Assistente AI
Trascrizione
00:00:00Luisa Fiorot: Tra
00:04:850Luisa Fiorot: per essere sicura di non dimenticarmi.
00:22:420Luisa Fiorot: Ok.
00:37:330Luisa Fiorot: bene, Allora, detto che vi sediate e poi iniziamo la lezione e riprendiamo dall'ultima cosa che abbiamo visto insieme.
00:46:640Luisa Fiorot: Era questo: avevamo iniziato a fare le proprietà dei sottospazi.
00:54:100Luisa Fiorot: avevamo dimostrato che l'ortogonale di un sottospazio è un sottospazio, E poi vi ho detto una lista di proprietà. Ma oggi riprendiamo da qua.
01:03:730Luisa Fiorot: Allora, Intanto vi riscrivo la definizione data la volta scorsa ch'era questa definizione.
01:14:560Luisa Fiorot: Se da casa avete dei problemi o non si legge o sentite scrivete in chat
01:19:900Luisa Fiorot: cordo che dovrebbe apparire messaggio.
01:24:250Luisa Fiorot: La definizione è questa stato t un sottospazio di arrenne.
01:32:150Luisa Fiorot: L'abbiamo fatto in realtà per ogni sottoinsieme. Ma poi oggi lo applicheremo ai sottospazi si definisce ortogonare di t
01:40:970Luisa Fiorot: Quindi l'ortogonale di tè
01:47:680Luisa Fiorot: il sottospazio che si indica con questo simbolo ti e simbolo di ortogonale ed è l'insieme dei vettori vulnerarenne
01:57:690Luisa Fiorot: tali che v prodotto. Scalare con un vettore Tifa 0
02:02:650Luisa Fiorot: peroni, vettore, t appartenente a sottospazio maiuscolo è la definizione. Poi
02:12:730Luisa Fiorot: martedì abbiamo dimostrato insieme che l'ortogonale è sempre un sottospazio. Questa, se non sbaglio, era forse la domanda: 15
02:23:500Luisa Fiorot: vi risulta, o la 14 alla 15 ,
02:30:860Luisa Fiorot: Sì, Grazie. Era 15 e oggi faremo la 16 , che è prevista una lezione di oggi.
02:36:960Luisa Fiorot: Va bene.
02:38:510Luisa Fiorot: Quindi domanda 15 l'abbiamo vista l'altra volta è che per ogni t sotto spazio di renne
02:47:390Luisa Fiorot: ha che anche su ortogonale è un sottospazio di arenne
02:54:230Luisa Fiorot: che l'ortogonale sia un sottospazio. Sarebbe vero anche partendo da un sotto insieme qualunque. Questa abbiamo dimostrata l'ultima volta
03:02:100Luisa Fiorot: quello che iniziamo a fare oggi sono le proprietà degli ortogonali. E poi la domanda 16 .
03:08:380GIULIA ZANETTIN: E a.
03:09:220Luisa Fiorot: Iniziamo adesso che siamo freschi con quella.
03:17:600Luisa Fiorot: La domanda. 16 consiste nel dimostrare questa proposizione. Quindi ve la scrivo Proposizione
03:31:560Luisa Fiorot: dato t sotto spazio di arrenne, qualunque si ha che T
03:42:950Luisa Fiorot: è in somma diretta col suo ortogonale.
03:47:640Luisa Fiorot: e che la somma a renne
03:52:100Luisa Fiorot: questo è quello che vogliamo dimostrare, allora dimostrazione
04:05:480Luisa Fiorot: ci siete?
04:08:390Luisa Fiorot: Certo, Anzi.
04:18:380Luisa Fiorot: siete
04:20:610Luisa Fiorot: Allora, quando vogliamo dimostrare che questa somma diretta sia renne abbiamo 2 cose da dimostrare che ve le evidenzio. Una parte di dimostrazione consiste nel giustificare simbolo di somma diretta e somma diretta significa che L'intersezione è 0
04:36:770Luisa Fiorot: La seconda parte quando avremo dimostrato che sono in somma diretta, è mostrare questo uguale
04:42:620Luisa Fiorot: che quindi la somma è tutto a ren
04:45:680Luisa Fiorot: che quindi iniziamo col dimostrare la prima parte, quello evidenziato in giallo. Quindi la dimostrazione consiste nel primo vi
04:59:650Luisa Fiorot: che tì intersecato su ortogonale è il sottospazio nullo.
05:06:970Luisa Fiorot: Ve la evidenzio in giallo perché questa è esattamente la definizione di somma diretta.
05:13:200Luisa Fiorot: Quindi, se vogliamo dimostrare quella parte in giallo, cioè che la somma è diretta. Questo è quello che dobbiamo dimostrare
05:19:850Luisa Fiorot: come si fa.
05:21:330Luisa Fiorot: Si prenda un vettore dell'intersezione, quindi sia
05:26:640Luisa Fiorot: V un vettore di ti intersecato Ti ortogonale, e dimostriamo che allora il vettore è nullo.
05:42:10Luisa Fiorot: Allora voi è il vettore, nullo perché questo vettore sta in T. Ma sta anche nell'ortogonal dittì l'ortogonal di T Sono tutti vettori ortogonali a quelli di T. Quindi vuol dire che questo vettore V
05:56:510Luisa Fiorot: deve essere perpendicolare a tutti i vettori di T e quindi anche a se stesso.
06:02:490Luisa Fiorot: se lo vedo di qua sta in T
06:05:290Luisa Fiorot: Se lo vedo di qua, è perpendicolare a tutti quelli ditti. E tra tutti quell'edificio, anche lui qui dev'essere un vettore per pendicolare a se stesso. Se un vettore non è nullo non come fa essere perpendicolare a se stesso. Non è possibile perché questa condizione vuol dire che v scalare v
06:23:410Luisa Fiorot: dev'essere il numero 0 . Ma Buh scalare v è la norma di Vola seconda
06:29:610Luisa Fiorot: la norma del vettore V alla seconda deve far 0 e questo obbliga il vettore a essere il vettore nullo.
06:39:400Luisa Fiorot: Questa è la dimostrazione della somma diretta.
06:42:890Luisa Fiorot: Del resto, se vi fate un disegnino se di tifo son sotto spazio di dimensione 2 inere 3 passante per l'origine, il suo ortogonale Sarebbe questo.
06:53:800Luisa Fiorot: qual è l'intersezione tratti e se ottagonale solo l'origine? Questo significa che la decomposizione è insomma, diretta, quindi ce la dobbiamo aspettare.
07:03:100Luisa Fiorot: Come vedete, se ti a dimissione 2 : il suo ortogonale in ere 3 a dimissione, 1 , 2 , più 1 fa 3 che la dimensione diarre 3 . Quindi adesso vi vado a mostrare come giustificare la parte evidenziata in turchese, cioè l'uguale, la prima parte in gialla, l'abbiamo dimostrata. E la seconda è questa.
07:21:890Luisa Fiorot: vi
07:26:500Luisa Fiorot: che la dimensione uso, la formula di Grassman, sapendo che l'intersezione a dimensione 0 dimissione di T
07:35:800Luisa Fiorot: più la dimensione del suo ortogonale.
07:39:960Luisa Fiorot: meno la dimensione dell? Intersezione che è 0 , e quindi non la scrivo. Se voglio che lo spazio sia tutto questo dev'essere n
07:48:770Luisa Fiorot: questa che vi evidenzio, corrisponde aver dimostrato l'uguaglianza.
07:55:780Luisa Fiorot: Questo perché
08:01:670Luisa Fiorot: ti più il suo ortogonale è sempre un sottospazio, di arrenne, perché sono spazi dentro al renne.
08:10:710Luisa Fiorot: E allora, se volete che t
08:13:490Luisa Fiorot: sommato su ortogonale, sia tutto erenne, siccome la somma diretta l'abbiamo già dimostrata. Basta vedere che abbiano la stessa dimensione
08:23:550Luisa Fiorot: sinistra.
08:25:530Luisa Fiorot: Abbiamo la dimensione di T più, la dimensione del suo ortogonale
08:31:90Luisa Fiorot: e A destra, abbiamo la dimensione di arrenne che N. Quindi questo uguale corrisponde a dimostrare quello evidenziato.
08:39:539Luisa Fiorot: che è la formula di Grassman, applicata a quello uguale che
08:44:800Luisa Fiorot: Allora quello che noi dimostriamo è che se diamo K come dimensione di T
08:50:380Luisa Fiorot: se la dimensione di Ti è K
08:55:480Luisa Fiorot: Quindi prendiamo una base di T.
08:58:690Luisa Fiorot: Questa è la chiamo Tuno.
09:02:520Luisa Fiorot: K Cioè, contiene cappa vettori. Dimostriamo
09:11:370Luisa Fiorot: che l'ortogonale di Ti ha dimensione N meno K.
09:21:30Luisa Fiorot: 3 .
09:22:750Luisa Fiorot: E allora questo, come faccia a dimostrarvelo? Ve lo dimostro in questo modo. Scrivo prima cosa, la definizione di ortogonale
09:30:40Luisa Fiorot: di ortogonale è insieme dei vettori V appartenenti a Rhn, che
09:38:210Luisa Fiorot: devo andare a vedere che T. Scalare V
09:41:190Luisa Fiorot: è uguale a 0 peroni t in T.
09:46:30Luisa Fiorot: Questa è la definizione prima. Forse vi avevo scritto
09:49:900Luisa Fiorot: Buscala rettì, ma vi ricordo che asimmetrico il prodotto scalare. Quindi l'ordine non è importante dubbi fino qua
09:58:700Luisa Fiorot: adesso. Siccome abbiamo dichiarato una base di T come si scrivono tutti i vettori di ti
10:07:290Luisa Fiorot: tutti i vettori di Ti sono questi.
10:10:20Luisa Fiorot: Questo è uguale all'insieme dei Woody renne
10:15:620Luisa Fiorot: tale che un vettore di quello spazio sarà una sommatoria.
10:22:180Luisa Fiorot: Sete, scusate che un po di silenzio sono da casa. Non credo che capiscano niente
10:27:770Luisa Fiorot: sommatoria per i che varia tra 1 e k
10:31:990Luisa Fiorot: acconiti con i. Questo è il vettore T
10:35:320Luisa Fiorot: Scalare il vettore V deve fare 0 .
10:38:520Luisa Fiorot: E ora, il però, ogni T diventa per ogni scelta di coefficienti a 1 a K.
10:46:600Luisa Fiorot: R.
10:50:670Luisa Fiorot: Vi.
10:52:160Luisa Fiorot: Allora, quello che vi voglio mostrare è che questa sarebbe un insieme darebbe un insieme infinito di condizioni perché sto variando in un insieme infinito, i coefficienti, perché i numeri reali sono infiniti.
11:04:600Luisa Fiorot: Ora, tra queste condizioni, mi vado a prendere quelle corrispondenti a la scelta dei vettori della base canonica sui coefficienti, cioè se metto a 1 uguale a 1 e tutti gli altri coefficienti 0 Che equazione mi trovate? Andiamo a scriverlo
11:22:110Luisa Fiorot: Ren
11:24:370Luisa Fiorot: tale che vi scrivo. La prima equazione ti 1 . Scalare v e uguale a 0 . Questo corrisponde aver scelto a 1 uguale a 0
11:33:730Luisa Fiorot: a 2 uguale A, da con cappa uguale a 0 .
11:38:810Luisa Fiorot: Siete d'accordo
11:41:280Luisa Fiorot: perché se qui scrivo, il primo coefficiente viene 1 per ti 1 più 0 . Tutti gli altri. Mi resta solo in quella somma al tuno.
11:50:350Luisa Fiorot: Come seconda equazione. Prendo Ti 2 scalare uguale a 0 . Ditemi voi coefficienti.
11:56:610Luisa Fiorot: Questi corrisponderanno aver scelto a 1 . 0
12:03:20Luisa Fiorot: ha 2 in vece uguale a 1 e ha 3 fino a da concappa, tutti uguale a 0 .
12:11:60Luisa Fiorot: Continuo, fino all'ultima equazione che t-k scalare v uguale a 0 ,
12:17:290Luisa Fiorot: che corrisponde aver scelto a cappa uguale a 1 e tutti gli altri coefficienti, tutti uguale a 0 .
12:28:860Luisa Fiorot: Dica
12:32:470Luisa Fiorot: Sì, Grazie. Ho scritto, forse ho detto Voce: Ho scritto sbagliato. La ringrazio. Molta 1 uguale a 1 a 2 uguali 0 fino a capogola 0 ,
12:41:540Luisa Fiorot: giusto?
12:43:200Luisa Fiorot: Grazie.
12:45:320Luisa Fiorot: Voglio solo dirvi perché questo è uguale a questo
12:50:630Luisa Fiorot: questo sopra ha molte più equazioni, perché ne è finito, mentre sotto ne ho solo cappa di equazioni.
12:58:290Luisa Fiorot: Allora, intanto, queste cappa sono alcune della lista. Quindi questo
13:04:160Luisa Fiorot: là diciamo, me lo evidenzio qua dove c'è l'uguale turchese è un insieme infinito di equazioni. Quello sotto ne ha meno, ha solo cappa di.
13:14:710Luisa Fiorot: Quindi siccome qui ho richiesto più equazioni, un sistema con più equazioni e qui meno. Chiaramente quello sopra è contenuto in quello sotto.
13:24:420Luisa Fiorot: perché quello sotto ne ha meno.
13:26:420Luisa Fiorot: Quindi se sono verificate, tutte le infinite sono in particolare verificate quelle cappa equazioni.
13:32:510Luisa Fiorot: Quindi questa inclusione è evidente, perché sono infinite condizioni e quella sotto ne ha meno, perché le ho cancellate tutte, tranne quelle cappa. Quindi quell'inclusione ovvia.
13:42:920Luisa Fiorot: ma è vera. Anche il viceversa, per cui vale questo uguale che vi vado ad evidenziare adesso questo, che ci permette di concludere, perché cosa succede se ti 1 per buffa, 0 , ti 1 scalar buffa, a 0 , ti scappa a scalar buffa 0 ? Quanto farà questo
13:58:630Luisa Fiorot: biliana di età verrà una sommatizzare e far 0 .
14:02:60Luisa Fiorot: Questo significa che è come dire che il vostro sistema, che è quello che vi vado a mostrare a rango cappa. Ma la vostra matrice partirebbe con un insieme infinito di righe, che sono tutte quelle equazioni, solo che quelle cappa sono linearmente indipendenti, le altre. Le vedete, sono combinazioni lineari di quelle cappa. E Quindi le potete. Se faceste una riduzione di Gaza infinita, avreste un numero infinito di righe nulle alla fine della riduzione. Quindi potete
14:27:30Luisa Fiorot: per il
14:27:760Luisa Fiorot: allora noi. Quello che interessa è questo. Quindi il passaggio. Non vi chiedo di giustificarlo, ma vi chiedo di saperlo, e ve l'ho giustificato a voce è che questo è uguale. Quindi quando volete l'ortogonale di un sottospazio, basta mettere l'ortogonalità con i generatori del sottospazio
14:43:880Luisa Fiorot: e allora il sistema da risolvere Questo prima equazione tiuno scalare bugola 0
14:49:990Luisa Fiorot: chi 2 . Scalare v uguale 0 ,
14:53:280Luisa Fiorot: K. Scalare v uguale a 0 questo. E questo è un sistema di cappa equazioni. Quindi sistema Vi, di
15:09:180Luisa Fiorot: k equazioni che sono queste date dai coefficienti di chi 1 Ti Cappa in N incognite
15:24:360Luisa Fiorot: Questo perchè il vettore delle incognite Q
15:28:480Luisa Fiorot: è un vettore di Rhn e quindi è xuno xenne cordo
15:35:770Luisa Fiorot: quando Andate a scrivere la matrice associata a questo sistema, la matrice associata è
15:53:180Luisa Fiorot: equazione. Il Tuno per Vù Questo tuno per voi
15:58:210Luisa Fiorot: prodotto. Scalare vuol dire mettere il tuno in riga e sì,
16:02:540Luisa Fiorot: mettono in riga, significa mettere la matrice trasposta. Quindi mettono in riga
16:06:820Luisa Fiorot: per voi in colonna uguale a 0 . Quindi la matrice è questa. Nella prima riga avete i coefficienti di ti 1 messi in riga. E quindi la nostra matrice, la scrivo tiuno.
16:18:230Luisa Fiorot: metto il trasporto per dire che la sto mettendo in riga i coefficienti.
16:22:570Luisa Fiorot: Seconda riga. Secondo vettore, m'ha messo in riga
16:26:740Luisa Fiorot: ultima riga, che è la capesima ultimo vettore messo in riga.
16:31:750Luisa Fiorot: La matrice. È questa la incompleta il sistema è omogeneo, Perciò la colonna dei termini notti alla colonna, nulla.
16:40:80Luisa Fiorot: vi rusci e capelli. La dimensione delle soluzioni, quindi, alla dimensione di carrà,
16:48:980Luisa Fiorot: è il numero di incognite, meno il rango di quella matrice.
16:55:00Luisa Fiorot: E ora lavatrice. Ah! Come righe i vettori tuno ti cappa che erano una base di T. Quindi le righe sono linearmente indipendenti. Sono cappa. Perciò quella matrice a rango. Capa
17:08:250Luisa Fiorot: Questo è nemmeno K. Questo perché righe linearmente indipendenti, in quanto.
17:27:210Luisa Fiorot: e lo riscrivo. Eravamo partiti da Bt
17:30:660Luisa Fiorot: che erano i vettori tuno ti capa
17:33:650Luisa Fiorot: Questi erano linearmente indipendenti perché erano una base di T. Questa qui è base T.
17:45:950Luisa Fiorot: Questo conclude la dimostrazione perchè abbiamo appena dimostrato che questo è né meno cappa.
17:52:780Luisa Fiorot: E questa dimensione è la dimensione del sottospazio ti ortogonale. Perché il tio ortogonale l'abbiamo scritto come insieme di soluzioni di questa matrice. Di questo sistema.
18:02:320Luisa Fiorot: Questa è anche la dimensione dell'ortogonale.
18:10:90Luisa Fiorot: Ch'era quello richiesto.
18:12:80Luisa Fiorot: Ve lo mostro negli esempi Così andiamo a vedere negli esempi esattamente questo fatto, tanto domande.
18:24:50Luisa Fiorot: Siete, torniamo da casa se qualcuno ha scritto in Chat. Ma non ti recò.
18:29:580Luisa Fiorot: Credo che dovrebbe apparire mio in principio.
18:32:930Luisa Fiorot: No, Nessuno.
18:35:380Luisa Fiorot: Ok, Va bene, Allora facciamoci degli esempi.
18:42:170Luisa Fiorot: Esempi. Le avevamo iniziato a fare la volta scorsa, quindi io mi aspetto che sappiate farli prima d'iniziare con sé gli esempi. Vi faccio questo re nota. Bene.
18:52:630Luisa Fiorot: perché lo usiamo sempre
18:55:410Luisa Fiorot: nota. Bene, abbiamo appena visto nella dimostrazione che se ti è il sottospazio generato datti 1 . Ti K Allora.
19:07:410Luisa Fiorot: suo ortogonale a queste equazioni cartesiane sono i vettori Woody Renne
19:15:20Luisa Fiorot: basta chiedere che siano perpendicolari a quello, Cioè, tiuno scalare v uguale a 0 a sistema con tkppa scalare V, uguale 0
19:26:660Luisa Fiorot: accordo questo sistema.
19:28:760Luisa Fiorot: se vi volete fare un disegno per capì la situazione. Prendete un primo vettore, chi 1 poi diciamo, Secondo Vettore: Io di solito per disegnare i facilmente, dipendendo così immaginando che questi generino quel piano.
19:43:850Luisa Fiorot: Allora, se volete un vettore che sia contemporaneamente ortogonale contiuno e ortogonale conti 2 , dev'essere per forza. Qua
19:55:50Luisa Fiorot: Questo è ti ortogonale, d'accordo? Se quel vettore è ortogonale prima artogolare al secondo è contemporaneamente ordonare a tutto il piano d'accordo c'è questa ortogonalità con questi 2 garantisce tutti gli altri, perché in Aula, dopo magari in faccia la lavagna, cioè se io prendo nella lavagna 2 vettori e me li disegno
20:19:660Luisa Fiorot: 2 :
20:20:820Luisa Fiorot: il vettore ottagonale esce fuori dalla lavagna. Perché ho creato come piano ti il piano della lavagna, il vettore esce fuori. Ma quello che esce fuori sarà contemporaneamente
20:32:290Luisa Fiorot: qua con origine scordo
20:34:720Luisa Fiorot: perché ha messo così, e quindi comunque ortogonare a tutto il piano contemporaneamente a tutti gli altri, quindi con 2 equazioni o in automatico, l'ortogonalità, tutti i vettori del piano.
20:45:110Luisa Fiorot: Quindi Avevamo già fatto questo tipo di esempi, ma ce lo rifacciamo Qui andiamo a scrivere T. E voglio che voi, da questa parte mi scrivete teo ortogonale.
20:57:00Luisa Fiorot: partendo da quella osservazione. Quindi il primo esempio è questo: supponiamo che tisse questo sottospazio 0 0 1 .
21:08:640Luisa Fiorot: Siamo in arretra dimensione, di Ti è 1
21:15:950Luisa Fiorot: da questa parte, Il suo ortogonale
21:20:120Luisa Fiorot: avrà la equazione cartesiana Devo mettere il vettore generatore. C'è solo un tiuno: chi 1 . Scalare uguale a 0 ti 1 . Scalare v
21:29:880Luisa Fiorot: è questa equazione 0 , X più 0 Ipsi, non più 1 zeta, uguale a 0 Quindi questa è l'equazione cartesiana del suo ortogonale.
21:39:510Luisa Fiorot: Quindi la dimensione di ti ortogonale è 2 ,
21:44:220Luisa Fiorot: più 1 , fa 3 sono in somma diretta alle 3 . Il disegno sarebbe esattamente questo: vi
21:53:420Luisa Fiorot: uguale a 0 al piano coordinato Xypsion e sotto spazio T. È questo Quindi diciamo, se Questo è T
22:01:540Luisa Fiorot: è T.
22:03:350Luisa Fiorot: È l'asse Z.
22:05:100Luisa Fiorot: È T invece il piano è sortogonale.
22:09:600Luisa Fiorot: Quindi sto rovesciando generatori, diventano i coefficienti dell'equazione dell'ortogonale 0 1 che ha il Versore asse Z 0 a X 0 Ips, e non una volta z diventa il versore del piano ortogonali xypsino e che quello che equazione ha
22:28:40Luisa Fiorot: quindi i coefficienti dei generatori diventano i coefficienti dell'equazione cartesiana nell'ortogonale, vi
22:35:610Luisa Fiorot: allora Se scambia i ruoli cosa fa? Ti ortogonale? Ortogonale?
22:40:490Luisa Fiorot: Questo è t il suo ortogonale. È questo piano. Ora, se rifaccio l'ortogonare al piano.
22:47:270Luisa Fiorot: cosa trovo torno a T. Perché perché sono ortogonali fra loro e hanno le dimensioni giuste. Quindi il doppio ortogonale è sempre t Quindi il nota Bene, primo è questo. E secondo nota, bene, è che se io faccio 2 volte un ortogonale
23:03:750Luisa Fiorot: torna allo spazio vettoriale di partenza.
23:07:340Luisa Fiorot: Quindi quello che io mi aspetto è che voi sappiate fare, Da un lato questo esempio che ora ve lo faccio in aree 4 , un pochino più difficile. Quindi il sottospazio. T
23:19:170Luisa Fiorot: 1 , 3 , 8 , meno 5 . Primo generatore secondo 0 1 0 7 ,
23:28:780Luisa Fiorot: e io mi aspetto che, Siccome questo è ti 1 e questo ètti 2 , voi scriviate da questa parte che il tì ortogonale ha equazioni cartesiane, devo mettere e pur scalareti 1 uguale a 0 , che vuol dire
23:48:990Luisa Fiorot: meno 5 volte x, con 4 uguale 0
23:52:540Luisa Fiorot: secondo equazione Ze xuno una voltex con 2 più Zeerex con 3 più 7 x con 4 uguale a 0 ,
24:03:580Luisa Fiorot: è tuno scalare Google a 0 a sistema conti 2 : scalare Google a 0
24:14:320Luisa Fiorot: Domanda per voi che dimensione è A T.
24:20:330Luisa Fiorot: Gli ho dato 2 generatori.
24:22:610Luisa Fiorot: Sono linearmente indipendenti. Sì, perché sono non multipli. Quindi queste 2
24:28:420Luisa Fiorot: spazio a dimensione 4 , Quindi che dimensione atti ortogonale.
24:34:930Luisa Fiorot: Sempre 2 , perché 4 meno 2 2 sono un sistema di rango 2 . Quindi anche questo è un 2 ,
24:42:930Luisa Fiorot: 3 .
24:44:580Luisa Fiorot: Vi faccio all'incontrario. Significa questo
24:49:180Luisa Fiorot: che se io parto da questo sottospazio, quindi se nostro, ti a questa equazione cartesiana 5 xuno più 8 x con 4 uguale 0
25:01:00Luisa Fiorot: equazione in La prima. Domanda per voi è che dimensione a te
25:12:450Luisa Fiorot: 4 incognite, meno una equazione 4 meno 1 . Questo avrà dimensione 3 .
25:20:420Luisa Fiorot: Quale sarà il suo ortogonale?
25:24:30Luisa Fiorot: L'ottagonale sarà sottospazio di dimensione, 1 . Quindi ci metto un generatore. E il generatore sono i coefficienti dell'equazione. Ricordo quello aveva equazione 5 xuno zerex 3 , ottox 4 . Quindi Questo è il suo ortogonale.
25:45:740Luisa Fiorot: Core D'accordo.
25:50:390Luisa Fiorot: Bene. Perché perché prima
25:53:720Luisa Fiorot: vado all'incontrario? Se questo è il mio generatore Tiuno, questo è tiuno scalare uguale a 0 . Quindi l'importante è sapere che 1 sia ortogonare, dall'altro. Quindi se so leggere da sinistra, nell'esempio d' 1 e 2 a sinistra aveva i generatori a destra.
26:12:500Luisa Fiorot: Se cambio di posto, la relazione di ortogonarità è sempre trasformare i coefficienti dell'equazione nei generatori. Quindi, se adesso a sinistra. Ho messo le equazioni a destra. Metterò i generatori. Non cambia niente.
26:25:700Luisa Fiorot: Vi
26:26:940Luisa Fiorot: Quindi vedete che il T aveva nell'esempio 2 , il tì aveva 2 generatori mi venivano 2 equazioni. Quindi ultimo esempio per voi
26:37:540Luisa Fiorot: 4 ,
26:39:350Luisa Fiorot: prendo un sottospazio inere 3 con 2 equazioni cartesiane, quindi sarà una retta per l'origine. Perché stiamo parlando di sottospazi
26:48:870Luisa Fiorot: x meno 4 , Z, uguale a 0
26:53:415Luisa Fiorot: y Psiron, più 7 , ztta uguale a 0
26:58:120Luisa Fiorot: sono 2 equazioni non multiple. Quindi è un sistema di rango 2 in 3 incognite.
27:04:570Luisa Fiorot: Perciò la dimensione di T e 3 meno 2 è 1 .
27:10:880Luisa Fiorot: Questa è l'equazione cartesiana di una retta in R 3 stiamo in eretre.
27:16:850Luisa Fiorot: Vi chiedo di trovare l'ortogonale, l'ortogonale ad una retta passante per l'origine. Nere 3 è il piano. Qua Quando parliamo di sottospazi, s'intende sempre oggetti geometrici per 0 . Per quello non vi dico il punto di passaggio.
27:31:580Luisa Fiorot: Perché se io vi do un piano, voi mi dite dirette ortogonali, ce ne sono tante, ma io vi sto chiedendo sempre quello passante per l'origine, quindi retto ortogonale per l'origine o piano ortogonale. Per
27:42:230Luisa Fiorot: questo che sarà al piano ortogonale. A quella retta passante per l'origine è sottospazio generato la prima equazione una volta Ix 0 volte Ips, non almeno 4 volte Z che mi dà il primo generatore.
27:56:800Luisa Fiorot: secondo equazione è una volta X una volta, Youtube 7 volte z generatore.
28:04:740Luisa Fiorot: La dimensione dell'ortogonale è 2 e gli spazi sono sempre tutti in somma diretta tipo di ortogonale.
28:17:740Luisa Fiorot: Se avete dubbi.
28:19:640Luisa Fiorot: chiedete adesso se no, io do per assodato che se io vi dotti con generatori, voi mi sappiate trovare le equazioni, i cantesiani dell'ortogonale. In questo modo. Viceversa, se vi do le equazioni cartesiane, di t voi mi sappiate trovare i generatori.
28:38:110Luisa Fiorot: chiaro allora le proprietà degli ortagonali.
28:48:160Luisa Fiorot: Alcune le abbiamo già dette, ma le dico tutte insieme, per completezza.
28:52:980Luisa Fiorot: prima proprietà è che settìo sottospazio di renne
28:58:180Luisa Fiorot: allora tutti gli ortogonali sono sotto spazi di renne seconda
29:06:150Luisa Fiorot: proprietà. Che Voglio che sappiate che a ogni spazio in somma diretta, col surtogonale da Renne
29:13:60Luisa Fiorot: Peronity sotto spazio di renne.
29:16:450Luisa Fiorot: E queste erano le domande.
29:19:840Luisa Fiorot: la 14 era 15 o 15 e 16 , insomma quelle che abbiamo appena dimostrato una oggi e una martedì,
29:26:710Luisa Fiorot: poi i sottospazi.
29:30:610Luisa Fiorot: Cosa succede se faccio l'ortogonale di arrenne
29:35:860Luisa Fiorot: dimissioni n e il suo ortogonale dovrà avere dimensione 0 .
29:41:660Luisa Fiorot: È sottospazio nullo
29:45:340Luisa Fiorot: perchè esattamente prendette la base canonica di arrenne. E allora esso ortogonale X 2 vuole 0 fine xeno uguale a 0 perchè quelle sono le equazioni date da La base canonica
29:58:630Luisa Fiorot: quindi 0 , avrebbe come sistema d'equazione cartesiani, l'equazione uguale e quale finexene tutti uguale. 0 sistema di equazioni e di rango n
30:10:450Luisa Fiorot: succede se Faccio l'ottagonale di 0
30:15:600Luisa Fiorot: dimissione 0 su ortogonale a dimensione. Ennan viene a Renne è l'equazione cartesiana di renne.
30:25:290Luisa Fiorot: Se faccio l'equazione come vi è segnato a fare 0 non ha vettori generatori, nel senso che generatore c'è solo 0 , ma non è linearmente indipendente, accordo e quindi l'equazione vi viene zar. Ugu 0 . Questa è l'equazione cartesiana di renne
30:40:540Luisa Fiorot: 0 uguale a 0 è verificata per ogni vettore, Quindi dà come soluzione tutto Questa è l'equazione cartesiana
30:53:790Luisa Fiorot: The Rehn, quella omogenea.
30:58:380Luisa Fiorot: Bene, quindi questo poi se ti 1 è sotto spazio diti 2 , allora quando fate gli ortogonali
31:16:100Luisa Fiorot: cambiate l'ordine dell'inclusione, rovescia modo di vederlo. Ecco le equazioni. Perché se voi avete i generatori di
31:28:150Luisa Fiorot: quando fate il suo ortogonale, state imponendo solo l'ortogonalità con quelli diti 1 , quando invece fatto l'ortogonale conti 2 dovette imporre l'ortogonalità non solo con tutti quelli vittiuno. Ma dovete aggiungere anche tutte le equazioni ditti, 2 meno tiuno, e quindi avete molte più equazioni da soddisfare.
31:47:570Luisa Fiorot: Quindi questo sistema ha più equazioni questo dell'ortogonale rispetto a questo, avete rovesciato l'inclusione.
31:54:200Luisa Fiorot: Oppure di fatte per convincervi un disegnino, forse l'avevamo già fatto ilti. 2 Lo faccio di dimensione più grande itiuno lo faccia di dimensione più piccolo.
32:04:430Luisa Fiorot: Quindi ti 1 . Questo è contenuto in né rosso, e 2 passano per l'origine, e Quindi, mi fisso. Qui in origine vado a guardare il tuno ortogonale. È il piano ortogonale a quella retta passante. Per
32:21:970Luisa Fiorot: cerco di disegnarmelo, Questo sarà il tiuno ortogonale. Invece il Ti 2 ortogonale è la retta ortogonale a piano rosso per l'origine. Vi è questa
32:31:430Luisa Fiorot: qui c'è un piano.
32:33:740Luisa Fiorot: origine, una retta ortogonare al piano, e l'altra retta, invece, è messa così. E quindi da questo piano orgonale
32:40:840Luisa Fiorot: fatto, un disegnino, la quinta proprietà ne racchiude 2 , che sono un po una conseguenza di questa.
32:49:420Luisa Fiorot: che sono le seguenti.
32:51:770Luisa Fiorot: partite sempre questa volta da 2 sottospazi, ma che non abbiano 1 contenuto nell'altro 2 sottospazi qualunque, allora possiamo fare di 1 .
33:03:850Luisa Fiorot: Poi possiamo fare la somma conti 2 e calcolarci l'ortogonale
33:09:920Luisa Fiorot: e andar a confrontare quello che succede con chi 1 ortogonale, chi 2 ortogonale e l'interseco fra loro
33:21:410Luisa Fiorot: qui la cosa fondamentale da ricordarsi è che l'ortogonale scambia il simbolo di somma con il simbolo di intersezione
33:32:580Luisa Fiorot: 3 qui da riguardo, succede nell'altro.
33:40:890Luisa Fiorot: Forse avevo fatto un disegnino.
33:43:300Luisa Fiorot: Non so quanto recente sia.
33:46:660Luisa Fiorot: Non mi sembra tanto chiaro, vero? Lasciamo perdere.
33:55:770Luisa Fiorot: Potete farvi cioè cercarvi d'intuire, perché così facendovi un disegno, ti unoti, 2 . Ve li disegnate, 2 rette di dimensione, 1 che generi in un piano. Quindi dovete avere un tuno e un tutti 2 ,
34:08:540Luisa Fiorot: chi 1 , ti 2 vi generano. Un piano. Questo è il suo ortogonale, la retta ortogonare a questo piano
34:15:100Luisa Fiorot: che viene questa accordo. Questo è il tiuno più di 2 ortogonale. E ora fate l'altro. Partite datti 1 passa per l'origine. Ci facciamo assortogonale e sortogonale, questo cioè prendo una retta che viene in avanti il piano ortogonale che ha messo così.
34:31:719Luisa Fiorot: Vado a disegnare i 2 . Era messo così
34:35:880Luisa Fiorot: suo ortogonale e sortogonale è messo così
34:39:760Luisa Fiorot: quando l'interseco viene l'intersezione tra 2 piani, un piano e messo così l'altro e messo in avanti la retta intersezione verticale. Cordo questo è più o meno quello.
34:50:510Luisa Fiorot: Allora vi chiedo a voi di completare questa formula. Se Io invece faccio il tiuno intersecatoti 2 , e prendo l'ortogonale. Cosa vi aspettate che sia
35:03:180Luisa Fiorot: Ti 1 qui ortogonale di 2 ortogonale in mezzo che simbolo mi mettete
35:10:880Luisa Fiorot: più perché vi ho detto, l'ortogonale scambia simbolo di intersezione con il simbolo di somma.
35:17:30Luisa Fiorot: Se qui facevate prima l'intersezione, qui fate somma
35:21:340Luisa Fiorot: anche qui, Se volete farvi un disegno, dovete partire Invece datti 1 , Ti 2 2 piani che si intersecano in una retta dire 3 :
35:28:650Luisa Fiorot: Fate l'intersezione di questa retta c'è questa retta ortogonal Via in un piano setti 1 è un piano, il suo ortogonale. Questo sarà una retta, e questa sarà una'altra retta e somma. Vi darà lo stesso piano.
35:40:270Luisa Fiorot: 3 a farvi buon disegno
35:43:660Luisa Fiorot: di questo. Queste sono le proprietà che sono utili sapere da da usare L'ultima che forse non so se l'ho già messa, se no. La rimettiamo poi è quella che se facciamo voi. Ortogonale ortogonale, questo Favu
35:58:340Luisa Fiorot: Per ogni uh sotto spazio di renne, è la lista completa 3 .
36:05:900Luisa Fiorot: Allora, adesso che abbiamo la lista di tutte queste proprietà. E sappiamo calcolare questi spazi ortogonali. E sappiamo essere in somma diretta. Facciamo una prima osservazione importante: è questa.
36:23:510Luisa Fiorot: importante che è come
36:26:680Luisa Fiorot: costruire, perchè nostro obiettivo, tra oggi, la prossima settimana sarà costruire basi orto normali di arrenne, perché vorremmo fare tutte le prezioni ortogonali. Che allora l'osservazione, è questa che se voi partite da una base, quindi abbiamo
36:44:110Luisa Fiorot: C. Con 1 1 u Kappa base orto normale.
36:57:380Luisa Fiorot: un sottospazio Uh di Renne.
37:03:430Luisa Fiorot: Vi e prendiamo una base orto normale del suo ortogonale.
37:10:260Luisa Fiorot: E il simbolo è un C.
37:13:720Luisa Fiorot: Questo è simbolo del sottospazio ortogonale, siccome l'ortogonale so già che a dimensione n meno cappa i suoi vettori. Li chiamo Uh K più 1
37:24:690Luisa Fiorot: fino a uconne scelgo una base orto normale
37:36:80Luisa Fiorot: del sottospazio ortogonale.
37:38:960Luisa Fiorot: Questo Allora, mettendo insieme queste basi.
37:46:290Luisa Fiorot: quindi, inizio con 1 U Kappa continuo con Uk a più 1 fino a uconne.
37:56:940Luisa Fiorot: E questa sarà una base orto normale di tutto renne
38:09:400Luisa Fiorot: 3 .
38:11:910Luisa Fiorot: Questo è esattamente il modo con cui voi costruirete i vostri nuovi sistemi di riferimento in base al problema che affronterete.
38:19:580Luisa Fiorot: cioè se il vostro problema è fatto in modo che a voi interessa avere i primi 2 assi coordinati. In questo piano, voi dovete trovarvi qua dentro un versore un altro versore ortogonali fra loro. E il terzo vettore dovrete andarmelo a cercare nella direzione ortogonale. Se questa è la retta ortogonale, a quel piano.
38:39:120Luisa Fiorot: dovette cercarmelo così Quindi li avete messi in questo modo invece che partire dalla base ortoormale X Ips non zeta.
38:46:710Luisa Fiorot: dovete se il vostro piano
38:48:960Luisa Fiorot: che vi interessa non è questo, ma è questo: 2 vettori. Li metto sul piano. E il terzo vettore nella direzione ortogonale. Allora questo vi sta dicendo che se il vostro tì e il vostro sottospazio l'abbiamo chiamato uh, scusate, è questo in nero il piano. E se voi partivate da una base ortoormale, 1 o 2 ,
39:07:540Luisa Fiorot: tipo questi 2 , 1 o 2 , aggiungendo un 3 , questi. Vorrei che fossero disegnati come aver diciamo ruotato i versori questi della base canonica. Questi sono e 1 e 2 e 3 .
39:22:500Luisa Fiorot: Diciamo che sono stati messi così e 1 e 2 e 3 . Cioè, ho ruotato
39:29:70Luisa Fiorot: allora in questo caso ortogonale, trovate una base ortoormale, la chiameremo utre e mettendoli insieme, visto quello che Vi sto dicendo che se li mettete insieme, così la base sarà orto normale di tutto renne in questo esempio di arretra.
39:45:600Luisa Fiorot: Vi
39:47:70Luisa Fiorot: La spiegazione è che sono tutti versori, perché se prendete i primi K sono parte d'una base orto normale Diu e orto normale, significa tutti i lunghi 1 e a 2 2 ortogonali.
39:59:450Luisa Fiorot: quindi che siano lunghi. 1 i primi è garantito dal fatto che sono una base orto normale di U e che siano lungo gli 1 . Anche vettori da cappa più 1 a N è garantito perché sono parte d'una base orto normale di u ortogonale. Quindi son tutti versori e versori restano, perché sono tutti a 2 2 ortogonali.
40:18:810Luisa Fiorot: Se ne prendete in questa lista. 2 tutti e 2 dal primo pezzo di vettori. Siccome stavano qua, e questa era base orto normale, sono ortogonali fra loro, cioè, devo solo giustificarvi che uui è ortogonale augei per ogni scelta d'indici. E Je.
40:37:690Luisa Fiorot: Allora vi faccio notare che se i 2 indici e Gei. Li prendiamo qui tra 1 e cappa. Sono ortogonali tra loro perché erano parte di quella base, ed era una base orto normale. Quindi erano ortogonali.
40:51:390Luisa Fiorot: gli indici e Ji. Li prendo entrambi tra cappa più 1 enne. Questi sono ortogonali perché sono parte di questa base che era ortoormale. Quindi l'unica cosa da dimostrare è se un indice lo prendiamo in 1 , cioè tra 1 e cappa
41:06:580Luisa Fiorot: e l'altro indice lo prendiamo tra cappa più 1 e N è solo quello da verificare, e questo viene garantito da questo fatto.
41:15:50Luisa Fiorot: Quindi se noi andiamo a calcolare questo prodotto. Scalare in cui l'indice I è tra 1 e cappa.
41:23:410Luisa Fiorot: Mentre l'indice Ji è tra kppa più 1 e n
41:29:330Luisa Fiorot: se lì dice I è tra 1 e cappa Uuistane sotto spazio. U Se l'indice J è lì tra cappappi, 1 enne. Questo vettore sta nel suo ortogonale. E allora questo prodotto è 0 perché i vettori stanno i sottospazii ortogonali
41:46:600Luisa Fiorot: e quindi questa formula funziona solo se avete aggiunto una base arto normale del suo ortogonale. Quello che voglio dire è questo: che se o era il nostro di partenza, è questo. E invece di prendere un ortogonale, prendete una retta messa così:
42:03:280Luisa Fiorot: è evidente che l'unione di base ortoormale non darà una base orto normale, perché vi darà
42:10:940Luisa Fiorot: Qui avrete i vostri 2 versori restano versori Ma se andate a prendermi un versore qui.
42:17:290Luisa Fiorot: quello non è ortogonale. I primi 2 ,
42:20:90Luisa Fiorot: l'ortogonalità viene garantita solo se partite da una base orto normale di U e una proprio del suo ortogonale.
42:28:750Luisa Fiorot: allora sì credette un versore di questo asse
42:32:890Luisa Fiorot: e una base autonoma in partenza qui è quella è una base orto normale di Ar 3 . L'unione, che quindi bisogna aver scelto come, addendo diretto, esattamente ortogonale, non un qualunque, addendo diretto.
42:45:800Luisa Fiorot: perchè l? Unione di basi resta base, ma se volete che l? Unione di basi orto normali diventi una base orto normale. Funziona solo se avete fatto unione di basi D. U. Con il suo ortogonale
43:00:40Luisa Fiorot: caro a tutti. Cioè, questa questa osservazione è importante. State attenti, Funziona solo se sono già ortogonali sotto spazi Se no, Unione di basi orto normali non vi darà una base orto normale di renne.
43:13:400Luisa Fiorot: Questo è importante sapere
43:17:40Luisa Fiorot: allora, questo perché è importante? Perché adesso che abbiamo la decomposizione in somma diretta, noi avevamo già fatto le proiezioni e le simmetrie. E se ve le ricordate, le proiezioni e le simmetrie. Le avevamo introdotte così erano indomorfismi Dv e si partiva da una decomposizione in somali. Diretta.
43:35:350Luisa Fiorot: Quindi vi ricordo la definizione che avevamo visto che era questa.
43:44:460Luisa Fiorot: Avevamo visto che se fu è 1 spazio vettoriale che era decomposto come ursoma diretta v doppio. Allora facevamo la proiezione su con direzione.
43:57:850Luisa Fiorot: E questo era un endomorfismo di V Era definito così.
44:04:00Luisa Fiorot: Dovevate scrivere il vostro vettore V come 1 piccolo piovuto più piccolo.
44:09:470Luisa Fiorot: e la proiezione del vettore era la prima componente, la pu
44:17:640Luisa Fiorot: Questo era in astratto per qualunque spazio vettoriale. Ora noi vogliamo applicare questa definizione alla decomposizione ortogonale di ar n. E con questa definizione otteniamo la prezione ortogonale e quindi la definizione di proiezione ortogonale seguente
44:43:90Luisa Fiorot: dato: Chiamo T un sottospazzo di renne
44:51:570Luisa Fiorot: l'endomorfismo di proiezione ortogonale.
45:07:20Luisa Fiorot: Quello che vi definisco lo scriviamo semplicemente proiezione su T. Perchè la direzione sarà il suo ortogonale
45:17:870Luisa Fiorot: da renne. È un endomorfismo di renne in renne
45:24:450Luisa Fiorot: E fatto, così la proiezione su tu di un vettore V è uguale a U. Come prima, però, questa volta il vettore V si scrive come u più,
45:36:300Luisa Fiorot: ma la decomposizione è quella di arrenne
45:40:410Luisa Fiorot: che si ricompone in T somma diretta di ortogonale. Quindi adesso la condizione è che Uh stia in T
45:49:440Luisa Fiorot: Ev doppio nel suo ortogonale.
45:54:610Luisa Fiorot: Questa è la definizione.
45:57:90Luisa Fiorot: Vi
45:58:440Luisa Fiorot: come applicazione lineare. Ci sono tanti modi per trovarla, abbiamo fatto degli esercizi, ma poi oggi vi dimostrerò una formula per trovarla.
46:07:470Luisa Fiorot: ma vi ricordo che potete anche farlo così. Potete anche dire che le condizioni sono che la proiezione su T. Di un vettore u dov'è andata a proiettare? Deve restare fisso in se stesso. Questo però, ogni
46:21:750Luisa Fiorot: cioè se prendete i vettori già nello schermo, dove proiettate. Loro restano fissi perché sono già uguali ai loro proiettati.
46:29:240Luisa Fiorot: Invece, se vi prendete nella direzione ortogonale, si proiettano in 0 .
46:36:520Luisa Fiorot: Questo però, ogni fu doppio appartenente a t ortogonale.
46:41:160Luisa Fiorot: Anche qui di solito si rifatto un disegnino. Vogliamo proiettare ortogonalmente su questo
46:47:10Luisa Fiorot: sotto spazio, ti che ho disegnato un piano per l'origine
46:52:290Luisa Fiorot: qui. Allora, quando andiamo a proiettar un vettore, qualunque questo vettore, qualunque lo andiamo a decomporre come diagonale di un rettangolo in cui un lato
47:04:620Luisa Fiorot: l'altro lato è nel tio ortogonale, cioè questa retta in verticale, questa Eltor, l'ortogonale di T.
47:13:240Luisa Fiorot: Invece il piano T è questo
47:17:460Luisa Fiorot: accordo. Allora il vostro vettore V è quello verde che state proiettando e la proiezione è questo: questo è Uh
47:26:620Luisa Fiorot: e quello in verticale V doppio, il vettore verde v uguale al vettore, u più il vettore
47:38:50Luisa Fiorot: doppio E quindi proiettato è la punizione dal vettore azzurro nord
47:45:230Luisa Fiorot: Vedete che la somma dei 2 fa la diagonale
47:48:570Luisa Fiorot: come punti se pensate la prezione agonale. Come punto questo punto si proietta orgogliosamente su quel punto: Proiezione ottagonale di un punto sul piano
47:58:290Luisa Fiorot: solo che è vista interpretata come vettori. Quindi i nostri piani passano per l'origine.
48:03:830Luisa Fiorot: Facciamo la pausa e poi riprendiamo Quindi adesso tanto fermo.
48:10:70Luisa Fiorot: zoom! C'è zoom senso. La registrazione di zoom distrazione.
48:17:230Luisa Fiorot: Okay, dovrebbe essere partita, riduciamo qua, riduciamo qua.
48:27:540Luisa Fiorot: allora quello che abbiamo visto è la definizione di proiezione ortogonale. Su T.
48:32:880Luisa Fiorot: Vi voglio mostrare come si calcolano queste proiezioni ortogonali su T
48:37:860Luisa Fiorot: nel modo più veloce e semplice possibile, andando a fare questa osservazione. Quindi è in realtà una proposizione, ma che poi ci serve.
48:45:990Luisa Fiorot: Quindi è importante saperla, anche se non è nella lista di quelle che vi chiedo.
48:50:770Luisa Fiorot: Ma si usa sempre Quindi questa dovete saperla? Allora la proposizione dice che se
48:57:30Luisa Fiorot: avete una base orto normale di Arrenne, la chiamo C 1 wenne, una base orto normale.
49:13:110Luisa Fiorot: Ren Allora i vettori sono facili da calcolare le loro coordinate.
49:21:960Luisa Fiorot: Significa questo. Allora, dato un vettore V appartenente a renne
49:28:590Luisa Fiorot: il vettore, ha queste coordinate somatoria
49:33:640Luisa Fiorot: per i che varia tra 1 e N
49:36:780Luisa Fiorot: e bisogna fare V scalare Uh con i per uconì.
49:43:550Luisa Fiorot: Quindi questa è la formula che dovete sapere obbligatoria
49:51:980Luisa Fiorot: 6 in termini di coordinate. Questo si scrive in questo modo, cioè
49:59:710Luisa Fiorot: il vettore V ha coordinate rispetto alla base C,
50:04:870Luisa Fiorot: queste prima coordinata e v scalare 1 s coordinata, v scalare o 2 .
50:12:710Luisa Fiorot: E l'ultima Ev: scalare U. Con n.
50:23:120Luisa Fiorot: Per chi non se lo ricordava, la definizione di coordinate di un vettore rispetto a una base sono i coefficienti
50:31:150Luisa Fiorot: da mettere nella combinazione lineare della base per avere come risultato quel vettore.
50:37:870Luisa Fiorot: Quindi, siccome il primo coefficiente è bu scalare 1 va messo qui. Il secondo, quello relativo al vettore udu e buscalarodue. L'ultimo E. V Scalaruen, quelle sono le coordinate.
50:51:250Luisa Fiorot: Di solito, quando avevamo fatto questi esempi all'inizio dell'anno, quando abbiamo introdotto il concetto di base, le coordinate non sono semplicissime da trovare perché o dovete trovare una matrice di cambio di base. Oppure dovetesi risolvere un sistema di equazioni in tot incognite. È in equazione. Di solito inene incognite dove è nella dimensione dello spazio che
51:11:990Luisa Fiorot: la dimostrazione è Questa
51:19:480Luisa Fiorot: è questa osservazione che C.
51:24:50Luisa Fiorot: 1 o con n.
51:27:710Luisa Fiorot: Base orto normale.
51:34:20Luisa Fiorot: equivalente a chiedere
51:37:920Luisa Fiorot: che se fate il prodotto scalare di uui scalare ucongei, questo prodotto può essere solo 0 o 1 , e questo prodotto è 0 . Se glindici sono diversi. Questo vale 0 . Se L. Indice I è diverso dall indice Ji, perchè
51:57:190Luisa Fiorot: invece vale 1 Se l'indice I è eguale all'indice J Perchè vi ricordo che uui prodotto. Scalare uui è la lunghezza
52:10:70Luisa Fiorot: e i versori sono lunghi. 1
52:13:230Luisa Fiorot: e 1 la seconda fa 1
52:15:990Luisa Fiorot: con questa osservazione è facile perché
52:20:630Luisa Fiorot: se il vostro vettore in coordinate la sommatoria A. I. U. I.
52:27:950Luisa Fiorot: Con i che varia tra 1 e n.
52:31:880Luisa Fiorot: E volete trovarvi la prima coordinata. Vi faccio l'esempio per la prima, cioè il coefficiente Ah, con 1 per trovare a con 1 . Andiamo a far questo. Vado a farmi il prodotto, scalare V scalare Uh con 1
52:45:690Luisa Fiorot: questo, il Vo Somatoria per il che varia da 1 a nne, ahimèhi, questo scalare u con 1 .
53:00:00Luisa Fiorot: In realtà, questa parentesi qua non serve 3
53:05:470Luisa Fiorot: Adesso Uso il fatto che il prodotto scalare ebbi lineare, quindi simbolo di somatoria si può portare fuori dal prodotto
53:15:370Luisa Fiorot: i coefficienti. Hai pure.
53:18:110Luisa Fiorot: E poi si moltiplicherà per uui scalare U con 1 .
53:25:120Luisa Fiorot: E allora cosa succede? Che questo prodotto scalare, guardando quello che è scritto sopra.
53:31:150Luisa Fiorot: può essere solo 0 o 1 .
53:34:140Luisa Fiorot: Se io inizio con l? Indice, io uguale a 1 che al primo indice della mia somma, trovo a 1 scalare 1
53:40:810Luisa Fiorot: a 1 per 1 , scalare 1 .
53:43:990Luisa Fiorot: E questo mi va bene, perché questo è 1 .
53:47:980Luisa Fiorot: Poi troverei più a 2 uh 2 , scalare 1 . Ma questo numero è 0 .
53:55:90Luisa Fiorot: Più
53:56:210Luisa Fiorot: vi scrivo il resto. L'ultimo sarebbe a N. Wenne, scalare 1 , ma anche questo è 0 . Quindi in tutta quella somma sopravvive solo il primo addendo che fa a 1 .
54:11:280Luisa Fiorot: Perciò abbiamo dimostrato che la prima coordinata èv scalare 1 , il primo coefficiente.
54:19:290Luisa Fiorot: Quindi nell'elenco delle coordinate è questo.
54:22:940Luisa Fiorot: Come farete a fare, secondo, per calcolarvi? Secondo, andrete a calcolarvi vù scalare o 2 per il terzo vasca, l'aereo 3 o così via, cioè quando facciamo v scalare uh con cappa.
54:36:250Luisa Fiorot: Questa è la sommatoria, ahimè, con l'indice I, che varia tra 1 e n.
54:44:770Luisa Fiorot: Prodotto Scalare con U. K. E in questa somma i prodotti sono tutti nulli, tranne quello corrispondente all'indice K. E quindi l'unico addendo che sopravvive è
54:58:500Luisa Fiorot: Kappa Scalareu K Euka a Scalareu K è numero 1 ,
55:05:800Luisa Fiorot: questo vi dice che per ogni K
55:11:490Luisa Fiorot: tra 1 e n. La coordinata ha con K Ev scalaruk peroni K 3 .
55:24:760Luisa Fiorot: Ci facciamo un esempio in un conto di questo.
55:29:20Luisa Fiorot: e poi di come quindi applicarlo a fare le prezioni ortogonali.
55:33:470Luisa Fiorot: Esempio.
55:40:120Luisa Fiorot: calcoliamo
55:45:790Luisa Fiorot: coordinate
55:52:620Luisa Fiorot: del vettore V per esempio 1 0 nella base
56:05:910Luisa Fiorot: C.
56:08:160Luisa Fiorot: Mi prendo una base orto normale di alle 2 che non sia la canonica. Per esempio, questa radice di 3 mezzi, un mezzo. Questo è un avversore
56:19:260Luisa Fiorot: un mezzo radice di 3 mezzi, 3
56:27:380Luisa Fiorot: normalmente il conto, se lo fate, quel sistema è lungo. Ma qui le coordinate di V nella base C
56:35:60Luisa Fiorot: dovete impararvi che sono v scalare 1 sarà la prima coordinata. V Scalare o 2 è la seconda.
56:44:360Luisa Fiorot: Il primo vettore è 1 , il secondo 2 .
56:48:820Luisa Fiorot: Quindi andiamo a calcolarcene. Andiamo a farci v scalare Uh con 1 . Il vettore V è 1 0
56:56:750Luisa Fiorot: prodotto scalare radice di 3 mezzi, un mezzo.
57:01:610Luisa Fiorot: Vi ricordo che il prodotto scalare è prima coordinata per prima, e quindi è 1 che moltiplica radice di 3 mezzi.
57:09:600Luisa Fiorot: Più seconda, coordinata per seconda. E quindi questo è un radice di 3 mezzi
57:16:360Luisa Fiorot: che vado a mettere come prima coordinata.
57:21:120Luisa Fiorot: Adesso calcoliamo la seconda, che è semplicemente bu scalare o 2 V è 1 0
57:28:870Luisa Fiorot: o 2 . È meno un mezzo radice di 3 mezzi.
57:33:940Luisa Fiorot: Il prodotto Scalare è prima coordinata per prima, coordinata.
57:39:290Luisa Fiorot: seconda per seconda, e questo qua fa meno un mezzo.
57:49:600Luisa Fiorot: quindi il vettore 1 0 in quella base ortoormale ha coordinate radici di 3 mezzi, meno un mezzo
57:57:400Luisa Fiorot: che significa che il vettore v sarà uguale a radice di 3 mezzi.
58:03:180Luisa Fiorot: 1 , meno un mezzo, 2 .
58:07:410Luisa Fiorot: Questo significa coordinate 3 ,
58:13:830Luisa Fiorot: quindi la matrice viene facile.
58:18:430Luisa Fiorot: Questo è l'esempio.
58:21:170Luisa Fiorot: Quindi le basi orto normali sono le basi più facili su cui trovare le coordinate. Non bisogna fare sistemi particolarmente difficili. Basta fare riprodotto scalare.
58:31:50Luisa Fiorot: Allora, quello che v'insegno adesso è: Iniziamo a fare le proiezioni ortogonali su sottospazi vettoriale di dimensione, 1 perché, come v'è sempre insegnato in matematica si parte dalle cose più facili e poi via, via, ci si complica un po la vita.
58:44:720Luisa Fiorot: Allora andiamo a vedere sotto spazi di dimensione. 1 le loro proiezioni. Quindi proiezioni ortogonali.
59:10:320Luisa Fiorot: 3 li mostro in 2 modi. C'è 1 geometrico che
59:17:00Luisa Fiorot: si applica nel caso di una retta prezione su una retta. E l'altro teorico, che è quello di prima. Quello di prima, era che se io parto dal mio sottospazio di arrenne
59:28:110Luisa Fiorot: nel nostro caso di dimensione 1 ,
59:30:720Luisa Fiorot: i Vado a cercare una base orto normale di Tic che adesso mi segno, come farla. La chiamo ci contì.
59:37:860Luisa Fiorot: E questo vettore lo chiamo 1 .
59:40:840Luisa Fiorot: È solo 1 , perché sto partendo da un sottospazio di dimensione. 1 è suo ortogonale.
59:49:380Luisa Fiorot: È un sottospazio che avrà dimensione n. Meno 1 .
59:56:970Luisa Fiorot: Una sua base sarà fatta da Udue Wen, Questa base orto normale
00:11:320Luisa Fiorot: del sottospazio ortogonale, e poi vi insegnerò come trovarle. Ma per il momento a noi interessa solo sapere che esistono, e vi dico io che esistono. E poi vi mostro perché.
00:22:110Luisa Fiorot: E vi ho detto all'inizio nell'osservazione: se unite le basi, vi viene una base ortoormale di arrenne.
00:27:990Luisa Fiorot: e abbiamo appena visto come fare le coordinate. Quindi il vettore v a queste coordinate è va scalare 1 per 1
00:38:520Luisa Fiorot: più v scalare o 2 per 2
00:44:630Luisa Fiorot: somma fino a V scalare Uh con N
00:49:300Luisa Fiorot: per uconne. E ho messo delle parentesi
00:53:630Luisa Fiorot: perchè siccome vogliamo proiettare su tì con direzione ortogonale. Il primo vettore è un multiplo della base di T. Quindi questo sta in T
01:04:340Luisa Fiorot: è Questo il pezzo che sta nel T ortogonale.
01:09:910Luisa Fiorot: Quindi significa che la proiezione sarà questa la proiezione ortogonale su T di un vettore V
01:17:740Luisa Fiorot: è il pezzo evidenziato perché la componente su T
01:22:220Luisa Fiorot: ricordo, nella decomposizione in somma diretta. Perciò è v scalare 1 per 1 questo con questa
01:35:810Luisa Fiorot: 1 base orto normale
01:44:210Luisa Fiorot: D.
01:49:800Luisa Fiorot: Questa è la formula da sapere
01:55:700Luisa Fiorot: che
01:57:400Luisa Fiorot: dopo vi mostrerò che se il ti a dimensione più grande avesse dimensione, 2 , 3 o cappa, non vi cambia nulla. Perché Semplicemente invece di aver spezzato Così,
02:08:470Luisa Fiorot: una volta strabase in cui qui avete il primo vettore, e qui da o 2 wenne, se il ti a dimensione cappa, mettete i primi k vettore in ti da capo più 1 ene nel suo ortogonale. E quindi questa formula diventerà una sommatoria da 1 a kppa. Però ve lo mostro dopo Adesso proiettiamo su rette.
02:28:350Luisa Fiorot: Ora vi mostro geometricamente, perché è questo: prendiamo un vettore. Quindi abbiamo il nostro sottospazio. A Ti ci andiamo a fare un disegno più facile possibile, lui non vi verrà dato. Per sua natura, non sarete così fortunati che io vi assgno già un versore Non sono così gentile.
02:47:350Luisa Fiorot: Quindi facciamo, per esempio 1 5 , meno 1 .
02:53:200Luisa Fiorot: Ebbene, questo a dimensione 1 .
02:56:20Luisa Fiorot: Allora, quello che mi aspetto da voi che sappiate trovarmi una base, E quindi vi chiedo a voi mi dite una base di T.
03:04:660Luisa Fiorot: Ha un solo vettore e dentro vi mettete quello che vi ho dato io di generatore.
03:11:590Luisa Fiorot: Ora il disegno è simbolico, cioè il fatto che il Tian non spazio di dimensione 1 , perché se lo disegnassi col coordinate. Non si capirebbe niente. Quindi è un vettore. La cosa importante, che non è lungo 1 Lo chiamo 1
03:25:740Luisa Fiorot: Quindi questo è il mio Vuno, Andiamo a calcolarci la lunghezza di vuno. La norma
03:32:280Luisa Fiorot: la norma è la radice quadrata di 1 alla seconda più 5 , la seconda, più meno una alla seconda, e questo è più 1 .
03:48:240Luisa Fiorot: Le radici nasceranno sempre. Non si può pensare che gli esercizi che vi proponiamo non abbiano radici quando si parla della parte ortogonale, perché nascono
03:59:750Luisa Fiorot: quello che vi voglio chiedere è: come proiettato un vettore? Qualunque?
04:04:760Luisa Fiorot: Questo è un vettore qualunque V e voglio fare la proiezione ortogonale su questa retta
04:10:210Luisa Fiorot: vi disegno. Quindi la retta è questa simbolica nel mio disegno.
04:15:140Luisa Fiorot: T.
04:16:480Luisa Fiorot: E il T è sotto spazio generato da Vuno.
04:19:710Luisa Fiorot: Questo Et. T. Esso è sotto spazio generato da V.
04:23:580Luisa Fiorot: Allora, quello che noi adesso andiamo a fare è questo: Noi ci costruiamo una nuova base. Andiamo a prendere un versore qua dentro che ve lo disegno e lo chiamiamo 1
04:37:780Luisa Fiorot: perché il vettore v' 1 non è lungo, 1 , ma è lungo radice di 27 . E invece
04:44:240Luisa Fiorot: la formula che vi ho detto d'imparar. È questa che la proiezione sudì un vettore V
04:49:720Luisa Fiorot: è vol scalare 1 per 1 . Ora ve la disegno, e vi spiego perché è questa: perché se 1 è il versore in turchese che vi ho disegnato.
05:01:60Luisa Fiorot: quando voi andate a calcolarmi la proiezione ortogonale, la proiezione ortogonale vi viene questa
05:06:960Luisa Fiorot: me la faccio in blu. Questo viene questo vettore qui
05:13:450Luisa Fiorot: a là, un po più lungo.
05:16:320Luisa Fiorot: perché, sommato, questo in verticale deve dare il vettore verde scordo. Quindi questo, nella base, la mia base, questo vettore
05:26:530Luisa Fiorot: messo fino a là sarà la proiezione ortogonale Sutty del vettore V,
05:32:30Luisa Fiorot: mentre questo in verticale sarebbe la proiezione sulla direzione ortogonale
05:37:420Luisa Fiorot: nella nostra decomposizione. Io Ve l'ho sempre scritto. Così vi ho scritto il vettore V lo decomponiamo come U Piùv: doppio uh nel sottospazio T
05:48:270Luisa Fiorot: fu doppio, né sottospazio, ti ortogonale userò de colori. Allora, se il V doppio questo ortogonale A T
06:00:690Luisa Fiorot: di ti abbiamo usato il colore blu, un po più grosso uh, è questo Uh.
06:09:660Luisa Fiorot: Quindi Ura presenta la base del mio triangolo: rettangono invece la direzione perpendicolare questa al vettore V doppio e il vettore V è l'adegonale di questo rettangolo.
06:21:320Luisa Fiorot: E quindi è la somma dei 2 . L'accordo è Up, fu doppio. Vedete che il vettore Uh è blu e steso nella retta T che è questa
06:31:770Luisa Fiorot: la retta è questa.
06:33:760Luisa Fiorot: Perciò la base è nella retta e l'altezza è ortogonale che questa è la decomposizione. Allora vi chiedo: usiamo la trigonometria di base. Pensiamo adesso che non siano vettori che siano triangoli e vi chiamo X. Questo angolo
06:49:830Luisa Fiorot: cordo quanto è lunga la base se conoscete la lunghezza del vettore vocalipotenusa.
06:57:250Luisa Fiorot: Quindi qua voglio costruirmi questo vettore, questo blu
07:02:200Luisa Fiorot: costruendomene. In questo modo. Guardo la sua lunghezza e poi lo moltiplico per il suo versore per guardare che sia nella stessa direzione e in quell'asse. Quindi vi sto chiedendo la sua lunghezza. Quanto è lungo un catetto? È l'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente.
07:18:500Luisa Fiorot: Quindi la base di questo vettore, la lunghezza del vettore. U Questa è la seguente: devo fare la lunghezza
07:27:950Luisa Fiorot: per il coseno dell'angolo x, l'ho chiamato quello compreso, se volete, che m'hanno tetta compreso tra quei 2 vettori che
07:37:110Luisa Fiorot: e questo coseno dix quanto vale la formula del coseno, ve l'avevo data la formula del coseno, è un vettore. E quindi, nel nostro caso, noi abbiamo il versore ch'è 1 .
07:48:400Luisa Fiorot: Questo Quindi abbiamo 1 che avversore scalare v diviso la norma di 1 norma. Di V. Questo è il Coseno d'un angolo tra 2 vettori: i vettori, ve li disegno
08:01:870Luisa Fiorot: è 1 e questo è V Quindi questo è l'angolo. Ok.
08:07:250Luisa Fiorot: solo che i versori hanno lunghezza 1 . Quindi il numeratore vi resta 1 : scalare V e il denominatore. Siccome questo è 1 , vi resta solo la norma
08:18:450Luisa Fiorot: 3 .
08:19:810Luisa Fiorot: Quindi quello è. Allora se voi andate a moltiplicare qui avrete norma di V e vi viene quindi coseno dell'angolo X, che è quello che abbiamo visto. Quello che voglio dirvi è che quindi, quando noi andiamo a calcolarcelo, questa novra di V per Coseno di X che 1 scalare v divisa una norma.
08:38:560Luisa Fiorot: questo andando a semplificare qui la lunghezza. Il coseno potrebbe essere negativo. E quindi qui in realtà è per il modulo del coseno.
08:48:630Luisa Fiorot: che andrebbe moltiplicato perché è una lunghezza. Quindi quando a quanto è lungo quel vettore, quel vettore è lungo il modulo di V scalare 1 per questo, qui c'è bu scalare 1 .
09:00:250Luisa Fiorot: Quindi questa è la lunghezza del vettore. E poi devo moltiplicare per il versore
09:06:689Luisa Fiorot: se il coseno. È positivo il segno già conservato dalla X. È in questa parte, come nel disegno che ho fatto. Se Coseno è negativo, il modulo ar sarebbe tolto il segno, ma dovette mettere di nuovo il segno giusto perché deve stare dall'atto, giusto? Quindi questa è la formula da imparare a memoria. Questa
09:25:569Luisa Fiorot: Ma la giustificazione la vedete nel triangolo, Questo vettore di base lo stiamo costruendo facendo
09:33:500Luisa Fiorot: lunghezza dv per il coseno dell'angolo, e moltiplicando per il versore di quella retta. Quello è quello che stiamo facendo, geometricamente, al significato geometrico della formula. Perchè sennò se la vedete, Non so se è chiaro che quella è una proiezione ortogonale.
09:49:430Luisa Fiorot: quel V, scalare 1 per 1 vi sta dicendo: prendi nel versore quindi in quell'asse la lunghezza giusta della tua proiezione ortogonale. E la lunghezza è v scalare 1
10:00:820Luisa Fiorot: moto.
10:02:580Luisa Fiorot: Allora Andiamo a farci nel nostro esempio. Il nostro vettore era 1 5 , meno 1 , ed era a lungo radice di 27 . Quindi il vettore è 1 5 , meno 1 .
10:13:380Luisa Fiorot: Questo E lui è lungo radice di 27 .
10:18:970Luisa Fiorot: Va bene, non è importante Chi sa lungo radici di 27 vi faccia un altro esempio. Se voi avete un vettore che è lungo 2 .
10:25:880Luisa Fiorot: Se questo è lungo 2 quadratini e m'individua questa retta. Quando vado a disegnare e cerco un versore, come faccio a disegnarlo.
10:34:860Luisa Fiorot: Se quello era lungo 2 , e voglio un versore devo dimezzare la lunghezza per averne 1 lungo 1 . Quindi, se parto da un vettore lungo 2 , devo dividere per 2 Se parto da un vettore lungo 3 , dividerò per 3 Se parte un avventore lungo radice di 27
10:51:390Luisa Fiorot: divido per radice di 27 . Si chiama normalizzazione
10:59:720Luisa Fiorot: normalizzazione. È questa.
11:03:280Luisa Fiorot: Si va a definire il versore 1 come il vettore, diviso, la lunghezza del vettore.
11:10:510Luisa Fiorot: Questo vuol dire normalizzare. Nel nostro caso diventa 1 diviso radice di 27
11:18:720Luisa Fiorot: 5 , diviso a radice di 27 , meno 1 diviso a radice di 27 ,
11:26:740Luisa Fiorot: perché nostro vettore aveva modulo, la radici di 27 a tutti è sempre un versore
11:38:10Luisa Fiorot: perchè vi ricordo che noi abbiamo mostrato questa formula che se voi fate la norma di un vettore, ha scusa di vettore v doppio per 1 scalare ha quanto vale.
11:51:760Luisa Fiorot: Questo vale che là si può portare fuori. Ma col modulo, Cioè, se io vi chiedo quant'è la norma di 2 volte. Vo Doppio voi mi direte 2 volte la norma di
12:01:610Luisa Fiorot: quant'è la norma di meno 3 volte. V Doppio sarà 3 volte la norma di buddoppio, cioè dovette portare fuori il coefficiente con il modulo, perché una lunghezza è sempre positiva o nulla
12:13:650Luisa Fiorot: per la lunghezza di buddoppio. Allora, se lo applichiamo a questa formula, a questa: Quant'è la lunghezza di 1 ? La lunghezza? Di 1 è lo scalare. Ah, voglio considerarmi questo: scalare.
12:28:620Luisa Fiorot: E il vettore fu doppio. Questo
12:31:250Luisa Fiorot: Quindi questo fa ruolo div doppio.
12:36:890Luisa Fiorot: Questo numero fa ruolo, dello scalare.
12:40:440Luisa Fiorot: ma il numero è un numero positivo. Quindi esce come lui.
12:45:950Luisa Fiorot: e resta norma di vuno. Quindi si semplificano. Quello è un versore è lungo 1 .
12:53:410Luisa Fiorot: La cosa importante è quella che poi fate esattamente Se aveste un metro in mano. Se avete un metro, mano una stecca, diciamo e vi disegnate la retta. E però il vostro vettore che V è stato dato era lungo. 2 . Voi andate a dimezzarlo per trovar il versore
13:07:890Luisa Fiorot: fa abbiamo trovato il versore. Abbiamo finito perché è una proiezione. Come si calcola
13:13:970Luisa Fiorot: la proiezione ortogonale su tì del vettore v è vò scalare 1 per 1 , e ora devo solo sostituire
13:23:630Luisa Fiorot: il vettore. V. Si chiama X Ypsionzetta, perché è un vettore di alle 3 .
13:29:230Luisa Fiorot: Il versore 1 è 1 diviso alla radice di 27 5 , diviso radice di 27 , meno 1 , diviso radice di 27 .
13:41:90Luisa Fiorot: Questo prodotto scalare sarà un coefficiente che andrà moltiplicato per 1 .
13:56:620Luisa Fiorot: Allora, oggi che adesso, la prima volta facciamo un passaggio in più che poi prossimamente un po salterò che è prima
14:04:360Luisa Fiorot: questo quello è X, che moltiplica 1 diviso a radici di 27
14:11:530Luisa Fiorot: Y per 5 , diviso radice di 27
14:16:780Luisa Fiorot: Z per meno 1 diviso radice di 27 . Quindi questo è il coefficiente
14:23:440Luisa Fiorot: che va moltiplicato per questo vettore
14:33:480Luisa Fiorot: allora il radice di 27 moltiplicato per radice di 27 a denominatore. Mi toglie la radice, e quindi il numeratore resta
14:42:770Luisa Fiorot: 5 ipsi non meno z ventisettesimi Qui devo moltiplicare per 5 . Quindi a 5 x.
14:51:280Luisa Fiorot: più 25 , Ypsion, meno 5 , Z
14:55:420Luisa Fiorot: 27 . L'ultimo è meno x meno 5 , Youtube ze diviso 27 .
15:06:580Luisa Fiorot: Questa è la proiezione. Quindi la matrice della proiezione ortogonale su quell'asse rispetto alla base canonica. E questa
15:16:180Luisa Fiorot: matrice base canonica base canonica della proiezione ortogonale su T.
15:23:670Luisa Fiorot: La chiamo P questa matrice matrice di proiezione.
15:28:730Luisa Fiorot: Il coefficiente della X prima Riga è un ventisettesimo
15:33:740Luisa Fiorot: i coefficienti Vipsilo nella prima riga è 5 ventisettesimi
15:38:780Luisa Fiorot: di zeta in prima riga è meno un ventisettesimo ora passa la seconda riga.
15:54:280Luisa Fiorot: E Ora, all'ultima
16:07:750Luisa Fiorot: viene questa bella matrice.
16:10:800Luisa Fiorot: Allora vi ricordo che la proiezione ha come immagine lo spazio su cui proiettate.
16:21:720Luisa Fiorot: che nel nostro caso era 1 5 meno 1 significa che una verifica veloce nel caso di proiezioni su assi
16:30:740Luisa Fiorot: che tutte le colonne devono essere multiple di questo vettore.
16:36:560Luisa Fiorot: perché l'immagine è sotto spazio vettoriale generato dalle colonne. Vedete che il primo è il multiplo per un ventisettesimo. Questo è multiplo per 5 o ventisettesimi. Questo per meno.
16:49:750Luisa Fiorot: Poi sarebbe vero. Ma non vi faccia la verifica che se fate 2 volte una proiezione
16:55:140Luisa Fiorot: composto P fa p proiettato 2 volte. Restate fermi su schermo di prezione.
17:02:520Luisa Fiorot: Ma la cosa più simpatica da osservare è una proprietà. Di Questa matrice guarda il coefficiente. Prima riga seconda colonna, 1 o 2 è uguale al coefficiente.
17:14:490Luisa Fiorot: 1 3 è uguale al coefficiente, 3 , 1 ,
17:19:90Luisa Fiorot: 2 , 3 . Seconda riga, terza colonna, è il 3 2 , cioè la matrice, è simmetrica
17:26:220Luisa Fiorot: per le matrici di proiezione ortogonale e di simmetria. Ortogonale la matrice sarà sempre simmetrica. Quindi questa è una cosa che vedetta occhio. Cioè, la prima riga è uguale alla prima colonna, perchè la matrice è uguale a la sua trasposta.
17:43:870Luisa Fiorot: Se non vi viene così avete al 100 per 100 . Sbagliato i conti, perché una patria di proiezione ortogonale solo per quelle ortogonali sono sempre simmetriche.
17:55:280Luisa Fiorot: E quindi questa è una verifica che, pretendo che facciate velocemente perché questa si vede ad hoc e non richiede conti
18:00:880Luisa Fiorot: quindi nota bene
18:08:700Luisa Fiorot: le matrici rispetto alla base canonica.
18:12:350Luisa Fiorot: diciamo, Le matrici di proiezioni ortogonali
18:22:210Luisa Fiorot: rispetto alla base canonica
18:32:490Luisa Fiorot: sono sempre simmetriche
18:39:730Luisa Fiorot: che vuol dire questo sono simmetriche. Significa che sono uguali alla matrice trasposta che
18:47:690Luisa Fiorot: perciò, se in 1 dei quiz vi presento una serie di matrici in cui 3 non sono simmetriche e una è simmetrica, e vi chiedo quale di queste matrici è una matrice d'una proiezione ortogonale.
19:00:30Luisa Fiorot: Voi mi scrivete. L'unica che vedete che è simmetrica, perché le altre 3 se non sono simmetriche, non possono essere matrici rispetto alla base canonica d'una prozione ortogonale. Quindi anche dovete farvi tutto un conto
19:12:580Luisa Fiorot: ricordo, cioè se di andare a verificare se è vero che quella è una proiezione. Per esempio, non basta verificare per una proiezione ortogonale, Che pi quadro ugualepì, io posso darvi 4 matrici di proiezione, Ma se 3 non sono simmetriche, saranno proiezioni non ortogonali. Se l'ultima è simmetrica
19:30:00Luisa Fiorot: e verifica pi quadro ugualepp allora è una matrice di protezione ortogonale.
19:34:220Luisa Fiorot: Questo mi aspetto. L'ultima cosa è che c'è anche un altro modo per vedere questa matrice. Questa matrice. Si può costruire, appunto. Così, il versore è 1
19:45:110Luisa Fiorot: 1 . Era 1 diviso radice di 27
19:49:350Luisa Fiorot: 5 , diviso a radice di 27 ,
19:52:400Luisa Fiorot: 1 diviso alla radice di 27 . Questa
19:56:610Luisa Fiorot: voi mettete questo vettore. Così siccome la Proiezione
20:02:20Luisa Fiorot: scalare v di questo vettore è fare v scalare 1 per 1 questo, quindi diciamo, è 1 .
20:14:820Luisa Fiorot: Scriviamo tutto. Sarebbe bu scalare 1 per 1 .
20:22:750Luisa Fiorot: Questo
20:23:980Luisa Fiorot: vuol scalare 1 è il coefficiente un coefficiente che dipende da Xyps Zzetta, e 1 invece è un vettore. D'accordo? Ma questo lo vorrei trasformare in questo modo. Cioè, voglio mostrarvi che è come scrivere 1 ,
20:38:660Luisa Fiorot: lo metto a sinistra, cioè il numero, lo metto a destra. E quindi vettore lo metto a sinistra. Questo qui è 1 scalare V,
20:47:360Luisa Fiorot: perché il numero è bu scalare 1 , ma è uguale a 1 scalare vù. Quindi sono spostato di posto il coefficiente.
20:53:960Luisa Fiorot: Questo prodotto commota, perché è il prodotto di 1 scalare per un vettore. Non è un prodotto di matrici cordo qua dentro. Adesso 1 1 scalare V è 1 trasposto Per Vù. E adesso questo è tutto un prodotto di matrici.
21:10:620Luisa Fiorot: Allora vi faccio presente. Vedete 1 come matrice, Che tipo di matrice Quante righe ha
21:17:250Luisa Fiorot: questo vettore? U con 1 è messo in colonna, Ha una sola colonna e quante liga
21:22:390Luisa Fiorot: 3 . Quindi come amatriciana. 3 per 1 . Quindi 1 è una matrice 3 per 1 1 trasposto vuol dire che la colonna, la metto in riga, quindi diventa una matrice con una riga e 3 colonne il vettore.
21:39:540Luisa Fiorot: E quindi, come matrice è una matrice 3 per 1 scritte. Così queste matrici si moltiplicano tutte fra di loro. E quindi la matrice di proiezione è questa.
21:51:420Luisa Fiorot: 1 1 trasposto. Questa è la matrice per V. Se fate il prodotto di questi 2 vettori, vi resta la matrice 3 per 3 ,
22:00:640Luisa Fiorot: che è la matrice di proiezione.
22:02:910Luisa Fiorot: Quindi una matrice di proiezione. La potete anche scrivere così. È 1 per 1 trasposto. Vi faccio questo conto. Raccolgo 1 su radice di 27 ,
22:13:970Luisa Fiorot: perché 1 è 1 diviso radice di 27 e 1 . Quindi il suo trasposto sarà 1 diviso alla dice di 27 :
22:23:930Luisa Fiorot: 1 trasposto, i 2 coefficienti davanti saranno un ventisettesimo. Il vettore v' 1 è 1 , 5 , meno 1 .
22:35:540Luisa Fiorot: Questo messo in riga, 1 , 5 , meno 1 . Se andate a fare questo prodotto, vi resta un ventisettesimo e il prodotto è posto 1 a 1 . Questo per questo, quindi, viene 1 per 1 che fa 1
22:51:580Luisa Fiorot: posto 1 , 2 è 1 per 5 , che fa 5 , posta 1 , 3 è l' 1 per 1 che
23:00:930Luisa Fiorot: adesso. Se fate l altro conto vi viene il 5 per 1 , 5 , 5 per meno 1 . E quivi viene il meno 1 , meno 1 , per 5
23:10:900Luisa Fiorot: 1 , per meno 1 .
23:14:100Luisa Fiorot: Se andate a verificare questa matrice, è esattamente quella di sopra. Solo che quella di sopra i ventisettesimo l'avevo messo, cioè il denominatore dentro tutte le entrate. Questo è il coefficiente e misto raccolto fuori.
23:26:340Luisa Fiorot: Quindi le proiezioni sono sotto spazio di dimensione. 1 sono facili.
23:31:320Luisa Fiorot: Questo vi dice che se sapete, proiettare su sottospazi di dimensione 1 , sapete automaticamente proiettare anche su sottospazi di dimensione n meno 1 per differenza. E sapete, fare tutte queste simmetrie ortogonali.
23:45:220Luisa Fiorot: perchè vi ricordo che la matrice di simmetria ortogonale simetria, ortogonale di assettì è 2 volte la matrice di proiezione, meno la matrice identità.
23:57:240Luisa Fiorot: Nel nostro caso, Quindi, la formula vale sempre e questa sarebbe la matrice di simmetria ortogonale
24:12:300Luisa Fiorot: Asse T.
24:15:270Luisa Fiorot: Che
24:17:150Luisa Fiorot: l'altra osservazione importante è che se siete furbi proiettate sempre su spazi di dimensione più bassa E per differenza, ottenete la proiezione su quelli di dimensione più alta. Cioè, questa osservazione.
24:32:170Luisa Fiorot: nostro spazio era R. 3 , e lui era decomposto come T Soma diretta a ti ortogonale.
24:40:750Luisa Fiorot: Ogni vettore V si scrive in modo unico, come U, più
24:46:270Luisa Fiorot: con la condizione che U appartenga A. T.
24:50:70Luisa Fiorot: E V Doppio appartenga al suo ortogonale.
24:54:170Luisa Fiorot: Allora, se dobbiamo proiettare ortogonalmente su tì la proiezione ortogonale suttì del vettore V è un
25:03:880Luisa Fiorot: Se invece dovette proiettare ortogonalmente sul tio ortogonale.
25:09:830Luisa Fiorot: il vettore V Questo è il vettore V Doppio V Doppio è V Menoù
25:19:230Luisa Fiorot: Quindi se questa matrice la chiamiamo di proiezione, la chiamiamo P,
25:24:770Luisa Fiorot: E questa matrice. Invece la chiamo P. Primo
25:28:40Luisa Fiorot: Questa ve lo scrivo sotto l'ap primo è la matrice associata canonica, base canonica
25:36:360Luisa Fiorot: della proiezione, però sul sottospazio ortogonale. La relazione che è scritta là è che, siccome è V, meno U. V è
25:47:690Luisa Fiorot: quindi qui metterete la matrice identità, meno Uh e Uh e la proiezione. Quindi almeno la matrice di proiezione che avete trovato
25:57:310Luisa Fiorot: senza dover trovare una base orto normale dell'ortogonale. Ok.
26:03:360Luisa Fiorot: significa che se l'esercizio fosse stato questo esempio.
26:14:550Luisa Fiorot: determinare la matrice associata rispetto alle basi canoniche.
26:24:990Luisa Fiorot: Quindi Ah, base canonica. Base canonica, proiezione ortogonale su della proiezione ortogonale vi
26:44:60Luisa Fiorot: e Uh, vi do il piano che quello che vi do è esattamente l'ortogonale. Vorrei che me lo diceste voi. Il sottospazio era generato da 1 5 meno 1 . Quindi che equazione, vi viene
26:57:250Luisa Fiorot: 1 , 5 , meno 1 ora precedente X più 5 Ips, non meno una volta. Z. Ok: Una volta X
27:05:370Luisa Fiorot: 5 volte, Youtube, meno una volta Z, uguale a 0 .
27:10:820Luisa Fiorot: Questo Però questo l'ho scelto apposta per farvi vedere. Cioè,
27:18:530Luisa Fiorot: Uh, l'ho scelto come ortogonale di T.
27:24:430Luisa Fiorot: Che
27:25:580Luisa Fiorot: allora, per far questo, l'ortogonale, appunto è 1 5 , meno 1 , la proiezione. L'abbiamo già trovata, quindi la matrice richiesta la chiamo
27:36:780Luisa Fiorot: quella matrice P. I. Primo è la matrice identità.
27:40:260Luisa Fiorot: Meno La proiezione proiettai su una retta più facile che proiettare su un piano.
27:47:650Luisa Fiorot: Pensate solo a farvi un disegno. Se voi dovete proiettare su una retta, il disegno facile, quello di prima, prendo una retta per l'origine, prendo un vettore. La sua proiezione è questa.
27:58:720Luisa Fiorot: mentre se dovessi proiettare ortogonalmente su un piano, e ci facciamo un altro disegnino, questo
28:06:320Luisa Fiorot: al nostro piano passa per l'origine e devo proiettare questo vettore. La prezione ortogonale geometricamente non sembra molto diversa, perché diciamo che questo cade in
28:18:430Luisa Fiorot: disegno Pessimo. Scusate, cerco di farmelo meglio.
28:22:840Luisa Fiorot: Quindi supponiamo che questo cada in ortogonale qua in giù, questo ma quando uso una base orto normale, quindi un sistema di riferimento qua. E qua. Questo qui lo dovrai decomporre
28:35:420Luisa Fiorot: come diagonale
28:37:520Luisa Fiorot: di un rettangolo di questo tipo. Qui c'è la mia diagonale. E quindi devo dar fare 2 proiezioni su gli assi. Devo fare un proiezione su un'asse, 1 in proiezione su un'asse o 2 , questo vettore, questa che sarebbe la mia base. E questa all'altezza d'un triangolo. La mia base è la diagonale
28:56:710Luisa Fiorot: ottenuto assommando 2 proiezioni: la prezione su questo asse su questo. Adesso vi faccio l'esempio
29:03:600Luisa Fiorot: perchè il nostro sottospazio t è generato da 1 . Se il tii ortogonale fosse generato da Udue o 3 tutti questi orto normali. Avrei una base ortoormale di R 3 , 1 , 2 o 3
29:20:770Luisa Fiorot: queste tutte basi, orto normali.
29:27:500Luisa Fiorot: Vi ho detto prima che le coordinate. La prima cosa che abbiamo dimostrato è che sono V scalare 1 per 1 ,
29:36:290Luisa Fiorot: vi bu scalare 2 per 1 , 2 , Qr.
29:52:400Luisa Fiorot: Allora, questa è la componente su sottospa attì la parentesi quadra è quella sul tio ortogonale
30:00:190Luisa Fiorot: e quella sul Tir togonale. Come vedete, è la somma Dv: scalare o 2 per 2 più V Scalaro 3 per 3 . Quindi se non Conoscete il vettore che vi evidenzia adesso in giallo. Ma dovette
30:14:880Luisa Fiorot: trovarvelo esplicitamente. E io vi do una base ortoormale o 2 o 3 , voi dovete fare un conto più lungo perchè dovete fare busca la redue per o 2 più fu scalaru 3 perutre. Il problema in generale è che è più lungo trovare Ue e o 3 ,
30:31:210Luisa Fiorot: mentre quando avete un'asse una retta, una base ortoonale d'una retta a un versore. Avete un solo passaggio da fare, prendete il vettore e dividete per la sua lunghezza. E con quello avete trovato il versione D'accordo, dubbi.
30:45:760Luisa Fiorot: allora, detto questo, l'ultima cosa è una definizione che useremo una prossima volta. È un'osservazione, definizione
30:57:500Luisa Fiorot: e ora nasce dalle matrici, associate e cambi di base con base ortoormale. Quindi prendiamo una base ortoormale. B.
31:08:00Luisa Fiorot: 1 wenne base orto normale.
31:19:660Luisa Fiorot: der renne.
31:21:570Luisa Fiorot: E metto queste
31:24:90Luisa Fiorot: questi vettori in colonna d'una matrice, cioè calcolo, la matrice del cambio di base. Da questa base B alla base canonica.
31:33:390Luisa Fiorot: lei ha come colonne queste e la propietà bellissima di queste matrici. H. Queste, con basi orto normali.
31:42:500Luisa Fiorot: è che l'inversa di questa matrice è semplicemente la trasposta, cioè Prendete le righe, le mettete in colonna e quella invertire queste matrici che capite bene che è molto più veloce di fare, o il metodo dei determinanti e dei minori che vi ha assegnato la riduzione di Gaus.
31:58:820Luisa Fiorot: Adesso vi mostro perché definizione, questa allora dimostro che
32:10:610Luisa Fiorot: inversa, di questa matrice è uguale alla trasposta. E la definizione è che matrici, in cui v inversa e uguale alla trasposta hanno un nome speciale e si chiamano matrici ortogonali. Quindi una matrice.
32:26:880Luisa Fiorot: una matrice H vi
32:37:400Luisa Fiorot: che d'inversa si era trasposta.
32:44:590Luisa Fiorot: Si chiama matrice ortogonale.
32:59:860Luisa Fiorot: che
33:02:230Luisa Fiorot: capite che per questi conti sono molto più facile, perché non dovete invertire modi complicati. E il motivo è semplicemente questo che se voi avete la matrice unouenne come colonne una base orto normale.
33:16:690Luisa Fiorot: Quando prendete la trasposta, la prima colonna diventa la prima riga. Quindi metto qui la matrice trasposta 1 ch'era, il primo vettore, colonna, lo vado a mettere come prima Riga
33:28:260Luisa Fiorot: Uh, la seconda colonna, seconda riga
33:31:650Luisa Fiorot: wenne. L'ultima colonna sarà l'ultima riga
33:36:100Luisa Fiorot: con questo prodotto di matrice. Ho scritto questa che è la matrice trasposta, moltiplicata per H.
33:43:380Luisa Fiorot: E ora vi mostro che questo prodotto fa la matrice identità.
33:47:580Luisa Fiorot: Quindi questo vi vado a mostrare che è l'identità, e questo è essenzialmente dire che ninversa la trasposta
33:55:760Luisa Fiorot: Questo perché quando faccio primo, per primo, prima riga per prima colonna, è 1 trasposto per 1 . Quello è il prodotto scalare 1 , scalare 1 è la norma, la seconda, ma lui è un versore. E Quindi questo è
34:11:690Luisa Fiorot: 1 prodotto scalare 1 che sarà 1
34:15:770Luisa Fiorot: qui in seconda coordinata, imposto prima riga, seconda colonna, avrete 1 scalare o 2 , e quello farà 0 , perché vettori sono ortogonali, poi avrete 1 prima riga, scalare terza colonna.
34:31:910Luisa Fiorot: e alla fine 1 scalare wenne. E la stessa cosa per tutte le entrate. Quindi l'ultima riga inizierà con un Wenne, scalare 1
34:41:910Luisa Fiorot: Qui ci sarà wenne, scalare o 2 .
34:44:770Luisa Fiorot: E qui ci sarà wenne, scalare uh con n
34:48:680Luisa Fiorot: E allora sopravvivono solo i vettori e i vettori, i ma i numeri. Scusate, sulla degonale. Questi sono tutti 1 perché sono tutti versori.
34:59:770Luisa Fiorot: E invece la condizione di ortogonalità è l'annullarsi dei termini fuori dell'adegonale. Siccome oui scalare Ugei
35:11:220Luisa Fiorot: è uguale a 0 6 è diverso da J
35:15:760Luisa Fiorot: questo mentre uui scalare Oui è uguale a 1 .
35:21:390Luisa Fiorot: Perciò la matrice vive nell'identità cordo.
35:25:720Luisa Fiorot: Non so cosa sia nato.
35:29:240Luisa Fiorot: Va bene, finiamo qua, e vi mostrerò la prossima volta degli esempi difficili. Ma se voi vi guardate le colonne e osservate che sono una base artronormale, non andate a farvi nessun conto per inventire la matrice, la trasponete.
35:42:500Luisa Fiorot: Allora, per oggi finiamo qua da casa, ci siete avete domande notte inciatta. Se no, vi saluto.
35:53:540Luisa Fiorot: va bene. Arrivederci. Stop. La registrazione per.