Assistente AI
Trascrizione
00:00:830Annalisa Cesaroni: Un E
00:07:320Annalisa Cesaroni: allora stavamo finendo di studiare questa funzione. Abbiamo visto il criterio di complessità.
00:16:290Annalisa Cesaroni: Stavamo studiando questa funzione che era la logaritmo di Eacute.
00:23:980Annalisa Cesaroni: Ha più infinito y. Lo uguale a 0 è una sintomato orizzontale.
00:29:320Annalisa Cesaroni: Vi
00:30:510Annalisa Cesaroni: ha meno infinito. É meno 2 X più lobaritmo di 4 è un asinto obliquo.
00:37:760Annalisa Cesaroni: Che cosa bisognava osservare? Bisogna osservare che Pex, che tendiamo in infinito, e alla Dwicktende azero.
00:47:470Annalisa Cesaroni: E che cosa abbiamo visto? Anche che il limite per Y Seisk scusate, per X che tende a meno infinito
00:56:980Annalisa Cesaroni: di logaritmo di ala 2 4 , meno 2 x è più infinito. No?
01:03:510Annalisa Cesaroni: Perché per X che tende a meno infinito, questo tende al logaritmo di 0 più 4 , cioè, e questo tende a meno meno infinito, cioè più infinito
01:14:670Annalisa Cesaroni: attenzione con Pix, tende a meno infinito e alla X sede a 0 ,
01:21:170Annalisa Cesaroni: Poi 1 , invece scrive velocemente. Scrive meno infinito, Scrive attenzione. Quando si fanno stia. Adesso ci manca la derivata prima, ed è arrivata seconda per capire la monotonia, il segno. Non l'abbiamo studiato
01:34:160Annalisa Cesaroni: i derivata prima della nostra funzione. Allora, la nostra funzione, com'è fatta.
01:40:50Annalisa Cesaroni: è la somma tra 2 funzioni
01:42:380Annalisa Cesaroni: allora meno 2 x, la sappiamo derivare. E poi c'è la prima parte, che invece è la composizione. Ok, è una composizione tra logaritmo che ha la funzione più esterna, e poi ci sarà da derivare la questione, la la la la funzione più interna.
02:00:780Annalisa Cesaroni: Allora cos'è la derivata del logaritmo? La derivata del logaritmo è 1 fra l'argomento derivata del Logaritmo
02:10:759Annalisa Cesaroni: 1 fratto X ovviamente questo non è da calcolarsi in X, ma da calcolarsi nell'argomento che abbiamo. Quindi la derivata del logaritmo funzione più esterna è 1 fratto l'argomento, cioè 1 fratto e alla 2
02:30:370Annalisa Cesaroni: 1 fra l'argomento questa è la derivata del logaritmo, 1 fra l'argomento per
02:36:870Annalisa Cesaroni: per la derivata dell'argomento
02:39:630Annalisa Cesaroni: far la derivata di quello che c'è dentro
02:42:450Annalisa Cesaroni: allora era a 2 x più 4 . Devo far la derivata diè la 2 x, e poi più è derivata di 4 . La derivata di 4 è 0 perché è una costante, quella non ha problemi La derivata di e la 2 X. La derivata dell'esponenziale è sempre l'esponenziale. La derivata di Ala X e e alla X, quindi è Ea La 2 . X però, qua non è l'esponenziale di X, è l'esponenziale di 2 X. Quindi
03:09:590Annalisa Cesaroni: anche questa è una funzione composta. La funzione esponenziale è composta con la funzione che X Social duex. Quindi devo fare derivata dell'esponenziale, che è l'esponenziale calcolata nel suo argomento per la derivata dell'argomento
03:25:510Annalisa Cesaroni: per La derivata dell'argomento, che è 2 x
03:28:540Annalisa Cesaroni: derivata di 2 x è 2 per 1 . Quindi per 2 qua ciò
03:34:380Annalisa Cesaroni: più 0 ,
03:36:180Annalisa Cesaroni: che è la derivata di 4 . Ok, questa è la derivata di Elala 2 X, perché devo far la derivata della funzione più esterna, che è l'esponenziale
03:46:200Annalisa Cesaroni: per la derivata di 2 x
03:48:430Annalisa Cesaroni: è 2 ok? Quindi. E ha la 2 x per 2 .
03:54:380Annalisa Cesaroni: Quindi la derivata dell'argomento è derivata di Ala 2 x che è 2 e alla 2 derivata di 4 , che è 0 meno derivata di 2 x che è 2 . Manca qua.
04:08:110Annalisa Cesaroni: Quindi cosa ci viene? Questa cosa? Viene 2 eacute
04:15:800Annalisa Cesaroni: meno 2 :
04:17:769Annalisa Cesaroni: il minimo comune multiplo.
04:20:40Annalisa Cesaroni: Questo lo spostiamo un pochino.
04:30:940Annalisa Cesaroni: e questo diventa che cosa
04:33:890Annalisa Cesaroni: e alla 2 4 denominatore. Poi ciò Eacute.
04:45:420Annalisa Cesaroni: Questo se ne va.
04:47:760Annalisa Cesaroni: Vi
04:49:510Annalisa Cesaroni: abbiamo fatto lassù. Quiò 2 alla alla Whirlpool e alla Duits più 4 , che è la derivata del primo termine meno 2 che è la derivata del secondo termine Doy, venivo un comune multiplo, che è la 2 , 4 , e faccio la somma. Quindi io tengo 2 , era D. X, era al cui meno 2 e moltiplicato per questo, quindi meno 2 , e alla Brexit, meno 2 , per 4 , meno 8 , il 2 alla 2 X se ne va.
05:16:450Annalisa Cesaroni: E Quindi ottengo che F primo
05:21:100Annalisa Cesaroni: X meno 8 fratto e alla 2 4
05:25:440Annalisa Cesaroni: è definita sempre questa funzione, Questa funzione. Quindi il dominio f è derivabile
05:33:180Annalisa Cesaroni: per ogni X appartenente ad Er
05:35:550Annalisa Cesaroni: R. Era il dominio della nostra funzione. E inoltre, F primo di X è sempre strettamente negativo per ogni X appartenente ad Ar. Perché? Perché? Perché ha numeratore o meno 8 , numero negativo e a denominatore. Ciò la somma tra 2 numeri positivi esponenziale è sempre positivo, più 4 è sempre positivo. Quindi la nostra funzione è f è strettamente decrescente
06:03:340Annalisa Cesaroni: su tutto l'intervallo R.
06:06:650Annalisa Cesaroni: Un intervallo e è strettamente decrescente, perché la derivata prima è strettamente minore di 0 .
06:14:110Annalisa Cesaroni: Quindi in particolare, la funzione non avrà né massimo né minimo. Non avrà né massimi né minimi locali. Dico.
06:22:830Annalisa Cesaroni: Avrà massimo globale Che cosa ci dobbiamo ricordare che a meno infinito la funzione va a più infinito.
06:31:10Annalisa Cesaroni: va su fino a più infinito. Quindi sicuramente non ha massimo globale.
06:35:280Annalisa Cesaroni: E poi e scende, scende strettamente decrescente fino al suo sintomo orizzontale, X non uguale a 0 a più infinito, quindi non avrà né massimi né minimi. Sicuramente la nostra funzione
06:50:90Annalisa Cesaroni: F di X è sempre maggiore di 0 , minore, uguale, minore di più infinito
06:56:680Annalisa Cesaroni: per ogni X F non ha massimi né minimi.
07:07:520Annalisa Cesaroni: non ha né massimi né minimi.
07:09:510Annalisa Cesaroni: perché è sempre strettamente decrescente, cioè e va giù giù giù fino alla sua sintotà orizzontale. Xylella uguale a 0 non può andare a 0 prima.
07:20:70Annalisa Cesaroni: da qualche altra parte, perché se andasse a 0 prima dopo, dovrebbe tornare su, per poi tornare giù a 0 . Ma la funzione è sempre strettamente decrescente. Quindi calcoliamoci la derivata. Seconda derivata. Seconda: che cos'è? Devo far la derivata della derivata prima, devo fare meno 8 fratto e alla 2 derivata.
07:40:830Annalisa Cesaroni: E cosa viene questo allora derivata di un rapporto allora denominatore Metto e alla dueex più 4 al quadrato a numeratore metto derivata del numeratore, che sarebbe derivata di meno 8 meno otona costante quindi derivato a 0 sarebbe 0 , che moltiplica denominatore e alla 2 . Quindi questo non ci sarà meno
08:03:360Annalisa Cesaroni: numeratore non derivato, che sarebbe meno 8 per derivata del denominatore.
08:09:440Annalisa Cesaroni: chi è il denominatore e alla 2 4 la derivata di Hilla Dx l'abbiamo calcolata, prima è 2 e alla 2 X
08:17:880Annalisa Cesaroni: più 0 sarebbe no, perché la derivata di 4 è 0 . Quindi qua cosa viene viene e la derivata? Seconda: viene meno per meno più 8 per 2 , 16 e alle 2 x fratto e alla 2 al quadrato
08:37:220Annalisa Cesaroni: derivata della derivata. Abbiamo preso la funzione derivata e l'abbiamo derivata un'altra volta.
08:43:700Annalisa Cesaroni: La derivata seconda è la derivata della derivata. Questo è strettamente positivo, sempre ovviamente, e quindi la funzione è sempre Convessa
08:56:290Annalisa Cesaroni: su tutto. R.
09:00:50Annalisa Cesaroni: Non ha punto in cui cambia la conversa e la concavità
09:03:380Annalisa Cesaroni: è sempre conversa su tutto é
09:12:990Annalisa Cesaroni: Ok, Disegnamola. E siamo a posto Allora, com'è qua la questione?
09:21:330Annalisa Cesaroni: Lei ha un sintomo.
09:24:990Annalisa Cesaroni: una sintomato orizzontale, Xylella uguale a 0 . Poi ha la sintomatologia obliquo che dov'è? Meno 2 logaritmo di Xylella uguale, meno duex, più logaritmo di 4 . Allora sarà rivolto così. Sto a sintomo
09:42:310Annalisa Cesaroni: xylella uguale meno 2 logaritmo di 4 , quando x uguale a 0 passa su logaritmo di 4 .
09:51:454Annalisa Cesaroni: sarà una roba così. Non so
09:56:320Annalisa Cesaroni: y siano uguale, meno 2 x-piologaritmo di 4
09:59:870Annalisa Cesaroni: Hai.
10:01:380Annalisa Cesaroni: punto in cui interseca l'asse xuale 0 è
10:08:960Annalisa Cesaroni: Ypsil uguale a 0 e logaritmo di 4 fratto 2 e x, uguale a 0 e logaritmo di 4 no.
10:18:50Annalisa Cesaroni: E questo è logaritmo di 4 fra 2 .
10:22:180Annalisa Cesaroni: Più o meno sarà così.
10:25:160Annalisa Cesaroni: E Come fa la nostra funzione
10:28:20Annalisa Cesaroni: nostra funzione? Che cosa fa?
10:30:770Annalisa Cesaroni: È sempre decrescente, sempre convessa. Quindi cosa farà farà una roba del genere?
10:37:690Annalisa Cesaroni: Nessuno.
10:40:610Annalisa Cesaroni: Infine, almeno infinito, si attacca sempre di più a questo asinto. Sembra che non si attacchi poi, ma insomma, si attacca
10:55:30Annalisa Cesaroni: e poi viene giù.
11:16:60Annalisa Cesaroni: Ok.
11:17:320Annalisa Cesaroni: Ra.
11:29:630Annalisa Cesaroni: Va bene.
11:34:630Annalisa Cesaroni: Ok, dobbiamo studiarne altri di funzioni. Cosa Abbiamo studiato di altra funzione? Questa era questa qui.
11:44:680Annalisa Cesaroni: Questa era l'arcotangente. Ok, va beh, andiamo un attimo avanti. Allora. Poi faremo altri esercizi su studi di funzione. Ma
11:55:720Annalisa Cesaroni: andiamo un attimo un po avanti.
12:05:350Annalisa Cesaroni: Vi
12:09:400Annalisa Cesaroni: un'altra applicazione del calcolo. Ok? Quindi adesso abbiamo visto che la nozione di derivata che cosa abbiamo introdotto le funzioni? Abbiamo introdotto il concetto di limite. Utilizzando il limite, abbiamo introdotto il concetto di derivata
12:25:410Annalisa Cesaroni: di derivata di derivata, eccetera, e la derivata di una funzione. Abbiamo visto che ci permette di capire quali sono gli intervalli in cui la nostra funzione cresce, In quali é monotona crescente, in quali intervalli la funzione monotona decrescente. Quindi il segno della derivata ci dice, è la monotonia della funzione. Quindi dove la derivata si annulla, Quelli sono i punti candidati ad essere punti di massimo minimo locale candidati, perché potrebbero anche non esserlo.
12:52:700Annalisa Cesaroni: E poi abbiamo detto che se noi abbiamo una funzione abbastanza regolare di cui e quindi di cui possiamo calcolare anche la derivata della derivata, cioè la derivata seconda ed derivata; seconda: ci dà informazioni non su quanto la funzione dove la funzione cresce o decresce, ma dove la derivata crescita cresce, cioè dove la funzione è conca vo o convessa.
13:14:890Annalisa Cesaroni: Quindi la derivata, la derivata della derivata, eccetera, ci dà informazioni su come è fatta la funzione
13:22:370Annalisa Cesaroni: e un'altra applicazione della derivata delle derivate, invece al calcolo dei limiti, alla
13:31:90Annalisa Cesaroni: al calcolo dei limiti e alla soluzione di forme indeterminate del tipo 0 su 0 , che è il teorema di Taylor. Vediamo un attimo allora e abbiamo detto: che Cosa vuol dire
13:47:800Annalisa Cesaroni: allora? Introduciamo il concetto, prima di tutto di infinitesimo.
13:56:400Annalisa Cesaroni: Allora diciamo che
13:58:700Annalisa Cesaroni: e definizione
14:00:840Annalisa Cesaroni: diciamo che
14:02:720Annalisa Cesaroni: F
14:05:140Annalisa Cesaroni: è infinitesima
14:09:30Annalisa Cesaroni: e nel punto X 0 ,
14:15:290Annalisa Cesaroni: Se il limite per X che tende ex con 0 def di X è uguale a 0 . Allora diciamo
14:22:880Annalisa Cesaroni: che una funzione infinitesima in un punto.
14:26:460Annalisa Cesaroni: Se il suo limite è 0 infinitesimo. Vuol dire che diventa piccolissima.
14:34:940Annalisa Cesaroni: Diciamo che una funzione è infinitesima ovviamente non è che può essere infinitesima genericamente, devo dire, è infinitesima in X con 0 . Devo dire in che punto è infinitesima è Infinitesime X con 0,0
14:52:370Annalisa Cesaroni: esempio. Tutte le funzioni, esempio.
14:58:680Annalisa Cesaroni: tutte le funzioni Fd X uguale X alla cappa, con cappa positivo
15:03:470Annalisa Cesaroni: sono tutte infinitesime
15:10:30Annalisa Cesaroni: in nel punto 0 ,
15:13:220Annalisa Cesaroni: perché il limite per X che tende a 0 Dix alla K è uguale a 0 . Se K è positivo? No.
15:19:820Annalisa Cesaroni: scappa? È negativo? No? È 1 fratto X 1 : tratto 0 può essere più infinito o meno infinito. A seconda se X tenda 0 , più 0 , meno ma se cappa è positivo. Banalmente, tutte queste funzioni qua sono tutte infinitesime Il limite per x che tende a 0 dix al quadrato è 0 Ok.
15:39:190Annalisa Cesaroni: allora é esattamente come abbiamo fatto quegli infiniti. Vi ricordate quando avevamo delle funzioni che tendevano all'infinito, abbiamo messo in ordine gli infiniti, abbiamo detto: confrontiamo gli infiniti come facendo, come facendo il rapporto? No? Se 2 funzioni Fg tendono entrambe all'infinito. In un punto faccio il rapporto effettuato. G
16:00:890Annalisa Cesaroni: Se questo rapporto tende all'infinito, vuol dire che l'infinito sopra è più grande, si tende a 0 . Vuol dire che l'infinito sotto è più grande.
16:08:760Annalisa Cesaroni: Vi
16:10:110Annalisa Cesaroni: scusate, per gli infinitesimi. Facciamo la stessa cosa.
16:14:380Annalisa Cesaroni: Se F E. G sono entrambi
16:21:120Annalisa Cesaroni: infinitesimi.
16:24:520Annalisa Cesaroni: Eriks che tende in e nel punto X 0 ,
16:30:610Annalisa Cesaroni: posso considerare
16:35:250Annalisa Cesaroni: il limite per X che tende ex con 0 Df di X fratto G di X
16:42:210Annalisa Cesaroni: Questo è 0 fratto 0 . Ovviamente
16:45:950Annalisa Cesaroni: sono entrambe infinitesime
16:49:220Annalisa Cesaroni: Inx con 0 . Quindi abbiamo che il limite di F è 0 . Il limite di gi a 0
16:54:230Annalisa Cesaroni: è il
16:56:120Annalisa Cesaroni: Supponiamo che io riesca a risolvere questa forma indeterminata. Questa sarebbe una forma indeterminata a 0 a fatto 0 . Supponiamo di saperla risolvere se questa forma indeterminata è uguale a 0 .
17:08:640Annalisa Cesaroni: Se questo limite alla fine è uguale a 0 . Cosa vuol dire? Vuol dire che ci abbiamo F di X, tratto giza. Entrambe tendono a 0 .
17:17:810Annalisa Cesaroni: Però la funzione sopra tende a zaro più velocemente di quella sotto
17:24:109Annalisa Cesaroni: F ed X
17:25:950Annalisa Cesaroni: è infinitesimo
17:30:530Annalisa Cesaroni: di ordine superiore.
17:37:500Annalisa Cesaroni: Agi di X
17:41:290Annalisa Cesaroni: se tende a più o meno infinito F di X è infinitesimo di ordine inferiore
17:57:870Annalisa Cesaroni: Agd X,
17:59:630Annalisa Cesaroni: perché
18:02:870Annalisa Cesaroni: cosa vuol dire? Che è 0 fratto 0 , però lo 0 sotto, diciamo, conta di più dello 0 sopra.
18:10:590Annalisa Cesaroni: Quindi è come se avessi costante, fatto 0 , e quindi tende a un po più infinito, meno infinito.
18:18:150Annalisa Cesaroni: Invece il limite è l diverso da 0 diciamo che F e G
18:28:20Annalisa Cesaroni: e G sono
18:32:950Annalisa Cesaroni: diciamola così. F è asintotica. Ag
18:42:60Annalisa Cesaroni: e dico F, a sinto, scrivo, Non sono proprio uguali, ma
18:48:390Annalisa Cesaroni: ma non sono proprio uguali, nel senso che Fg potrebbero essere molto diversi, una dall'altra, tuttavia, hanno lo stesso comportamento al limite
19:02:250Annalisa Cesaroni: degli esempi. Perché altrimenti, Ok, facciamo degli esempi.
19:14:740Annalisa Cesaroni: Facciamo gli esempi. Ok, Quindi se il rapporto tra F, G Tendi ad un numero finito diverso da 0 . Vuol dire che F. G:
19:24:500Annalisa Cesaroni: si comportano più o meno meno 0 , più o meno nello stesso modo.
19:28:500Annalisa Cesaroni: Ok, si comportano più o meno nello stesso modo, non sono proprio uguali. Però. Quasi
19:35:70Annalisa Cesaroni: allora vediamo 2 esempi. Un esempio semplice. Facciamo fdi X uguale che ne so, tra X quadro più X e Givix uguale a
19:46:990Annalisa Cesaroni: Prendiamo gigi 1 di X uguale a X.
19:53:910Annalisa Cesaroni: Allora che cosa possiamo osservare che il limite per X che tende a 0 . I F ed Ig sono entrambi F e G sono sono infinitesime
20:07:750Annalisa Cesaroni: in Xcond Inix con 0 uguale a 0 in 0 .
20:11:890Annalisa Cesaroni: E che cosa possiamo osservare che se io faccio f fratto G
20:16:210Annalisa Cesaroni: cioè il limite per X che tende a 0 di f fratto G Quanto viene questo limite.
20:23:220Annalisa Cesaroni: Allora, vedete, possiamo raccogliere a fattor comune la X sopra e avere che questo è il limite per X che tende a 0 di X, che moltiplica
20:32:440Annalisa Cesaroni: tra 1 fratto X.
20:36:120Annalisa Cesaroni: Raccogliamo a numeratore una X, no? Qua. Jam Xva. Raccogliamo una x-anumeratore, La X ci va via.
20:43:390Annalisa Cesaroni: E cosa ci viene?
20:44:950Annalisa Cesaroni: Cosa ci viene Questo limite?