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00:03:50Annalisa Cesaroni: Allora oggi. Oggi cominciamo l'ultimo argomento di questa prima parte del corso, poi ci sarà un ulteriore argomento. A gennaio abbiamo detto
00:14:670Annalisa Cesaroni: che è quello degli integrali integrali di Riman.
00:33:300Annalisa Cesaroni: Non è un matematico. È una teoria che è stata sviluppata nel corso dell' 800 matematico, ottocentesco tedesco. E allora.
00:48:650Annalisa Cesaroni: E qual è l'idea alla base dell'integrale Dihman? E alla base di integrali fatti precedentemente. L'idea benissimo una volta che si è capito in qualche modo come dare senso a somme infinite di quantità si cercava, si è cercato di trovare un metodo che permettesse di calcolare
01:10:590Annalisa Cesaroni: é l'estensione di aree di superfici che di zone del piano
01:19:20Annalisa Cesaroni: calcolo, di zone del piano che non fossero poligonali. Poligoni. Allora l'area di un poligono, più o meno la si sa calcolare, Ok, è l'area di una di un'area, di una zona del piano che abbia dei dei lati curvilinei e non si sa calcolare con i metodi di geometria sintetica. Ok, Quindi l'idea è quella di sviluppare un metodo
01:42:120Annalisa Cesaroni: che permetta di calcolare per lo meno
01:44:880Annalisa Cesaroni: delle aree delle aree di alcune regioni con dei lati curveline, che siano scritti che si possono scrivere come sottografico di funzioni continue
01:57:340Annalisa Cesaroni: o almeno di funzioni limitate. Quindi prendo F da Rnr limitata
02:09:919Annalisa Cesaroni: e noi tendenzialmente considereremo il caso in cui F sia una funzione continua. In realtà, l'integrale deriman. Questo metodo si applicherà a funzioni continue oppure, che al massimo ci hanno un certo numero di singolarità, cioè continue a parte un certo numero di singolarità
02:33:60Annalisa Cesaroni: finito
02:35:00Annalisa Cesaroni: F, una funzione continua, supponiamola al momento positiva
02:42:780Annalisa Cesaroni: e fissiamo un intervallino a B
02:47:780Annalisa Cesaroni: dentro al dominio di F.
02:51:140Annalisa Cesaroni: L'intervallo abb compreso in R. Intervallo, chiuso e limitato.
03:02:700Annalisa Cesaroni: intervallo chiuso e limitato e vogliamo calcolare e vogliamo calcolare. Vogliamo determinare un metodo per calcolare quest'area, l'aria di questa zona qui.
03:15:720Annalisa Cesaroni: questa zona com'è fatta.
03:18:380Annalisa Cesaroni: e Beh, diciamo
03:22:490Annalisa Cesaroni: area della zona
03:24:220Annalisa Cesaroni: celeste in
03:27:250Annalisa Cesaroni: una zona che ha 3 lati.
03:31:310Annalisa Cesaroni: Retti. È un lato curvilineo. Ok?
03:35:700Annalisa Cesaroni: Hear è l'area
03:38:440Annalisa Cesaroni: della regione
03:41:910Annalisa Cesaroni: compresa tra
03:45:80Annalisa Cesaroni: il grafico D. F,
03:48:340Annalisa Cesaroni: grafico di F è questo qui
03:52:640Annalisa Cesaroni: curva qui il grafico di F
03:55:670Annalisa Cesaroni: e la sede le X,
04:01:90Annalisa Cesaroni: la sede le X, che è lui
04:03:400Annalisa Cesaroni: a non
04:06:270Annalisa Cesaroni: la sede. Le Xa. È questo qui. E poi le 2 rette verticali X uguale a da e Xwell.
04:21:440Annalisa Cesaroni: Ok.
04:23:290Annalisa Cesaroni: Allora, intanto che cosa sappiamo? Sappiamo che questa lunghezza qui, la lunghezza di questo primo segmento è di meno a
04:31:560Annalisa Cesaroni: la lunghezza di questo primo segmento. Ebbi meno a perché è la lunghezza del segmento, qua
04:37:420Annalisa Cesaroni: Sarà questa altezza all'altezza di questo segmento? Qui quanto sarà
04:42:370Annalisa Cesaroni: questa qui è questa altezza? Che cos'è? E
04:48:730Annalisa Cesaroni: qual è? Come si fa a trovare quell'altezza? Beh, bisogna capire qual è la coordinata di questo punto di questo punto qua. Ma qual è la coordinata di quel punto? Quello è un punto che sta su un grafico di F e il grafico di F sono tutti i punti che hanno prima coordinata X nel dominio. Seconda coordinata F di quella X è Philix. Quindi questo punto qua a portinata? B
05:10:980Annalisa Cesaroni: Fdb.
05:13:230Annalisa Cesaroni: 3 :
05:14:250Annalisa Cesaroni: quello è un punto del grafico. I punti del grafico hanno tutti coordinate Xf ed X, in questo caso la X B. Quindi quest'altezza qua è Fdb.
05:25:650Annalisa Cesaroni: Quest'altezza, qua questa altezza, qua quant'è
05:29:770Annalisa Cesaroni: questo punto anche lui avrà coordinate questo punto qui a coordinate quanto a Fda, perché è lo stesso. Un punto del grafico della della è un punto che sta nel grafico dei Df: Quindi è un punto del tipo Xf ed X e la coordinata la coordinata X uguale da
05:48:560Annalisa Cesaroni: questa altezza. Qui, quest'altezza qui altro non è che fda
05:54:160Annalisa Cesaroni: 3 .
05:55:830Annalisa Cesaroni: Quindi, intanto, intanto, di sicuro di sicuro, se 1 volesse calcolarsi in maniera in maniera molto rozza.
06:04:630Annalisa Cesaroni: tutti
06:06:130Annalisa Cesaroni: in maniera molto rozza il nostro, La nostra area. Che cosa dovrebbe fare? Be, prende
06:13:810Annalisa Cesaroni: del
06:20:440Annalisa Cesaroni: prende l'area del rettangolo che ha base B A, B e Altezza è fede. B e l'area del rettangolo che ha invece questo qui. Sarebbe la prima.
06:32:650Annalisa Cesaroni: e l'area del rettangolo che ha invece altezza.
06:37:160Annalisa Cesaroni: Fd: B
06:39:380Annalisa Cesaroni: Quelle 2 aree sono sicuramente 2 aree che più o meno
06:44:150Annalisa Cesaroni: hanno un'area vicina a quella del segmento celeste del no del segmento della della della zona celeste, anche se ovviamente, nell'area rossa, nell'aria rossa, stiamo contando anche
06:57:700Annalisa Cesaroni: questa quantità qui in più nell'area blu. Addirittura stiamo costando tutta questa. Stiamo contando la parte dell'aria rossa più tutta la parte blu. Ok.
07:07:850Annalisa Cesaroni: Però moralmente. L'idea è questa. 1 dice, Beh, non so calcolare. Non so calcolare
07:15:360Annalisa Cesaroni: l'area di questa regione pupilina. Però Che cosa faccio la prossimo la approssima sempre meglio con aree di rettangoli.
07:24:30Annalisa Cesaroni: So calcolare invece perché l'area di un rettangolo, la sua calcolare base per altezza, cioè l'hanno rettangolo qua
07:31:50Annalisa Cesaroni: questo rettangolo sarebbe più meno a per Fda
07:34:290Annalisa Cesaroni: l'aria di questo rettangolo con una col latte blu sarebbe bi meno. Ah, per ferimento, quel loro sono calcolati. Ovviamente, Ovviamente queste 2 aree sono
07:47:200Annalisa Cesaroni: ben lontane, ben lontane da essere un'approssimazione buona C'è l'area della zona celeste che voglio calcolare. Però che cosa faccio
07:56:370Annalisa Cesaroni: bellissimo Invece di prendere solo 2 punti sul re segmento. Aggiungo punti
08:02:70Annalisa Cesaroni: e divido il mio segmento in tutta una serie di sottosegmentini
08:07:800Annalisa Cesaroni: e in ciascuno di questi segmenti prendo
08:11:720Annalisa Cesaroni: a prossimo ciascuna, cioè quindi divido l'area celeste nella somma vi vale a sottoare l'aria celeste. Sarà la somma di tutte queste aree qua e ciascuna di quelle aree, curbilline lì ha cercato di approssimare dall'alto, dal basso con aree direttandoli.
08:28:170Annalisa Cesaroni: Allora come si fa? Scriviamoci bene le cose, allora. Quindi cambio cambio pagina, e cerchiamo di scriverci meglio, le cose. Allora mi riscrivo. Allora questo sarebbe a B.
08:42:289Annalisa Cesaroni: Questa sarebbe la nostra funzione.
08:44:800Annalisa Cesaroni: F
08:47:160Annalisa Cesaroni: disegnamola meglio. Ma insomma, tanto come la disegniamo, la disegniamo
08:51:260Annalisa Cesaroni: e prendiamo. Abbiamo detto.
08:56:990Annalisa Cesaroni: Allora prendiamo una suddivisione. Prendo una suddivisione dell'intervallo A, B, cioè che cos'è una suddivisione Prendo dei sottosegre dividono l'intervallo B in segmentini.
09:09:430Annalisa Cesaroni: Vi
09:10:670Annalisa Cesaroni: Li chiamo li chiamo chiamo a X con 0 . Questo lo chiamerò X con 1 X, con 2 X con 3 x con 4 e B sarà x con 5 .
09:21:770Annalisa Cesaroni: Ok?
09:24:180Annalisa Cesaroni: Una suddivisione
09:28:330Annalisa Cesaroni: dell'intervallo A Bik.
09:34:950Annalisa Cesaroni: è una è data da una famiglia finita
09:43:720Annalisa Cesaroni: finita di punti di punti
09:47:340Annalisa Cesaroni: X con 1 x con 2 x conne appartenenti all'intervallo a B
09:53:410Annalisa Cesaroni: che
09:55:550Annalisa Cesaroni: diciamo Dax con 0 siamo partiti è tali che X con 0 uguale Ada, che è più piccolo di Xxon 2 , che è più piccolo di Xx Nen, che è uguale a Beach
10:05:340Annalisa Cesaroni: una suddivisione. È una cosa di questo genere.
10:07:990Annalisa Cesaroni: Prende il mio intervallo a B
10:12:570Annalisa Cesaroni: e aggiungo dei seguenti dei punti, cioè identifico. Non aggiungo identifico dei punti lì dentro.
10:21:480Annalisa Cesaroni: Sono 1 x con 2 x con 3
10:24:140Annalisa Cesaroni: sconne meno 1 . B lo chiamo Xonenne, e ha lo chiamo Xonzero
10:29:950Annalisa Cesaroni: Dai.
10:32:200Annalisa Cesaroni: E a questo punto la mia area celeste la divido nella somma di
10:37:600Annalisa Cesaroni: e in questo caso ho preso una suddivisione con 5,66 elementi, cioè ex congerori extracomunitari con 5 , e quindi ciò che la mia area è
10:50:570Annalisa Cesaroni: 1 2 , 3 , 4 , 5 pezzi l'area celeste che voglio calcolare quest'aria pa celeste.
10:57:320Annalisa Cesaroni: L'aria celeste è divisa in 5 pezzettini
11:00:580Annalisa Cesaroni: e in ciascuno di quei pezzettini. E che cosa faccio allora? In ciascuno di questi pezzettini, per esempio, nel nell'intervallino X con 2 x con 3 .
11:10:910Annalisa Cesaroni: Che cosa faccio Vado a trovare? Vado a trovare il massimo e il minimo della funzione se la funzione è limitata. Prendo l'estremo superiore e l'estremo inferiore della funzione. Ok?
11:23:230Annalisa Cesaroni: E c'è sempre se la funzione è limitata. Ok, supponiamo la continua che va bene, lo stesso, ok.
11:32:470Annalisa Cesaroni: e in ciascun intervallo
11:39:450Annalisa Cesaroni: X con i X con i più 1
11:42:770Annalisa Cesaroni: in ciascun intervallo di questo tipo.
11:46:530Annalisa Cesaroni: Per esempio, Xonzerux, con una.
11:49:420Annalisa Cesaroni: e trovo.
11:51:310Annalisa Cesaroni: come lo chiamiamo
11:53:340Annalisa Cesaroni: X I. M. Piccolo
11:56:250Annalisa Cesaroni: il minimo di F Ix con 1 Xconyy xoni più 1
12:01:490Annalisa Cesaroni: e X con i M grande il Max Ds
12:06:300Annalisa Cesaroni: nell'intervallo X, Chiamiamolo Ypsilombal Hipsilo.
12:11:650Annalisa Cesaroni: Perché questo è un valore
12:16:690Annalisa Cesaroni: Matts Df tra Xoni e X con i Pium 1 Kay
12:21:310Annalisa Cesaroni: il minimo è il massimo. C'è perché F, l'abbiamo presa, continua.
12:27:130Annalisa Cesaroni: Qr.
12:29:110Annalisa Cesaroni: F continua in ciascun intervallo chiuso e limitato
12:40:910Annalisa Cesaroni: un ciascun intervallo chiuso e limitato, come quelli X con i X con i più 1
12:47:160Annalisa Cesaroni: è ammette massimo e minimo
12:53:640Annalisa Cesaroni: massimo e minimo. Che cos'è questo teorema che le funzioni continue in intervalli chiusi e limitati ammettono sempre massimo e minimo. Questo è il teorema di Vaystras Hi ricordate Teorema di Vayestras
13:12:890Annalisa Cesaroni: teorema di Western dice che se ho una funzione continua in tutto l'intervallo chiuso e limitato continua fino al bordo dell'intervallo, ma f è continua su tutto. R e l'ho presa tanto che sta tranquilla.
13:25:530Annalisa Cesaroni: E se avendo una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, allora questa funzione continua ammette sempre massimo e minimo, cioè esiste sempre almeno un punto, magari più di 1 , ma almeno 1 in cui la funzione raggiunge il massimo e ammette e esiste sempre almeno un punto in cui la funzione raggiunge il minimo. Magari ce n'è più di 1 Non mi interessa. Ne prendo 1 , Lo scelgo io. Quello che mi piace di più
13:48:620Annalisa Cesaroni: esempio qua qui sarà qui sarà questo sarà il minimo, Questo sarà il massimo in quell'intervallo. E in questo intervallo, qui questo sarà il minimo e questo sarà il massimo. Ok.
14:01:850Annalisa Cesaroni: in questo intervallo qui, questo sarà il minimo e questo sarà il massimo tutte le volte. Ok.
14:08:200Annalisa Cesaroni: in questo intervallo, questo sarà il minimo e questo sarà il massimo, e anche in quello, perché in quegli intervalli la funzione addirittura viene crescente. Quindi l'intervallo, l'estremo a a destra sarà il massimo e l'estremo sinistra sarà il minimo.
14:22:730Annalisa Cesaroni: E a questo punto considero queste somme esse con Nm: piccolo, somma inferiore.
14:33:330Annalisa Cesaroni: Che data da questa cosa qua
14:35:810Annalisa Cesaroni: che la somma, la somma per i che va da 0 a n Di che cosa? Da 0 a 5 ? Nel mio caso
14:44:560Annalisa Cesaroni: di che cosa allora somma inferiore? Devo prendere il minimo di F sull'intervallo
14:52:220Annalisa Cesaroni: minimo Df
14:55:610Annalisa Cesaroni: sull'intervallo X
14:59:670Annalisa Cesaroni: moltiplicato per la lunghezza dell'intervallo che 1 meno X. Con i
15:06:130Annalisa Cesaroni: che cos'è questa somma inferiore?
15:11:570Annalisa Cesaroni: È la somma delle aree di tutti i rettangoli che hanno come altezza, il minimo della funzione F su ciascun intervallino. Ok.
15:21:350Annalisa Cesaroni: disegniamocelo di qua.
15:23:440Annalisa Cesaroni: Allora disegniamocelo. Ok, Io ho preso il mio intervallo. Va Beh, qui sono arrivata fino a 5 , perché in generale, se c'ho una sottointer, una suddivisione fino ad enne arrivo fino ad enne.
15:37:430Annalisa Cesaroni: allora e Che cos'è questa somma? Allora, qui sto prendendo questa questo, aria. Qui vedete
15:44:390Annalisa Cesaroni: il primo pezzo è altezza. Il primo termine di questa somma in quel caso specifico, prendiamole quell'intervallo lì. Il primo pezzo di questa somma è quest'aria qua
15:57:390Annalisa Cesaroni: di
15:58:890Annalisa Cesaroni: minimo della funzione nell'intervallo Xonzarx con 1 moltiplicato per la lunghezza dell'intervallo. No, Quindi ci sarebbe questo sarebbe
16:08:230Annalisa Cesaroni: minimo D, F nell'intervallo X con 0 X con 1
16:13:80Annalisa Cesaroni: per
16:14:130Annalisa Cesaroni: con 1 meno X con 0 . Questo è il primo più minimo diaf nell'intervallo ex un unix con 2 per X con 2 menx con 1 .
16:24:130Annalisa Cesaroni: Allora, questo è il primo, no. Questo è la base per l'altezza
16:29:240Annalisa Cesaroni: secondo.
16:30:820Annalisa Cesaroni: E devo prendere l'intervallo x con un X con 2 . Questo intervallo qua, e devo prenderci come altezza il minimo della funzione in quell'intervallo, e faccio il prodotto e viene l'area di Questo altro. Rettangolo giallo. Ok?
16:45:890Annalisa Cesaroni: Tutte le volte
16:48:360Annalisa Cesaroni: più
16:49:730Annalisa Cesaroni: minimo dell'intervallo X con 4 x con 5 che sarebbe B
16:56:450Annalisa Cesaroni: minimo Df moltiplicato per X con 5 meno X un 4
17:02:60Annalisa Cesaroni: che sarebbe alla fine. Cosa scusate che sarebbe alla fine. Cosa allora devo prendere? Questo Questo è il minimo.
17:09:290Annalisa Cesaroni: Tutte le volte. Prendo il minimo, no.
17:12:390Annalisa Cesaroni: e faccio l'area del rettangolo
17:15:220Annalisa Cesaroni: che ha e faccio l'area del rettangolo che ha come base
17:19:420Annalisa Cesaroni: quel segmento è come altezza il minimo della funzione su quel segmento. Ok, Quindi questa somma inferiore
17:28:69Annalisa Cesaroni: non è questa somma inferiore che ho scritto, è semplicemente la somma delle aree di tutti questi rettangoli gialli, perché io sto facendo
17:37:370Annalisa Cesaroni: lunghezza del primo sotto intervallino
17:41:260Annalisa Cesaroni: altezza minima della funzione in quell'in sottinte ballino area di questo retaggio, lunghezza più lunghezza di quest'enteballino per altezza minima della funzione.
17:52:160Annalisa Cesaroni: più lunghezza di questo, per altezza minima della funzione sono se io faccio base per altezza, è sempre l'area del restante. Ok? Quindi questa questo.
18:03:740Annalisa Cesaroni: questa somma inferiore, è scritta, così: è la somma.
18:07:490Annalisa Cesaroni: tutti questi pezzi
18:10:410Annalisa Cesaroni: e la somma di vari pezzi, ciascuno dei quali è base per altezza in ciascun sotto intervallino, ok, base per altezza in ciascun sotto intervallino.
18:23:360Annalisa Cesaroni: dove questa è l'altezza, la minima altezza raggiunta da esse nell'intervallino. E questa è la lunghezza della base. La lunghezza della base è la lunghezza dell'intervallo. La lunghezza di un intervallo è la differenza tra gli estremi. Altro non è che la differenza tra gli stress. Ok.
18:40:140Annalisa Cesaroni: estremo. Più in là meno è stato più estremo a destra, ministro.
18:47:160Annalisa Cesaroni: E ottengo questa
18:49:120Annalisa Cesaroni: area da sotto.
18:51:430Annalisa Cesaroni: Ovviamente, Ovviamente quest'area, per come è definita, è, secondo m.
18:57:170Annalisa Cesaroni: è sicuramente minore
19:03:00Annalisa Cesaroni: minore o uguale. Magari se sono fortuna, se ho proprio una funzione fatta a scalini dell'area dell'area celeste.
19:14:990Annalisa Cesaroni: Hai
19:16:360Annalisa Cesaroni: Voglio calcolarmi l'area celeste
19:19:90Annalisa Cesaroni: questa somma inferiore perché si chiama inferiore perché tutte le volte
19:23:430Annalisa Cesaroni: tutte le volte prendo in ciascun sotto intervallino, prendo l'altezza minima possibile
19:29:580Annalisa Cesaroni: ed è sicuramente più piccola quest'area dell'area.
19:34:390Annalisa Cesaroni: È della zona celeste, di cui voglio cioè dell'area della zona celeste che io voglio calcolare. Ora faccio invece la somma superiore. Cosa sarà la somma superiore. La stessa cosa solo che invece di prendere in ciascun intervallino il minimo della funzione, prendo il massimo.
19:50:350Annalisa Cesaroni: vi
19:51:610Annalisa Cesaroni: prendo la somma superiore, esse con m grande
19:55:480Annalisa Cesaroni: somma superiore.
20:00:780Annalisa Cesaroni: Cosa sarà la somma superiore? Sarà la somma per i che va da 0 a 5 anche qua, di
20:06:10Annalisa Cesaroni: del Max Ds sull'intervallino Xx
20:11:850Annalisa Cesaroni: per la lunghezza dell'intervallo.
20:15:760Annalisa Cesaroni: cioè sarà
20:17:50Annalisa Cesaroni: il Max Df nell'intervallo Xconzerux con 1 per xcolo 1 Menix-conserve altezza per base più il Max Adf, nell'intervallo ex con Unix con 2 per la lunghezza dell'intervallo, il
20:35:280Annalisa Cesaroni: più eccetera, eccetera. Fino alla fine, il Max Df nell'intervallo Ex con 4 Xon 5
20:44:10Annalisa Cesaroni: per X con 5 Menux, un 4 lunghezza dell'intervallo.
20:52:330Annalisa Cesaroni: Che cos'è questa somma superiore? Questa somma superiore è fatta così
20:56:820Annalisa Cesaroni: tutte le volte devo prendere il massimo della mia funzione
21:06:900Annalisa Cesaroni: e devo prendere la la il rettangolo che ha come altezza questo massimo
21:19:350Annalisa Cesaroni: e faccio la somma delle aree di tutti questi rettangole riquadrati di verde.
21:24:610Annalisa Cesaroni: La somma di tutte queste aree è quella che viene chiamata somma superiore. Ok.
21:30:940Annalisa Cesaroni: somma superiore.
21:32:720Annalisa Cesaroni: ovviamente la somma superiore è più grande della somma inferiore, perché in ciascun ciascun rettango intervallino da una parte prendo l'altezza minima, dall'altra, pendola altezza. Massima. Ok.
21:45:430Annalisa Cesaroni: Quindi questo è questa somma. Scusate, questa somma superiore è esattamente la somma delle aree di questi intervalli di questi rettangolini riquadrati di verde. Non li coloro tutti.
22:01:160Annalisa Cesaroni: E che cosa possiamo dire? Beh, che l'aria che mi interessa a me che sarebbe l'aria
22:07:110Annalisa Cesaroni: in celeste. L'area curvilinea è sicuramente più piccola invece di questa somma superiore. Ok.
22:14:510Annalisa Cesaroni: Che cosa ho? Che sicuramente esse con M è maggiore
22:19:980Annalisa Cesaroni: dell'area celeste.
22:25:530Annalisa Cesaroni: Qual è? Qual è la cosa? Ed è maggiore anche di
22:29:770Annalisa Cesaroni: dell'area della somma inferiore. Quindi che cosa c'ho somma inferiore, minore uguale area celeste
22:39:310Annalisa Cesaroni: minore uguale della somma superiore.
22:43:310Annalisa Cesaroni: Questa è la mia quadro. No. L'area celeste sta nel mezzo tra la somma inferiore e la somma superiore.
22:51:380Annalisa Cesaroni: Perché c'è poco da fare qua. Ho preso
22:55:450Annalisa Cesaroni: e i ho preso i rettangoli con la massima altezza. Ho preso irettandoli, Ovviamente, se la funzione fosse costante e son tutte uguali, no?
23:07:280Annalisa Cesaroni: Se la funzione è costante, cioè la funzione costante in ogni intervallo, il massimo coincide col minimo e coincide con costante. Il grafico è una retta, e quindi l'area euret è l'area di un rettacolo, niente da dire. Ok, se tutto costante. Se invece da qualche parte la funzione non è costante, avrà un massimo diverso da un minimo in un intervallino. E quindi lì le cose cambiano. Ora.
23:30:870Annalisa Cesaroni: ora che cosa faccio? Ora dico benissimo, questa è la mia situazione. Sono riuscita a scrivere una un'approssimazione dal bacio dall'alto della mia zona celeste. Però Forse non è abbastanza. Questo O ci ho messo solo a 1 o 2 , 3 , 4 punti in mezzo. Se io ci aggiungo dei punti
23:50:720Annalisa Cesaroni: a questa suddivisione, per esempio, io sono arrivata a questa suddivisione. Qua aggiungo un punto in mezzo a ciascun intervallino.
23:58:380Annalisa Cesaroni: Ne aggiungo 1 Qua aggiungo 1 Qua
24:05:620Annalisa Cesaroni: aggiungo, appunti alla suddivisione. Ok.
24:10:630Annalisa Cesaroni: di rifacciamoci il disegno. Ora aggiungo punti alla suddivisione di partenza.
24:27:240Annalisa Cesaroni: Quindi qua, forse è meglio toglierli da qua che se no, dopo il disegno rimane brutto.
24:33:540Annalisa Cesaroni: 9 .
24:50:910Annalisa Cesaroni: Ps.
24:58:650Annalisa Cesaroni: Ok.
25:00:970Annalisa Cesaroni: Quindi questa è l'aria che voglio calcolare. Questa è l'aria verde
25:06:180Annalisa Cesaroni: Peste l'aria gialla.
25:08:790Annalisa Cesaroni: Allora aggiungo punti alla cosa di parte alla suddivisione di partenza. E vedo che in realtà qualcosa di meglio mi succede
25:20:400Annalisa Cesaroni: perché che cosa succede? Aggiungo punti alla suddivisione di partenza.
25:33:780Annalisa Cesaroni: e vediamo che cosa succede
25:35:790Annalisa Cesaroni: allora?
25:37:110Annalisa Cesaroni: Qua era a B,
25:41:270Annalisa Cesaroni: beh, non l'avevo proprio disegnata così. Ma insomma.
25:53:720Annalisa Cesaroni: allora questa era, e aggiungo, dei punti qua in mezzo
25:58:110Annalisa Cesaroni: X sono 6 sconsette X con 8
26:02:560Annalisa Cesaroni: scon 9 X con 10 . Ok.
26:05:940Annalisa Cesaroni: Ora
26:07:950Annalisa Cesaroni: aggiungo dei punti
26:09:800Annalisa Cesaroni: e considero la somma superiore e la somma inferiore
26:14:440Annalisa Cesaroni: e associata a questa nuova suddivisione, un po più grave, un po più dettagliata dell'intervallo di partenza no.
26:23:640Annalisa Cesaroni: E Che cosa ho andiamo a vedere? Com'è fatta la somma inferiore?
26:28:930Annalisa Cesaroni: Allora vediamo com'era la somma. La somma inferiore prima era fatta cosino
26:36:860Annalisa Cesaroni: la somma inferiore e della prima suddivisione che ho calcolato era questa quantità qui in giallo.
26:50:810Annalisa Cesaroni: Ok? E adesso calcoliamoci mi calcolo la somma, quindi in giallo è la somma inferiore
26:59:660Annalisa Cesaroni: per il
27:01:930Annalisa Cesaroni: della prima suddivisione
27:08:740Annalisa Cesaroni: Qr.
27:17:580Annalisa Cesaroni: Come viene
27:19:100Annalisa Cesaroni: allora viene così. Ci devo aggiungere, ovviamente adesso, in ciascuno sotto intervallino
27:26:250Annalisa Cesaroni: a X 1 . Ci ho messo in mezzo un altro punto, quindi devo prendere il minimo della funzione in cui si intervato qui e poi il minimo della funzione in questo intervallo qui, che sono diversi, poi il minimo della funzione in questo intervallo, qui il minimo in questo intervallo qui.
27:41:540Annalisa Cesaroni: quindi sarà qui
27:46:510Annalisa Cesaroni: e qui sarà un po più grande. Il minimo qui sarà così Qui sarà così di nuovo.
27:52:490Annalisa Cesaroni: qui sarà così
27:54:570Annalisa Cesaroni: Qui sarà un po più grande
27:56:540Annalisa Cesaroni: qui. Sarà così. E qui sarà un po più grande
28:00:10Annalisa Cesaroni: se calcolo, la nuova somma inferiore
28:04:160Annalisa Cesaroni: se calcolo la nuova somma inferiore. Che cosa mi si aggiunge? I? Si aggiunge questa parte qui.
28:10:680Annalisa Cesaroni: Questa parte qui. È questa parte qui
28:13:450Annalisa Cesaroni: o meno no? Se ho fatto il disegno abbastanza bene.
28:19:860Annalisa Cesaroni: Quindi la somma inferiore.
28:23:460Annalisa Cesaroni: la somma inferiore
28:26:650Annalisa Cesaroni: associata alla nuova suddivisione
28:30:620Annalisa Cesaroni: alla nuova suddivisione
28:41:230Annalisa Cesaroni: è sempre minore.
28:43:440Annalisa Cesaroni: è sempre minore
28:45:290Annalisa Cesaroni: della dell'area celeste sempre.
28:49:510Annalisa Cesaroni: ma è maggiore
28:55:70Annalisa Cesaroni: della somma inferiore, precedente.
29:03:320Annalisa Cesaroni: Perché maggiore perché la somma inferiore precedente era la parte e la somma inferiore precedente era solo la parte gialla. La nuova somma inferiore è la parte gialla più la parte rosa Ok.
29:19:170Annalisa Cesaroni: ho aggiunto dei pezzi a questa nuova somma inferiore. Ok, quindi è cresciuta. Ok, Quindi man mano che aggiungo: Se adesso aggiungo altri punti in questa suddivisione e mi calcolo la nuova somma inferiore. La somma è inferiore, crescerà
29:35:380Annalisa Cesaroni: perché cresce perché in ciascun sotto intervallino. Ovviamente, se qua ci mette un altro comportamento, ovviamente qua il minimo in questo intervallo è raggiunto. Qui. Però, se io prendo e divido ancora l'intervallo che minimo nell'intervallo di là sarà raggiunto qua. Quindi aggiungo un pezzo di area, un pezzettino, Ok.
29:57:10Annalisa Cesaroni: quindi Man mano che aggiungo punti
29:59:710Annalisa Cesaroni: mano che aggiungo punti
30:09:750Annalisa Cesaroni: alla suddivisione di partenza.
30:15:500Annalisa Cesaroni: La somma inferiore
30:22:230Annalisa Cesaroni: cresce.
30:25:550Annalisa Cesaroni: cresce, cresce sempre di più.
30:28:330Annalisa Cesaroni: Aggiungo punti, e questa cresce, Ok, perché cresce, diventa sempre perché ci aggiungo sempre dei nuovi pezzettini di area.
30:36:670Annalisa Cesaroni: Ok, per esempio, se qua ci metto un'altra suddivisione. Ovviamente aggiungerò un altro pezzettino di aria che è questo. Se qui ci metto un'altra suddivisione, così aggiungerò un altro pezzettino di area che sarà questo qui
30:51:370Annalisa Cesaroni: perché ovviamente aggiungendo sempre dividendo ancora di più gli interballini. Ovviamente, quando vanno a prendere il minimo della funzione nel piccolo intervallino. Man mano diventerà
31:05:440Annalisa Cesaroni: sempre più grande. E quindi, o una successione crescente di somme, Ho una successione
31:13:950Annalisa Cesaroni: crescente di somme inferiori.
31:22:700Annalisa Cesaroni: tutta limitata
31:26:360Annalisa Cesaroni: da cosa.
31:28:60Annalisa Cesaroni: dall'area
31:29:120Annalisa Cesaroni: della zona della zona celeste.
31:34:200Annalisa Cesaroni: sempre limitata dall'area della zona celeste o una successione crescente di queste somme inferiori. No. Le somme inferiori sono le aree associate alla suddivisione.
31:45:70Annalisa Cesaroni: stare Prendo una sua divisione di partenza, poi comincio a aggiungerci pezzi, cioè ogni intervallo della suddivisione di partenza. Lo divido in 2
31:54:140Annalisa Cesaroni: e ricalcolo la somma inferiore. Questa cresce un pochino. Poi, riprendo questa cosa, raggiungo pezzi ogni parte della suddivisione, la aggiungo un pezzo in mezzo a una parte della suddivisione e via. Così E ottengo che tutte queste somme inferiori che ottengo sono sempre sempre sotto l'area della zona celeste.
32:14:80Annalisa Cesaroni: Perché? Perché l'area della zona celeste non viene mai raggiunta?
32:18:850Annalisa Cesaroni: Perché sto sempre in ciascun intervallino piccolo che sia, Sto sempre rendendo il minimo della funzione, Però
32:26:720Annalisa Cesaroni: crespor. Quindi ho una successione crescente di somme inferiori e limitata dall'alto. Che cosa posso dire di successioni crescenti e limitate?
32:38:370Annalisa Cesaroni: Una successione crescente? Sappiamo che ammette sempre limite
32:42:600Annalisa Cesaroni: se
32:44:50Annalisa Cesaroni: e questo limite può essere o più infinito o un certo valore. Ma se una successione crescente è limitata.
32:52:390Annalisa Cesaroni: il limite non può essere più infinito, perché dire che la successione va più infinito, vorrebbe dire che la successione è illimitata, appunto.
33:00:10Annalisa Cesaroni: Quindi esiste un limite.
33:05:590Annalisa Cesaroni: Ovviamente il limite è una cosa molto astratta da pensare: Cioè, cos'è? Esiste un limite di questa successione? Esiste un limite finito di questa successione.
33:19:820Annalisa Cesaroni: I calcoli che chiamiamo s barrato
33:24:920Annalisa Cesaroni: esiste un limite finito. Cioè,
33:27:570Annalisa Cesaroni: cos'è questo limite? L'idea è che sto suddividendo il mio intervallino sempre di più sempre di più sempre di più. E tutte le volte, in ciascuno
33:36:300Annalisa Cesaroni: in ciascuno intervallino, prende il minimo della funzione e calcolo, l'area del rettangolo che ha come base, quell'intervallo.
33:43:620Annalisa Cesaroni: quel sotto intervallino è come altezza il minimo della funzione, e faccio leare la somma delle aree di tutti si stirettandoli
33:51:290Annalisa Cesaroni: Ok, tutte le volte, e sto crescendo sempre di più. Sto crescendo, ma rimango sempre sotto una quantità finita. Quindi non va Dopo infinite una successione crescente e limitata ha un minimo.
34:03:430Annalisa Cesaroni: Se guardo invece quello che succede alle somme superiori, quelle calano perché
34:10:210Annalisa Cesaroni: le somme superiori invece calano.
34:22:760Annalisa Cesaroni: calano man mano.
34:26:820Annalisa Cesaroni: aggiungo punti
34:31:820Annalisa Cesaroni: alla suddivisione. Perché? Perché succede così?
34:35:989Annalisa Cesaroni: Perché
34:37:290Annalisa Cesaroni: se questo è il mio a B,
34:43:969Annalisa Cesaroni: partiamo da una certa somma superiore.
34:49:400Annalisa Cesaroni: Allora qua devo prendere Che cosa qua devo prendere il massimo della funzione
34:54:80Annalisa Cesaroni: massimo della funzione?
34:56:483Annalisa Cesaroni: no, massimo, della funzione, più o meno questo massimo. Quindi la prima somma somma superiore sarà questa. No.
35:07:850Annalisa Cesaroni: Allora, se io invece ci attacco, ci metto, aggiungo dei pezzi qui.
35:14:670Annalisa Cesaroni: se aggiungo dei pezzi nella suddivisione, allora qui il massimo sarà sempre questo.
35:20:690Annalisa Cesaroni: In questo intervallo il massimo sarà sempre questo. In quest'altro intervallo, però il massimo non sarà più Quello sarà un po più basso
35:29:330Annalisa Cesaroni: Qui il massimo sarà sempre Questo qui sarà più basso
35:35:480Annalisa Cesaroni: qui, il massimo sarà sempre Questo qui sarà sempre Questo
35:50:10Annalisa Cesaroni: vedete che ci sto perdendo dei pezzi man mano Ci sto perdendo dei pezzi. Cosa sono i pezzi che perdo questo lo perdo. Questo lo perdo questo lo perdo
36:01:330Annalisa Cesaroni: e perché sto prendendo il massimo su sotto intervallini sempre più piccoli. Quindi la somma, la somma infè superiore cala
36:17:30Annalisa Cesaroni: perché sto perdendo dei pezzi man mano. E quindi che cosa c'ho Che le somme superiori sono una successione decrescente
36:26:130Annalisa Cesaroni: e sono però sempre sopra.
36:29:300Annalisa Cesaroni: Sopra. Cosa è solo una successione decrescente che stanno sempre però sopra l'area della regione celeste, che è quella che voglio calcolare alla fine.
36:38:430Annalisa Cesaroni: Quindi le somme superiori sono una successione decrescente
36:51:370Annalisa Cesaroni: e limitata.
36:54:650Annalisa Cesaroni: Cosa sappiamo dire delle successioni decrescenti che o vanno giù fino a meno infinito, oppure vanno ad un limite. Ora, questa è limitata, non può andare a meno infinito e quindi deve andare ad un limite
37:10:330Annalisa Cesaroni: essere barrato.
37:13:900Annalisa Cesaroni: allora quindi è separato. È il limite delle somme superiori
37:22:690Annalisa Cesaroni: che è maggiore sempre dell'area celeste
37:27:970Annalisa Cesaroni: E. S piccolo barrato è il limite delle somme inferiori.
37:35:60Annalisa Cesaroni: che è minore uguale dell'area celeste.
37:39:940Annalisa Cesaroni: Abbiamo detto, le somme inferiori crescono stando sempre sotto l'area celeste.
37:46:100Annalisa Cesaroni: crescono e stanno limitate. Prende il limite delle somme delle somme inferiori.
37:52:360Annalisa Cesaroni: Le somme superiori calano e stanno sempre limitate. Prendo il limite delle somme superiori.
37:59:190Annalisa Cesaroni: Ora il limite delle somme inferiori esiste è finito ed è più piccolo, minore uguale dell'area celeste il limite delle somme superiori è esiste finito ed è maggior uguale dell'area celeste.
38:12:280Annalisa Cesaroni: Ora, se se succede che il limite delle somme inferiori
38:18:720Annalisa Cesaroni: è uguale al limite delle somme superiori. Allora quello è l'area celeste.
38:24:470Annalisa Cesaroni: Vi.
38:27:350Annalisa Cesaroni: e si dice che la funzione
38:31:320Annalisa Cesaroni: è integrabile
38:38:490Annalisa Cesaroni: e si indica In questo modo l'area celeste si indica in questo modo integrale. Allora si fa questo simboletto, che se a che è una specie di s somma stilizzata, una s un po allungata
38:52:690Annalisa Cesaroni: e con agli estremi di questa esse si mette a B che sono gli interti estremi dell'intervallo
39:00:820Annalisa Cesaroni: F di Xx. Si scrive: Così si intende che stiamo facendo le somme, cioè se la somma è inferiore è uguale alla somma superiore. L'area celeste è uguale
39:13:300Annalisa Cesaroni: alla. Il limite delle somme superiori è uguale al limite delle somme inferiori. Vuol dire che, man mano che prendo suddivisioni sempre migliori del mio intervallino e le 2 aree, quella che la somma delle aree dei rettangoli che approssimano da sopra la somma delle aree, dei dettagli che approssimano da sotto
39:31:770Annalisa Cesaroni: diventano bici. Sì, debbano ah la stessa cosa. Allora, questa stessa cosa deve essere necessariamente l'area della cosa curbilinea e l'area della cosa proveinio la scrivo così integrale. Questo silenzio integrale è finito tra ai Pdf Dix cioè si mette una slizzata. Avvi Sono gli interbatti estremi dell'intervallo.
39:54:600Annalisa Cesaroni: E si dice: Si scrive così nel senso. Questo è un modo sintetico di dire che sto calcolando, l'area compresa tra la funzione F, tra il grafico della funzione F e quindi la funzione F Edix, i valori Al fid starebbero
40:12:730Annalisa Cesaroni: e sul rispetto alla variabile, cioè rispetto alla variabile Inps, che è invece la base.
40:22:670Annalisa Cesaroni: Quindi l'area della zona.
40:25:80Annalisa Cesaroni: ovviamente l'area della zona celeste. Se esiste, ovviamente questa definizione di area cubilinea è una definizione data con un procedimento di limite. Quindi non si calcola in questo modo, perché che cosa dovremmo fare? Dovremmo calcolare somme inferiori, somme superiori?
40:44:260Annalisa Cesaroni: Beh,
40:48:50Annalisa Cesaroni: È una cosa abbastanza complicata. 1 dovrebbe calcolarsi tutte le somme inferiori somme superiori man mano e farsi il limite di 2 successioni, vedere se questo limite è uguale, quindi vedremo che ci saranno delle tecniche per calcolarla. Questa cosa.
41:04:600Annalisa Cesaroni: la definizione. È questa qui.
41:08:860Annalisa Cesaroni: La definizione. È questa qui
41:11:450Annalisa Cesaroni: e facciamo la pausa. Adesso. Non vi ho detto di domani, allora domani dovremmo avere No, non avete lezione di algerla lineare, ma avete lezione con me no dalle 8 e mezzo. Allora io comincerei alle 9
41:24:900Annalisa Cesaroni: e visto che dopo 4 ore non facciamo sarebbe 8 e mezzo a 12 e mezzo, visto l'orario, allora facciamo 9 , 12 con delle pause in mezzo, ok? Dalle 9 alle 12 .
41:36:990Annalisa Cesaroni: Sono Ma
41:45:370Annalisa Cesaroni: E la
41:50:60Annalisa Cesaroni: Ok, E allora? Quindi diciamo porca miseria, qua allora
42:01:10Annalisa Cesaroni: questo per funzioni positive per funzioni che sono un po positive un po negative, come si fa?
42:10:680Annalisa Cesaroni: Sono una
42:13:10Annalisa Cesaroni: F. Non è positiva.
42:16:30Annalisa Cesaroni: cioè il suo grafico. Sarà una cosa così
42:20:170Annalisa Cesaroni: che questo si A e questo sia B
42:23:820Annalisa Cesaroni: E quello che si fa è la seguente cosa: Sì, e si considera quello che succede in ciascun intervallino. Allora si prende per esempio, tra e C e si calcola
42:36:50Annalisa Cesaroni: se è possibile l'area di questa zona
42:39:850Annalisa Cesaroni: con questo metodo di
42:45:690Annalisa Cesaroni: questo metodo
42:50:270Annalisa Cesaroni: di approssimazione. E poi anche qui di
42:55:890Annalisa Cesaroni: si calcolano questi 2 va? Beh, mettiamolo un po più in qua questo. B
43:02:510Annalisa Cesaroni: Ok, nelle parti in cui è positiva. Non cambia niente nelle parti in cui è negativa. Quest'area qua
43:09:760Annalisa Cesaroni: qua, come si considera nelle parti in cui è negativa, si calcola quell'area di
43:16:250Annalisa Cesaroni: esattamente nello stesso modo cioè si prende, si prende, e
43:22:340Annalisa Cesaroni: la è il simmetrico della funzione. Rispetto alla sede delle X. Si calcola quest'area.
43:29:700Annalisa Cesaroni: l'area gialla sarà meno l'area verde, cioè quindi
43:37:800Annalisa Cesaroni: aria gialla.
43:40:560Annalisa Cesaroni: uguale meno area verde.
43:43:810Annalisa Cesaroni: Si prende il simmetrico di qua.
43:47:110Annalisa Cesaroni: vi
43:50:940Annalisa Cesaroni: si calcola l'aria verde in questo me modo. E Poi si dice che l'area gialla è l'area verde con il segno meno nel senso che sta sotto l'asse della
44:02:290Annalisa Cesaroni: Ok e in generale e, in generale, quindi posso dare senso a
44:07:830Annalisa Cesaroni: l'integrale tra e B dif di X. Sarebbe
44:16:560Annalisa Cesaroni: questa è la somma al è la somma delle 2 aree celesti
44:26:150Annalisa Cesaroni: è la somma delle 2 aree celesti.
44:30:20Annalisa Cesaroni: Sono
44:32:870Annalisa Cesaroni: più l'area verde.
44:36:220Annalisa Cesaroni: Ma l'area verde è meno l'aria gialla, quindi sarebbe la somma de aria area celeste. La somma delle 2 arie celesti, meno l'aria gialla.
44:53:260Annalisa Cesaroni: meno area gialla.
44:55:830Annalisa Cesaroni: Perché abbiamo detto che l'area gialla è meno l'area verde.
45:02:690Annalisa Cesaroni: Quindi Quindi quello che calcolo quando faccio questo integrale, quando calcolo l'integrale è l'area.
45:11:450Annalisa Cesaroni: Quindi l'integrale tra a e Bdf di X. Se esiste.
45:18:80Annalisa Cesaroni: è uguale all'area
45:21:290Annalisa Cesaroni: consegno.
45:23:550Annalisa Cesaroni: Ma magari mi metto di là e lo scrivo meglio è l'area con segno della regione di piano compresa tra il grafico di F e l'asse della X. In che senso
45:38:120Annalisa Cesaroni: integrale?
45:41:460Annalisa Cesaroni: F? È Continua
45:45:940Annalisa Cesaroni: in a B,
45:48:170Annalisa Cesaroni: l'integrale tra i Bdf ed X in Dax
45:52:340Annalisa Cesaroni: è uguale all'area
45:54:480Annalisa Cesaroni: con
45:56:250Annalisa Cesaroni: segno
45:58:450Annalisa Cesaroni: della regione
46:01:940Annalisa Cesaroni: compresa tra
46:05:310Annalisa Cesaroni: grafico D. F.
46:09:350Annalisa Cesaroni: E ha sede le X,
46:13:60Annalisa Cesaroni: e, ovviamente X uguale A da
46:19:170Annalisa Cesaroni: tra le 2 rette verticali Tra le 2 rette verticali X, uguale Addae Xulebi.
46:29:160Annalisa Cesaroni: Quindi è l'area consegno della regione compresa tra il grafico di F e l'asse delle X. Cosa vuol dire? Consegno area? Consegno s'intende che
46:40:380Annalisa Cesaroni: le zone
46:42:220Annalisa Cesaroni: e con che stanno
46:49:550Annalisa Cesaroni: nel semipiano delle ipsi non positive
46:55:90Annalisa Cesaroni: sono contate e consegno più,
47:01:800Annalisa Cesaroni: e le zone
47:03:320Annalisa Cesaroni: che stanno nel semipiano delle Ypsil negative
47:12:310Annalisa Cesaroni: sono contate con segno meno.
47:23:620Annalisa Cesaroni: Se ho la mia funzione fatta così
47:32:160Annalisa Cesaroni: tra ebby, che ne so
47:34:620Annalisa Cesaroni: allora.
47:35:740Annalisa Cesaroni: l'integrale tra e B
47:39:400Annalisa Cesaroni: è l'area con segno della zona compresa tra l'asse delle X
47:45:660Annalisa Cesaroni: e il grafico di F. Questa sarebbe no. Questa zona qui
47:53:220Annalisa Cesaroni: integrale tra i Big F di salare a consegno della regione compresa tra il grafico di F. E L'asse delle X grafico. D. F. È Questo quino grafico D. F. È questo qui.
48:07:760Annalisa Cesaroni: Questo è il grafico di F e l'asse delle X è questo qui.
48:13:690Annalisa Cesaroni: Quindi la zona compresa tra il grafico di F e l'asse della X è la zona celeste. Ovviamente, tra le 2 rette X uguale ad X. Vuole
48:23:370Annalisa Cesaroni: sto racchiudendo il tutto. Non sto vedendo quello che succede tutto. R: Ma lo sto facendo in un intervallino, no?
48:34:810Annalisa Cesaroni: E cosa vuol dire? Che ecco il segno. Allora significa che quest'area qui è segnata col più? Cioè è presa.
48:43:180Annalisa Cesaroni: Queste 2 aree sono sempre positive, però quell'area lì che sta nella parte delle Y non positive da parte delle Yp non positive. Se questo è la
48:56:350Annalisa Cesaroni: questa è la nostra York, questa zona qui sarà le ipsi non positive e questa sarà lipsi o negative. Allora la parte che sta nelle elezioni positive è un'area puntata col senno, più e La parte. Che sta nelle ypsiro negative è un'area conta con il segno meno, in particolare in questo caso proprio specifico di questa funzione. Qui
49:16:920Annalisa Cesaroni: la somma delle 2 aree verrà negativa, perché la parte col segno meno è molto più grande della parte col segno. Più Ok, Quindi in questo caso, per esempio, l'integrale trae B verrà negativo.
49:30:20Annalisa Cesaroni: Ok? L'integrale può anche venire negativo. Non è esattamente un'area. E 1 dice Com'è possibile che un'area di una regione turbilina venga negativa? Beh, perché è un'area con segno in cui ovviamente, c'è una funzione positiva: l'area è sempre positiva. Chef: è una funzione che è un po. È positiva, un po negativa, L'area L'area consegno potrebbe venire un positivo negativa perché e si sommano e si sottraggono a pezzi.
50:00:40Annalisa Cesaroni: La parte positiva si sottrae alla parte negativa e quindi, in questo caso, per esempio, viene negativa.
50:07:810Annalisa Cesaroni: E quello che posso dire è che sicuramente questo procedimento di approssimazione funziona sempre per funzioni positive, funzioni continue per funzioni continue è sempre possibile Calcolare
50:20:120Annalisa Cesaroni: è l'integrale tra e B. F. Di X States F è continua teorema che non dimostreremo
50:27:500Annalisa Cesaroni: se F, continua
50:31:760Annalisa Cesaroni: in A B.
50:35:550Annalisa Cesaroni: Di sicuro
50:40:340Annalisa Cesaroni: esiste
50:41:770Annalisa Cesaroni: l'integrale Traibi di F di Xx, che questo è
50:49:720Annalisa Cesaroni: uguale a un numero reale può essere positivo o negativo
51:02:690Annalisa Cesaroni: e che è uguale all'area con segno
51:11:310Annalisa Cesaroni: della zona compresa tra
51:14:300Annalisa Cesaroni: grafico di F e Asse della X,
51:24:950Annalisa Cesaroni: altra cosa che e Questa è la prima parte del teorema. Seconda parte del teorema. Cosa Cosa diciamo? Anche questa questa quantità F di Xx è sempre compresa tra
51:39:220Annalisa Cesaroni: è me grande bimeno a e mè piccolo bi meno. Ah, dove mè piccolo, è il minimo di Effe
51:48:150Annalisa Cesaroni: E. M grande è il Max D Fina, B.
51:54:420Annalisa Cesaroni: M. Piccolo e da me grande esistono sempre
51:58:820Annalisa Cesaroni: per il teorema di Vayestras.
52:09:520Annalisa Cesaroni: 6
52:10:670Annalisa Cesaroni: Quindi questo integrale. Io vorrò poi trovare dei metodi per calcolarmi, calcolarmelo. Ma dato che è l'area consegno della zona compresa tra l'asse delle X e il grafico, def è sicuramente sempre compreso.
52:26:320Annalisa Cesaroni: 3
52:28:70Annalisa Cesaroni: M è tra l'area del rettangolo che ha come altezza il minimo della funzione F su tutto l'intervallo per via per la lunghezza dell'intervallo. Ok.
52:41:820Annalisa Cesaroni: prendiamo la F fatta. Così.
52:46:270Annalisa Cesaroni: Allora abbiamo detto che questa, che che questo.
52:52:520Annalisa Cesaroni: che l'area celeste è l'aria consegno fatta qui E che cos'è il massimo della nostra funzione? Il massimo della nostra funzione è questo valore qua m grande.
53:03:720Annalisa Cesaroni: E che cos'è questa quantità m grande per di meno a M grande per bimeno A. È essenzialmente questa quantità. Qui
53:13:50Annalisa Cesaroni: quest'aria qua di questo rettangolo, no.
53:17:480Annalisa Cesaroni: E 1 può vedere che l'area di quel rettangolo lì è sicuramente più grande.
53:22:600Annalisa Cesaroni: È sicuramente più grande dell'area in celeste, perché è sicuramente più grande dell'area in celeste perché e
53:30:290Annalisa Cesaroni: l'aria in celeste è contenuta. Questo pezzo qua è contenuto. E anche questo pezzo qua sono contenuti dentro. Questo pezzo qua non è contenuto, ma è segnato con segno negativo.
53:41:980Annalisa Cesaroni: Questo è un meno meno una cosa positiva. Quindi tanto più
53:47:100Annalisa Cesaroni: qui
53:48:150Annalisa Cesaroni: la somma di queste 3 aree ce la resti. Sicuramente è più piccola della somma di quest'area, più quest'area. E queste 2 aree sono più piccole.
53:58:20Annalisa Cesaroni: mentre mentre l'altra parte, che cos'è l'altra? Che cos'è il minimo? Qual è il minimo? Sarà questo qui
54:08:860Annalisa Cesaroni: il minimo? Sarà questo qui che è negativo.
54:12:00Annalisa Cesaroni: Quindi questa quantità qui, in questo caso, qua, sarà negativa. E sarà questa quantità qua
54:22:590Annalisa Cesaroni: No, non questa tutta.
54:28:220Annalisa Cesaroni: Più
54:34:410Annalisa Cesaroni: e questa sarà l'area di questo rettangolo, l'area di questo rettangolo. Ma col segno meno perché è me negativo. No?
54:42:910Annalisa Cesaroni: Quindi M magari è meno. 1 , Quindi sarà meno 1 per di meno.
54:47:650Annalisa Cesaroni: Ma l'area di questo rettangoletto di sicuro è più piccolo nell'area dell'area, celeste, perché perché l'area di questo risanguoletto è tutta negativa.
54:58:740Annalisa Cesaroni: Ok? M è negativo. E contiene un pezzettino della dell'area della F negativa. Più 2 pezzetti. E questi 2 pezzetti sono positivi, Quindi sicuramente sono più grandi.
55:13:760Annalisa Cesaroni: Quindi di sicuro, beh, ovviamente chef è positiva, viene ancora più semplice vedere che questa disuguaglianza è verificata. Ok, Quindi di sicuro l'integrale tra Ebd Fitz è sempre compreso tra
55:27:200Annalisa Cesaroni: e l'area del rettangolo più grande è possibile che contiene
55:32:830Annalisa Cesaroni: la funzione
55:37:330Annalisa Cesaroni: dai.
55:43:880Annalisa Cesaroni: Vi.
55:45:980Annalisa Cesaroni: Vediamo E comunque, appunto, per ogni funzione, continua nell'intervallo chiuso e limitato a B. Esiste sempre il nostro integrale, che sarà un numero positivo negativo. Non lo so.
56:01:750Annalisa Cesaroni: Di sicuro, Per esempio, possiamo dire questo che.
56:05:670Annalisa Cesaroni: e come conseguenza.
56:09:180Annalisa Cesaroni: per esempio.
56:13:270Annalisa Cesaroni: se io considero che, ne so, la funzione è seno di X
56:19:340Annalisa Cesaroni: tra meno pi greco pi greco
56:22:480Annalisa Cesaroni: di X è sicuramente continua in tutto il suo dominio.
56:27:780Annalisa Cesaroni: Quindi è continuo anche nell'intervallo meno pigreco pi greco. Come sarà fatta. Qua? Vale 0 . Qua. Vale 0 qua vale 0
56:36:680Annalisa Cesaroni: in meno pi greco, Mezzi vale meno 1 , e poi
56:41:600Annalisa Cesaroni: dovrei disegnarle uguali.
56:49:60Annalisa Cesaroni: Ra
56:50:550Annalisa Cesaroni: Facciamolo bene. Sto disegno. E se no
57:10:600Annalisa Cesaroni: vaccini.
57:14:370Annalisa Cesaroni: Questo è il grafico di seno di X? No.
57:17:450Annalisa Cesaroni: Che cos'è l'integrale tra meno pi greco e pi greco del seno di Xx Index è l'area con segno della zona azzurrano compresa tra il grafico di F
57:29:10Annalisa Cesaroni: è la sede Lex in meno pi greco pi greco.
57:33:210Annalisa Cesaroni: Questo constato questo contatto con segno, più questo contatto con segno meno.
57:38:520Annalisa Cesaroni: perché abbiamo detto che le aree che stanno nella parte delle Psi non positive vengono puntate col segno più e le aree che stanno nella parte delle psi non negative sono contate con segno meno. Ma E che cosa posso dire che quest'area qui
57:53:950Annalisa Cesaroni: funzione seno è una funzione a dispari.
57:58:30Annalisa Cesaroni: quindi è simmetrica rispetto a l'origine degli assi, il suo grafico. Quindi questa zona, qui
58:07:520Annalisa Cesaroni: e questa zona qui, sono uguali.
58:10:130Annalisa Cesaroni: Una è uguale all'altra, Solo che rovesciata rispetto alla simmetria. Quindi l'area colpì è uguale area con più.
58:18:570Annalisa Cesaroni: È uguale all'area con meno.
58:22:20Annalisa Cesaroni: E quindi quelle 2 aree si cancellano
58:25:90Annalisa Cesaroni: quest'area, qui. Non so Quanto valga parrà 2 che ne so, e l'altra vale meno 2 . Quindi ho 2 meno 2 : 0 ,
58:33:560Annalisa Cesaroni: sicuro.
58:35:650Annalisa Cesaroni: e questo sarà vero per ogni funzione dispari
58:38:690Annalisa Cesaroni: generale sf è, continua.
58:42:960Annalisa Cesaroni: se F è continua e dispari
58:48:290Annalisa Cesaroni: in un certo intervallo.
58:50:340Annalisa Cesaroni: meno a a un intervallo centrato in 0 ,
58:55:620Annalisa Cesaroni: allora sicuramente, se dev'essere continua e anche dispari in un intervallo centrato in allora l'integrale tra meno a e a D Fdx è sicuramente uguale a 0
59:08:690Annalisa Cesaroni: perché la nostra funzione Non so come sia. Per esempio, potrebbe essere così
59:13:400Annalisa Cesaroni: parte Qui si cancellerà con questa parte qui
59:19:570Annalisa Cesaroni: che succede o facciamo delle cose ancora più arzigogolate.
59:32:780Annalisa Cesaroni: 3
59:36:910Annalisa Cesaroni: si cancellano tutte le aree, perché se la funzione è dispari, se la funzione dispari, questa parte qui è uguale a questa questa parte. Qui è uguale a questa, solo che una è contatta col più e l'altra con meno
59:49:250Annalisa Cesaroni: questa sarà contatta col più questa col più questa col meno è questa, col meno. Ma questa pezzettino piccola, è uguale a questo questo pezzettino uguale a questo e si cancellano tutto.
00:01:630Annalisa Cesaroni: ovviamente. Ovviamente questo è vero solo se prende un intervallo simmetrico rispetto a 0 , perché tu dev'essere simmetrico.
00:14:740Annalisa Cesaroni: Quindi intanto, per esempio, per le funzioni dispari, per lo meno per le funzioni dispari. Sapendo che l'integrale esiste, posso dire che integrale su ciascun intervallo centrato in 0 . È 0 . Ah, poca roba.
00:37:330Annalisa Cesaroni: quindi.
00:38:380Annalisa Cesaroni: proprietà, prima proprietà. Le funzioni dispari vengono fanno così
00:42:650Annalisa Cesaroni: e la proprietà è importante è questa qui, e il fatto che una funzione continua mette sempre integrale. L'integrale è sempre compreso tra minimo della funzione per la lunghezza dell'intervallo e massimo della funzione per la lunghezza dell'intervallo.
00:58:870Annalisa Cesaroni: A. Vediamo altre proprietà dell'integrale, che poi ci serviranno perché adesso noi dobbiamo cercare di capire come ha fatto steintegrale per cercare di farci di e poi lavorarci un po per capire come fare a calcolarlo effettivamente, questo integrale, perché trovarci i a
01:17:610Annalisa Cesaroni: limite delle somme delle somme inferiori e superiori è praticamente una cosa lunghissima.
01:24:250Annalisa Cesaroni: E c'è un primo di questi metodi per calcolare l'area di una zona. Pur vi linea con questa tecnica, di fare il limite di successioni crescenti o decrescenti
01:39:430Annalisa Cesaroni: e è stata fatta nel passato. Per esempio, lo stesso Archimede aveva trovato un metodo per calcolare l'area della regione del segmento parabolico, cioè della regione compresa tra un segmento qua ho speso, storto, ma prendiamolo dritto.
01:55:150Annalisa Cesaroni: per esempio. Prendo una parabola e voglio calcolarmi quest'aria qui che sa, la parabola è il grafico di una funzione continua. Ok? Sarà F di X quadro. Public speaking, non so, con Abi e C per determinare Ok? E 1 cioè c'è il metodo scritto d'archimede.
02:16:500Annalisa Cesaroni: il primo secolo avanti Cristo, e in cui si scrive questo, questa integra quest'area curvelinea, come la somma infinita di pezzettini sempre più piccoli, si va a calcolare il limite. Ora, però, questa è una cosa che funziona per il segmento parabolico per la parabola. Bisognerebbe trovarsi metodi sempre diversi per ogni caso di area curvilinea. Questo non lo vogliamo fare. Vogliamo trovare una cosa
02:40:450Annalisa Cesaroni: generale. Quindi cerchiamo di scriverci le proprietà dell'integrale e da queste dedurre
02:46:400Annalisa Cesaroni: e qualcosa, per cui noi vogliamo trovare un metodo, un metodo per calcolarlo.
02:51:850Annalisa Cesaroni: proprietà dell'integrale.
02:56:210Annalisa Cesaroni: Allora prendiamo
02:58:30Annalisa Cesaroni: abbi chiuso e limitato, sempre
03:05:230Annalisa Cesaroni: F continua da abnorme.
03:11:760Annalisa Cesaroni: Vi
03:16:820Annalisa Cesaroni: e G prendiamo anche un'altra g continua da abb in Harry. Anche lei continua
03:23:220Annalisa Cesaroni: allora prima proprietà,
03:25:150Annalisa Cesaroni: prima proprietà,
03:27:60Annalisa Cesaroni: e abbiamo detto che appunto questa l'abbiamo già detta, la riscrivo. L'integrale tra e Bdf di Xx è sempre compreso tra il Max, Df Tra A e B
03:40:570Annalisa Cesaroni: ebbi Meno ha
03:41:870Annalisa Cesaroni: è il minimo di F tra A, e B
03:46:600Annalisa Cesaroni: per bimenoa. Questo è sempre vero. Ok.
03:50:640Annalisa Cesaroni: Cosa
03:52:310Annalisa Cesaroni: per ogni punto C appartenente ad a B,
03:56:810Annalisa Cesaroni: l'integrale tra A e B, dif di Xx è uguale all'integrale tra A, C, di F di integrale tra C e B, dif di X, cosa sto dicendo Sto dicendo che
04:13:690Annalisa Cesaroni: se questa è la nostra funzione A B
04:18:40Annalisa Cesaroni: e tra A e B ci metto un punto C qua.
04:22:720Annalisa Cesaroni: Allora, questo integrale qui, che è la somma
04:26:700Annalisa Cesaroni: di tutti questi pezzi, è sicuramente uguale a
04:30:700Annalisa Cesaroni: questo è integrale. Qui
04:32:970Annalisa Cesaroni: è l'aria curvilinea tra e C
04:35:820Annalisa Cesaroni: di questo pezzo.
04:38:90Annalisa Cesaroni: questo pezzo qua.
04:40:280Annalisa Cesaroni: Semplicemente
04:42:620Annalisa Cesaroni: sto dicendo che le aree si sommano.
04:46:450Annalisa Cesaroni: Sì, invece di fare l'area.
04:50:140Annalisa Cesaroni: questa sarebbe l'area a consegno del grafico compreso tra la della della della zona compresa tra il traffico di F e e l'asse delle X nel nell'interbanco. Ambi
05:02:380Annalisa Cesaroni: Questa sarebbe l'area compresa tra il grafico D. F e la Sedele X nell'intervallo ac
05:10:590Annalisa Cesaroni: e questa sarebbe un'area compresa l'aria consegno compresa tra il grafico di F e l'asse delle X nell'intervallo.
05:20:920Annalisa Cesaroni: Ma se faccio la somma di quest'area più la somma manifestare ha consegno o l'assume di quest'area.
05:27:150Annalisa Cesaroni: Ovviamente, la somma dell'area illegale, più la somma dell'area robot rosa segno è la Xylellaan celeste
05:34:810Annalisa Cesaroni: semplicemente. Ok Quindi Quindi ho questa proprietà, l'integrale tra e B di E ovviamente, se invece faccio l'integrale tra a eacute.
05:50:410Annalisa Cesaroni: faccio l'integrale tra a e a di questa cosa
05:55:560Annalisa Cesaroni: che cos'è? Quella è l'area consegno. E la base, però è un segmento di lunghezza 0 . Ok, perché sto integrando. Sto prendendo l'aria con segno
06:06:840Annalisa Cesaroni: un segmento di una di un segmento, un segmento, non aria area 0 .
06:14:780Annalisa Cesaroni: Utilizzando queste 2 cose, utilizzando queste 2 cose, Questa è una proprietà geometrica. Questa è una proprietà geometrica. Le aree si sommano.
06:23:190Annalisa Cesaroni: E dico anche questo che non è proprio una proprietà geometrica, nel senso che dico che
06:29:930Annalisa Cesaroni: 3
06:31:840Annalisa Cesaroni: l'integrale tra e Bdf di Xx è uguale a meno l'integrale tra B e Afd Xx
06:40:40Annalisa Cesaroni: solo 1 dei 2 geometricamente è sensato.
06:45:840Annalisa Cesaroni: Un solo 1 dei 2 geometricamente è sensato.
06:49:330Annalisa Cesaroni: E questo qua.
06:57:00Annalisa Cesaroni: però qua sto dicendo che se invece prendo come primo, e se invece vado nell'altra direzione.
07:04:320Annalisa Cesaroni: cioè se prendo come primo estremo dell'intervallo, quello più grande come secondo, estremo, quello più piccolo è come se guardassi al contrario. E quindi gli devo cambiare il segno qua davanti. Questa è solamente una una
07:18:590Annalisa Cesaroni: una cosa che aggiungo, in modo che tutti quanti i conti tornino giusti, cioè tornino giusti i conti e
07:27:490Annalisa Cesaroni: con il conto geometrico di prima e col fatto che integrale su ciascun Se faccio l'integrale tra a eacute.
07:37:550Annalisa Cesaroni: se inverto gli estremi di integrazione.
07:41:300Annalisa Cesaroni: Quindi sto prendendo la base invece che prenderla a B. La prendo B. A.
07:47:60Annalisa Cesaroni: La Basi B è una lunghezza. È un segmento fatto nella nella nella nella direzione giusta della Sedelax. Il segmento B è un segmento scritto nella direzione sbagliata dell'asse delle X. Andiamo al contrario. Quindi ci devo cambiare segno.
08:03:870Annalisa Cesaroni: e quindi la al fatto di avere la somma l'ha fatto di avere questo. E poi 4 , Se F di X è maggior uguale di Gidix per ogni X appartenente ad a B
08:16:580Annalisa Cesaroni: e sono entrambi continue. L'integrale tra Ebdf di Xx è sicuramente maggior uguale dell'integrale Traibi di Gheddafis Ovviamente, se una funzione sta sempre sopra l'altra. Il grafico di una funzione sta sempre sopra il grafico dell'altra. L'area sarà di conseguenza più grande.
08:35:670Annalisa Cesaroni: Il grafico di F sta sempre sopra il grafico di g L'area necessariamente sarà più grande.
08:42:979Annalisa Cesaroni: Vi
08:45:510Annalisa Cesaroni: si dice che l'integrale mantiene è monotono, nel senso che mantiene
08:53:630Annalisa Cesaroni: integrale mantiene il segno.
09:03:430Annalisa Cesaroni: Ovviamente, questa è una diseguaglianza tra funzioni. Punto Per punto questa è una diseguaglianza tra numeri. L'integrale tra ibi di Fedx è un numero.
09:13:240Annalisa Cesaroni: È un numero.
09:14:770Annalisa Cesaroni: Può essere positivo o negativo.
09:17:310Annalisa Cesaroni: Cosa ultima cosa, quindi.
09:23:90Annalisa Cesaroni: cosa è la seguente quatte Come è qua?
09:27:520Annalisa Cesaroni: 5 .
09:28:930Annalisa Cesaroni: L'ultima cosa è la seguente. E se io prendo l'integrale tra e B Df di Gi Dix
09:38:160Annalisa Cesaroni: Da X. Questa è uguale la somma
09:43:350Annalisa Cesaroni: degli integrali.
09:50:880Annalisa Cesaroni: E se prendo l'integrale tra e B di che ne so C per F di Xx e le costanti le porto fuori dall'integrale.
10:04:300Annalisa Cesaroni: Cioè, sto dicendo che se io prendo la somma di 2 funzioni e calcolo, l'area della somma delle 2 funzioni. L'area della somma è la somma delle aree.
10:15:330Annalisa Cesaroni: Se prendo una funzione, se prendo una funzione la moltiplico per una costante.
10:20:730Annalisa Cesaroni: l'area della funzione moltiplicata per una costante sarà costante, moltiplicata per la per l'area della funzione.
10:28:220Annalisa Cesaroni: Questo mi dice che
10:31:680Annalisa Cesaroni: l'integrale in qualche modo rispetta la proprietà. La linearità nel senso rispetta la proprietà di essere 1 spazio vettoriale da parte dello spazio di tutte le funzioni continue sull'intervallo a B. È 1 spazio vettoriale? No, Perché posso definire la somma di funzioni continue e la somma di funzioni continui, è ancora una funzione continua. E poi so, posso definire il prodotto di una funzione continua per un numero.
10:57:430Annalisa Cesaroni: È ancora una funzione, continua se F ed X è continua 3 Rfix è ancora una funzione continua. Ok.
11:06:840Annalisa Cesaroni: Vi.
11:07:990Annalisa Cesaroni: E quindi che cosa ho? Che e la l'integrale è lineare, nel senso che mantiene la proprietà di campo e di spazio vettoriale del nostro spazio, delle funzioni continue, somma integrale, l'integrale della somma è la somma degli integrali, l'integrale è moltiplicato. La integrale di una funzione moltiplicata per costante è costante per integrare.
11:31:30Annalisa Cesaroni: Ok.
11:33:630Annalisa Cesaroni: Ok, quindi la somma di 2 funzioni. Ok, Se abbiamo prendetele.
11:40:740Annalisa Cesaroni: prendete la somma, che cos'è la somma? 1 deve pensare, no
11:44:750Annalisa Cesaroni: a fare la somma di tutte le
11:48:200Annalisa Cesaroni: è un po complicato da disegnare, lo elimina.
11:52:170Annalisa Cesaroni: Ok, ora queste proprietà mi serviranno per rinunciare a un teorema importante che mi permetterà di calcolare l'integrale, però forse è il caso a questo punto che lo facciamo domani. Quindi fermiamoci qua e teniamo per buone le
12:09:810Annalisa Cesaroni: proprietà.