di calcolo baricentrico, di coordinate baricentriche, invariati affini (rapporto semplice) ed alcuni teoremi classici (Menelao, Ceva, Talete); 

    3. nozione di trasformazioni tra spazi affini (affinità), loro espressione matriciale, casi particolari (traslazioni, affinità centrali, omotetie), decomposizioni, simmetrie e proiezioni affini. 


    • Geometria Euclidea.

      Qui ci occupiamo delle proprietà metriche che spazi vettoriali sui campi reali e complessi ottengono dalla operazione di prodotto scalare. Studieremo contemporaneamente l'aspetto algebrico-vettoriale e quello geometrico. Vedremo: 

      1. nozioni base (prodotto scalare, norme, angoli, ortogonalità, prodotto vettore), applicazioni al calcolo di distanze e volumi negli spazi Euclidei; 

      2. trasformazioni e matrici ortogonali (reali) ed unitarie (complesse); complementi di algebra lineare (teoremi spettrali per matrici simmetriche reali e hermitiane/normali complesse, valori singolari e pseudoinverse); classificazione di Eulero delle rigidità; 

      *. nel mentre si vedranno i legami con argomenti algebrici tipo il corpo dei quaternioni che permette di rappresentare sia le trasformazioni ortogonali dello spazio Euclideo reale tridimensionale che 4-dimensionale; o anche la relazione tra ortogonalità nel senso euclideo e nel senso degli spazi duali... 


      • Geometria Proiettiva.

        Qui ci occupiamo di spazi geometrici che contengono gli spazi affini e anche dei punti ulteriori da interpretare come punti all'infinito delle rette dello spazio affine (in modo che rette parallele abbiano lo stesso punto all'infinito). Le tecniche note dell'algebra lineare ci permettono di lavorare in questi spazi senza le difficolta` legate al parallelismo degli spazi affini (per esempio parlare in generale di proiezioni), e di avere risultati molto più` eleganti e generali. Vedremo: 

        1. definizione di spazi proiettivi, sottospazi e stelle, coordinate proiettive ed equazioni di sottospazi; 

        2. principio di dualita` proiettiva; 

        3. proiettivita` ed invarianti: birapporto e suoi significati geometrici, armonia; 

        4. relazione con gli spazi affini e gli spazi euclidei (in particolare scrivere gli invarianti euclidei tramite birapporti opportuni); 

        strada facendo vedremo alcuni teoremi e costruzioni classici (Pappo, Desargues, quadrilateri/quadrangoli piani completi, costruzioni armoniche, ecc.) ; e` interessante anche sviluppare una buona immaginazione su questi argomenti, oltre alla capacita` tecnica di fare i conti. 


        • ================================== Gestione Esami ============================

          L'esame del corso di Geometria 1 è composto di : 

          -- parte scritta, separatamente per i due moduli, con esercizi sia di calcolo che teorici, 

          -- parte orale, a cui si accede avendo un voto valido sulle due parti scritte, con domande sul programma del corso (definizioni, enunciati, dimostrazioni), 

          il voto finale viene deciso in base ai punteggi degli scritti e alla prova orale; se viene rifiutato, in linea di massima è necessario rifare anche gli scritti. 

          Durante il corso vi saranno delle prove in itinere, "prove parziali" (possono accedere tutti gli studenti), in ogni semestre: una circa a metà semestre, una a fine semestre; superare le due prove parziali di un semestre equivale a superare un appello scritto di quel modulo. 

          Date delle prove parziali: 18 novembre, 23 gennaio per il primo semestre; 21 aprile, 19 giugno per il secondo semestre; *provvisiorio*;  per iscriversi alle liste bisogna essere iscritti al corso su moodle

          Date degli appelli scritti del corso: 13 febbraio (parte A per tutti; parte B solo recupero dell'anno precedente), 28 giugno, 17 luglio, 25 agosto, 8 settembre; *provvisiorio* 

          Quando si scrive e si consegna un compito, bisogna tener presente che qualcuno dovrà correggerlo, e che il punteggio che si otterrà sarà inversamente proporzionale alla difficoltà di lettura e comprensione di quello che avete scritto: consegnare un compito pieno di numeri e formule senza alcuna spiegazione sperando che chi legge faccia interpolazioni è sbagliato e non va fatto; in un compito bisogna giustificare in modo conciso ma chiaro che cosa state facendo, possibilmente organizzando la scrittura in modo che sia facile da seguire (naturalmente è più facile se si hanno le idee chiare). 

          Gli esami orali si svolgono su appuntamento in giorni che saranno fissati nella settimana successiva agli scritti (questo vale anche per gli esami di recupero di febbraio, in cui possono fare l'esame orale gli studenti dello scorso anno accademico). Non si è obbligati a fare l'orale immediatamente dopo gli scritti, ma si consiglia di farlo nella stessa sessione, cioè di non far passare mesi tra ultimo scritto e orale...