Assistente AI
Trascrizione
00:00:30Annalisa Cesaroni: Bene, allora cominciamo
00:11:440Annalisa Cesaroni: di una
00:13:590Annalisa Cesaroni: allora.
00:15:340Annalisa Cesaroni: A oggi introduciamo un altro strumento del calcolo differenziale, oltre i limiti, che appunto è 1 strumento che si basa sul
00:25:700Annalisa Cesaroni: strumento dei limiti che abbiamo introdotto, che è lo strumento della derivata, le funzioni in un punto
00:36:190Annalisa Cesaroni: e perché ci interesserà fare la derivata, introdurre il concetto di derivata, Perché abbiamo detto che vogliamo cercare di capire un po meglio le qualità, le proprietà qualitative di una funzione, allora il limite ci permette di vedere
00:52:760Annalisa Cesaroni: ci permette se siamo in grado di calcolare, di vedere come si comporta la funzione vicino a punti in cui non è definita vicino a punti di singolarità
01:01:00Annalisa Cesaroni: o che siano di accumulazione per il dominio della funzione, ma che non appartengono al dominio della funzione. E poi ci permette anche di vedere se la funzione ha un dominio, per esempio illimitato Come si comporta la funzione per valori della X molto grandi o molto, molto negativi. Ora é l'altra cosa che noi vorremmo fare è cercare di capire il comportamento qualitativo locale della funzione, nel senso di capire
01:25:770Annalisa Cesaroni: se la funzione È monotona crescente, 6 monotona decrescente, dove assume i punti dove, come si fanno a trovare i punti di massimo di minimo della funzione locali e globali, ecc. E la derivata sarà 1 strumento per guardare localmente le proprietà di una funzione vicina a un punto del dominio, però questa volta allora diamo la definizione definizione. Prendo
01:55:470Annalisa Cesaroni: F, da D in R
02:00:230Annalisa Cesaroni: e sia A e sia X
02:06:420Annalisa Cesaroni: Xcon 0 , un punto del dominio della funzione
02:10:09Annalisa Cesaroni: tale che
02:11:150Annalisa Cesaroni: vi
02:15:280Annalisa Cesaroni: tale che e per ogni per ogni er positivo. X Conzero meno, R. Xconzero, intersecato D è diverso dal vuoto e X, con 0 X con 0 più R intersecato addio è diverso dal vuoto. Sto dicendo che X con 0 è di accumulazione
02:37:720Annalisa Cesaroni: e di accumulazione, per di sia
02:40:950Annalisa Cesaroni: guardando sia a destra che a sinistra. Diciamo.
02:47:680Annalisa Cesaroni: Ok, sto dicendo, è un un ulteriore modo per dire la stessa cosa, cioè voglio che Xcontero appartenga al dominio e anche che se io prendo l'intervallì tutti gl'intervallini un qualsiasi intervallino
03:02:300Annalisa Cesaroni: a sinistra di Xcong 0 , quello contenga punti del dominio di. E se prendo un qualsiasi intervallino a destra di Xon 0 , quello contenga punti del dominio di cosa? Che cosa che cosa vuol dire Questo vuol dire che è ex-con 0 è di accumulazione per il dominio. Ma qualcosa di più. Vuol dire che posso calcolare i mix contrario. I miti destri e i limiti sinistri, per esempio, Ok, e chiamo
03:30:330Annalisa Cesaroni: derivata
03:33:740Annalisa Cesaroni: F
03:35:450Annalisa Cesaroni: nel punto
03:37:140Annalisa Cesaroni: X con 0 . Il
03:42:210Annalisa Cesaroni: Il valore
03:45:690Annalisa Cesaroni: finito
03:50:330Annalisa Cesaroni: se esiste, Non è detto che esiste
03:53:940Annalisa Cesaroni: del limite
03:55:820Annalisa Cesaroni: di quello che si chiama rapporto incrementale limite peracca che tende a 0 di F di X 0 , più H
04:03:110Annalisa Cesaroni: meno Effe di X-con 0 , fratto H vedete Qui chi è che si sta muovendo in questo limite. Si sta muovendo semplicemente. Il punto H si sta muovendo. Valore H Che cos'è Xconzero più accca. Io sto facendo qui. C'è Excongero, se ha, che è positivo. Xconzero più acque sarà a destra Dixongero se ha, che è positivo, se ha che è negativo. Xonzero più acque sarà a sinistra Dixon 0 . No?
04:31:100Annalisa Cesaroni: Sto andando a vedere i valori di questo limite per H, che tende a 0 di Frix con 0 più acqua, meno F di X, zanzaro fatto acque. Notate che se F
04:40:800Annalisa Cesaroni: in Xcon 0 .
04:43:550Annalisa Cesaroni: Se la catena a 0 f tende a qui seacca è continui x con 0 ,
05:12:320Annalisa Cesaroni: se questo limite esiste finito. Si chiama quindi
05:18:870Annalisa Cesaroni: F. Primo. Quindi se se questo limite
05:25:00Annalisa Cesaroni: esiste.
05:26:920Annalisa Cesaroni: cosa ed è finito
05:31:650Annalisa Cesaroni: chiama
05:34:650Annalisa Cesaroni: derivata D. F. Nixon 0
05:39:750Annalisa Cesaroni: e si indica con F primo Dix con 0 . A volte lo trovate anche scritto Def. A volte lo trovate. Allora noi lo chiameremo sempre, F, primo di scon 0 . Un altro modo per indicarlo.
05:55:110Annalisa Cesaroni: Un altro modo è
05:57:630Annalisa Cesaroni: indicarlo come
05:59:420Annalisa Cesaroni: D. F Sudax Inxonzero.
06:04:160Annalisa Cesaroni: A volte trovate anche questa terminologia. Qui
06:07:160Annalisa Cesaroni: noi faremo sempre utilizzeremo sempre questa F, primo F, con una
06:15:290Annalisa Cesaroni: con un apice qui sopra. E lo leggo: F, i
06:19:960Annalisa Cesaroni: esse derivata
06:23:930Annalisa Cesaroni: F. I.
06:26:360Annalisa Cesaroni: Vi
06:28:940Annalisa Cesaroni: Questa si chiama derivata di e finisco 0 . Ok? Quindi la derivata si definisce puntualmente punto per punto, per ogni punto del dominio che abbia queste proprietà, cioè che sia di accumulazione per dominio. Vedete qua? Perché sto chiedendo che é
06:46:960Annalisa Cesaroni: ci siano queste proprietà, perché io ho bisogno di poter calcolare il limite per acqua che tende a 0 . Vedete, quindi sto andando a vedere quello che succede sia a destra che a sinistra di X Congero, sto prendendo quei punti X con 0 più H. Lo sto prendendo come un punto del dominio di F, che sta a destra, a sinistra di
07:09:740Annalisa Cesaroni: Ok.
07:18:640Annalisa Cesaroni: Questa si chiama derivata. Si definisce punto per punto una volta che io sono capace di definire punto per punto la derivata
07:26:840Annalisa Cesaroni: il valore di quell'inizio. Quindi la derivata di un punto di una funzione in un certo punto è un numero. È il valore di un limite, un numero finito. Un numero. Ok.
07:39:330Annalisa Cesaroni: Una volta che io riesca a definire a calcolarmi questo limite per ogni x appartenente al dominio della funzione con quelle proprietà. Posso definire anche la funzione derivata.
07:50:530Annalisa Cesaroni: Definisco quindi la derivata
07:55:620Annalisa Cesaroni: di una funzione
07:59:720Annalisa Cesaroni: F in un punto
08:03:200Annalisa Cesaroni: X con 0 è un numero.
08:05:750Annalisa Cesaroni: ok?
08:07:410Annalisa Cesaroni: Corrisponde
08:09:820Annalisa Cesaroni: al valore
08:11:120Annalisa Cesaroni: del limite al valore del limite. No
08:15:490Annalisa Cesaroni: è la derivata del limite per acqua che tende a 0 di
08:20:50Annalisa Cesaroni: F Dix con 0 più H, meno F X con 0 fratto H Poi posso definire.
08:26:880Annalisa Cesaroni: posso definire
08:29:440Annalisa Cesaroni: la funzione derivata
08:36:120Annalisa Cesaroni: d. F,
08:38:460Annalisa Cesaroni: che in generale
08:43:90Annalisa Cesaroni: avrà un dominio.
08:45:960Annalisa Cesaroni: chiamiamolo di primo contenuto nel dominio didì
08:50:630Annalisa Cesaroni: di primo dominio della funzione derivata
08:56:890Annalisa Cesaroni: D derivata di F di dominio. Df: Ok, in generale, Il dominio della derivata della funzione derivata
09:05:480Annalisa Cesaroni: sarà contenuto nel dominio della funzione di partenza e chi è la funzione derivata? F: Primo, è la funzione derivata?
09:16:400Annalisa Cesaroni: Df: e Che cos'è? È la funzione che a ogni X
09:21:00Annalisa Cesaroni: per ogni X appartenente al dominio della funzione derivata F primo di X uguale al limite per acqua che tende a 0 D. F
09:33:370Annalisa Cesaroni: di H, meno F di X, fratto Hp
09:38:500Annalisa Cesaroni: e X, appartiene al dominio di primo se solo se
09:43:840Annalisa Cesaroni: il limite
09:45:610Annalisa Cesaroni: peracca che tende a 0 di Effe di Xphiacca meno F di x fratto h Esiste finito.
09:58:830Annalisa Cesaroni: quindi la derivata di una funzione in un punto. È un numero. È un valore. È un valore, è il limite. Il valore di un punto, la funzione derivata è la funzione che trovo associando ad ogni X dentro al dominio della derivata.
10:14:390Annalisa Cesaroni: Il valore di questo limite a ogni X associa il valore di questo limite, questa sarà chiamata funzione derivata e ovviamente sarà definita dove, non su tutto il dominio d della funzione di partenza, ma su un sottoinsieme del dominio di che è sottoinsieme dei punti di accumulazione. Dov'è questo limite dei punti di accumulazione che soddisfano quella proprietà che ho scritto prima, dove questo limite esiste. Finito.
10:39:810Annalisa Cesaroni: Quindi il dominio della derivata potrebbe anche essere lo stesso del dominio della funzione e potrebbe essere più piccolo.
10:46:890Annalisa Cesaroni: Quindi
10:49:20Annalisa Cesaroni: una volta bisognerà imparare a calcolarle queste funzioni derivate, bisognerà ovviamente, come si farà per calcolare le funzioni derivate. Per calcolare la funzione derivata, io dovrei essere entrando per ogni
11:00:770Annalisa Cesaroni: X, data una certa funzione, di calcolare il limite. Il valore di questo limite allora per alcune funzioni facili. Se era facile farlo
11:09:280Annalisa Cesaroni: per alcune funzioni semplici, sarà facile farlo. Per altre funzioni, sarà praticamente impossibile calcolarsi la derivata risolvendo il limite, però, esattamente come nel caso dei limiti in cui ci sono dei casi in cui i limiti non si riescono a trovare direttamente, si utilizzeranno, si utilizzeranno delle formule che ci permettono di collegare i limiti. La derivata del prodotto di funzioni.
11:33:470Annalisa Cesaroni: la con prodotto delle derivate o cose del genere derivata di una somma, ci saranno delle formule che ci permetteranno di calcolare una volta che sappiamo, le derivate nelle funzioni elementari ci permetteranno di calcolare le derivate di tutte le altre funzioni. Ok, vedremo queste formule, allora facciamo degli esempi di calcolo della funzione derivata.
11:55:70Annalisa Cesaroni: Allora prendiamo F di X uguale e alla X, che questa è la più facile di tutte
12:01:750Annalisa Cesaroni: e come dominio c'è tutto. R: No, F, Va da R in Her, anzi da Terry nel repiù. Ma non importa.
12:10:390Annalisa Cesaroni: e calcoliamoci F, primo di x fisso, x.
12:16:810Annalisa Cesaroni: E vedo se esiste finito.
12:22:660Annalisa Cesaroni: se vedo controllo, se esiste finito il limite per ha che tende a 0 . Di che cosa devo calcolare F di H. Meno? F di X, fratto H, cioè il limite peracca che tende a 0 ,
12:36:220Annalisa Cesaroni: ricordandomi che F è questa qui di e alla H meno, e alla X fratto H,
12:44:580Annalisa Cesaroni: vedete, H, Cioè, qua, o è felicit agrave.
12:57:690Annalisa Cesaroni: Allora come si calcola, allora devo vedere se questo limite a X generico fissato.
13:03:980Annalisa Cesaroni: Ah, esiste è un limite dove
13:06:930Annalisa Cesaroni: H si muove, x, rimane fisso. Allora adesso mi ricordo che grazie alle proprietà delle potenze e alla H
13:17:50Annalisa Cesaroni: lo posso scrivere come eacute
13:20:560Annalisa Cesaroni: proprietà delle potenze.
13:22:500Annalisa Cesaroni: e quindi Questo è il limite peracca che tende a 0 di e alla X per eacute
13:31:220Annalisa Cesaroni: fratto h Adesso mi rendo conto che qua posso raccogliere alla x a fattor comune.
13:36:850Annalisa Cesaroni: Ok?
13:38:240Annalisa Cesaroni: E quindi questo lo scrivo come limite per Aca che tende a 0 di é alla x, che moltiplica.
13:45:220Annalisa Cesaroni: H.
13:47:430Annalisa Cesaroni: Ok, perché qui ho raccolto, e alla X ha fatto il comune. Mi rimane Qua è ala e qua Mi rimane meno 1 . Ok.
13:55:950Annalisa Cesaroni: ora è alla X,
13:58:90Annalisa Cesaroni: qui il limite è per ha che tende a 0 e alla X era costante. Per quanto riguarda quel limite X è fissato quindi alla X è una costante. Quindi questo è, e alla X per il limite peracca che tende a 0 di Alak: meno 1 fratto. H. Ma a quanto è uguale questo limite
14:17:550Annalisa Cesaroni: per H, che tende a 0 ,
14:20:610Annalisa Cesaroni: chiamiamola variabile. Come ci pare no. Il limite
14:24:860Annalisa Cesaroni: per questo è un limite notevole che abbiamo visto no. Abbiamo detto che per X che tenga 0 e alla X meno, 1 tratto X tende a 1 . Ora, se invece di chiamarla X, la chiamiamo H. Questo è il limite per acqua che tende alzare di Alaka meno 1 fratto hk ok. Sarebbe una forma indeterminata del tipo 0 , fratto 0 , però l'abbiamo risolta partendo da il limite notevole di é E poi, facendo teoremi ponte all'anti andrà
14:52:410Annalisa Cesaroni: quindi questo limite notevole qua lo sappiamo, che è uguale a 1 che
14:58:440Annalisa Cesaroni: questo è il limite notevole, uguale a 1 .
15:07:70Annalisa Cesaroni: E quindi questo limite esiste ed è alla X per 1 , cioè alla X, vuol dire che la funzione derivata D della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa, la derivata di e e alla X e e alla hips.
15:23:320Annalisa Cesaroni: Questo, per esempio, è una delle domande che possono essere fatte durante la parte la parte A della teoria.
15:31:370Annalisa Cesaroni: La definizione di derivata di funzione in un punto e mostrare che la derivata di Al X e alla X 1 cosa fa.
15:41:80Annalisa Cesaroni: Da E
15:42:120Annalisa Cesaroni: E poi qua dice: Questo è il limite notevole, tende a 1 solo.
15:49:100Annalisa Cesaroni: e mentre la definizione di derivata 1 deve saperla, ed è questa: qui la definizione di derivata.
15:55:630Annalisa Cesaroni: È questa qui no.
15:58:560Annalisa Cesaroni: in un punto X con 0 in un punto X, insomma, come li chiamiamo definizione di derivata. È questa qui
16:06:80Annalisa Cesaroni: un altro di e facciamone un'altra di derivata facile, Anche questo caso, un'altra funzione, la funzione più semplice possibile F di x
16:20:990Annalisa Cesaroni: Quant'è la derivata? Devo fare il limite per Aca, che tende a 0 di effe di H meno F di X, fratto H con te Questo limite limite peraca che tende a 0 di H, meno x fratto h
16:36:140Annalisa Cesaroni: Quindi è il limite per acqua che tende a 0 di h fratto h cioè 1
16:42:160Annalisa Cesaroni: quindi F primo di x, è uguale a 1 per ogni X, cioè la funzione derivata.
16:49:560Annalisa Cesaroni: la funzione derivata. Anche in questo caso, ha come dominio il dominio, è tutto R ed è la funzione che ha X associa. Il valore costante
16:57:480Annalisa Cesaroni: è la funzione costante uguale a 1
17:06:420Annalisa Cesaroni: invece di aver preso F X uguale X. Avessimo preso fdi X uguali X quadro.
17:11:910Annalisa Cesaroni: Allora, che cosa avremmo potuto scrivere stessa cosa? X più H al quadrato, meno x al quadrato fratto H
17:19:420Annalisa Cesaroni: Ok, devo fare sempre F ed H che sarebbe X blocca al quadrato meno fedx, che sarebbe meno ex al quadrato fratto h
17:28:480Annalisa Cesaroni: Ora, sviluppo questo quadrato di un binomio X al quadrato più 2 h x più H al quadrato, meno x al quadrato. Tutto fratto h
17:40:430Annalisa Cesaroni: x al quadrato se ne va con x al quadrato
17:43:920Annalisa Cesaroni: e qua. E vedete che c'ho questo H che lo posso raccogliere a fattor comune.
17:49:490Annalisa Cesaroni: Quindi quello diventa il limite peracca che tende a 0 di
17:54:590Annalisa Cesaroni: H, che moltiplica 2 più No 2 X
18:01:450Annalisa Cesaroni: più H sottofratto H
18:05:470Annalisa Cesaroni: Questo H. Lo mando via.
18:07:700Annalisa Cesaroni: si semplifica
18:09:710Annalisa Cesaroni: e quanto viene questo limite, per Aca che tende a 0 di 2 H è 2 : 0 , cioè 2 x.
18:19:210Annalisa Cesaroni: Che cosa abbiamo mostrato che la derivata di X al quadrato è 2 x, ok? E via. Così su tutti i polinomi, su tutte le potenze. In realtà, se 1 conosce la formula del binomio di Newtor può calcolare la derivata se 1 non la conosce, non importa, importante è sapere che ci sono dei metodi algebrici che ci permettono di calcolarla della derivata
18:43:570Annalisa Cesaroni: che si può vedere in generale
18:51:960Annalisa Cesaroni: in generale.
18:54:50Annalisa Cesaroni: questo stesso argomento, quindi si generalizza.
18:57:470Annalisa Cesaroni: Ok? Quindi la derivata, la derivata di se se Fdx è uguale a X quadro. La funzione derivata di Fdx è 2 Xx. Questo abbiamo dimostrato no.
19:09:760Annalisa Cesaroni: in generale.
19:11:370Annalisa Cesaroni: in generale.
19:13:230Annalisa Cesaroni: se F di X è uguale a X a Alfa, per un qualche Alfa
19:20:620Annalisa Cesaroni: E si può mostrare che F primo di X è uguale A allora
19:28:760Annalisa Cesaroni: è Fed alfa. Facciamo i vari casi. 1 : Se Alpha è maggiore uguale
19:40:550Annalisa Cesaroni: 0
19:42:970Annalisa Cesaroni: F di Se è come dominio il dominio di il dominio della nostra funzione è tutto R e F primo di x. Lo posso scrivere come Alfa per X Al Alfa, meno 1
19:59:390Annalisa Cesaroni: maggior uguale di 1 , facciamo Alpha, maggiore uguale di 1
20:16:120Annalisa Cesaroni: è il dominio della derivata.
20:20:860Annalisa Cesaroni: E il dominio di primo è anche questo uguale ad er
20:24:620Annalisa Cesaroni: perché, vedete, abbiamo che Alfa meno 1 è ancora maggior uguale di 0 . Quindi
20:29:410Annalisa Cesaroni: per qualsiasi X sia positivo o negativo o nullo. Ok? E vedete che i 2 casi che abbiamo visto rientrano in questo, perché se alza è uguale. Abbiamo
20:45:540Annalisa Cesaroni: se Alfa uguale 2 , abbiamo 2 per x alla 2 , meno 1 ,
20:50:290Annalisa Cesaroni: 1 , quindi 2 X, Ok?
20:54:970Annalisa Cesaroni: E poi Che altro posso dire invece che 2
21:02:40Annalisa Cesaroni: Alfa è minore di 1 ,
21:05:930Annalisa Cesaroni: facciamo così. Facciamo 3 casi: se Alfa è maggiore uguale di 0 è minore di 1 .
21:23:980Annalisa Cesaroni: Allora, il dominio di F, è tutto r, lo stesso. Il dominio di F primo sarà R: meno 0 in generale e F primo di X. Sarà anche questa Alpha Xala Alfa, meno 1 ,
21:39:220Annalisa Cesaroni: perché devo togliere nel dominio Ds e Ds: Primo, devo togliere lo 0 , perché questa volta alfa almeno 1 diventa negativo. No?
21:49:290Annalisa Cesaroni: Quindi sto dicendo che la formula per la derivata di X Alfa è sempre la stessa. La formula della derivata di X Alfa è sempre alta per X alfabeuno. Sempre il problema è capire dov'è il dominio dove posso definirla sta derivata. Ok.
22:05:730Annalisa Cesaroni: Se Alfa è più piccola di 1 , i salaalfa meno 1
22:11:290Annalisa Cesaroni: esempio. Esempio. Vediamo
22:16:430Annalisa Cesaroni: F di X uguale radice di X, ma no radice cubic. Facciamo così. La dice Cubica di X, così
22:24:880Annalisa Cesaroni: il dominio è scritto
22:30:290Annalisa Cesaroni: ho scritto sbagliato qua,
22:35:770Annalisa Cesaroni: Scriviamo così
22:39:440Annalisa Cesaroni: allora
22:41:900Annalisa Cesaroni: il dominio della derivata sarà il dominio, di quella di partenza meno 0 . Ecco, questa è la cosa giusta da scrivere.
22:49:810Annalisa Cesaroni: Perché, per esempio, se io prendo fdi X uguale radice di X, chi è il dominio della nostra funzione è 0 , più infinito.
23:00:240Annalisa Cesaroni: F: Primo, chissà, questa si chiama. Si scrive come Fd Hicks e sarebbe X alla un menzo no?
23:08:00Annalisa Cesaroni: Allora, il dominio è 0 , più infinito. E F, primo di Higgs a parte, e quindi con Alfa, uguale a un mezzo
23:17:40Annalisa Cesaroni: F primo di X, che cosa sarà sarà un mezzo X alla un mezzo meno 1 ok?
23:24:170Annalisa Cesaroni: Alfa è uguale un mezzo. Ho scritto 1 fratto x, un mezzo.
23:31:460Annalisa Cesaroni: un mezzo X sal un mezzo, meno 1 no. La derivata è sempre
23:36:310Annalisa Cesaroni: per X alla Alfa, meno 1 Ok.
23:39:920Annalisa Cesaroni: E che cos'è? Questo è un mezzo X alla
23:47:780Annalisa Cesaroni: a meno un mezzo
23:50:620Annalisa Cesaroni: vi
23:52:270Annalisa Cesaroni: un mezzo X alla almeno un mezzo. Ma questo. Che cos'è un mezzo? 1 fratto radice di X,
23:58:290Annalisa Cesaroni: e vedete che il dominio della derivata in questo caso è 0 più infinito. 0 , escluso.
24:04:560Annalisa Cesaroni: Sto andando sotto di sotto sto passando X finisce al denominatore.
24:13:410Annalisa Cesaroni: E così anche nel caso, per esempio, in cui ci avessi Xala un terzo. Se derivare quant'è la derivata di Xa, un terzo F di X uguale Xala, un terzo. Il suo dominio in questo caso è tutto. R. F primo di X sarà
24:29:910Annalisa Cesaroni: Alpha per Ixala, un terzo meno 1 , quindi Alfa, per Ixsala Alpha, meno 1 la derivata. Se prendo X alla Alpha F Dix, uguale xa alpha derivata è sempre Alpha per Ixal Alpha, meno 1 . Questo sarebbe un terzo per xalla
24:49:170Annalisa Cesaroni: Allora questo quant'è un terzo meno 1 quanto fa meno 2 terzi.
24:57:810Annalisa Cesaroni: Quindi questo sarebbe un terzo per 1 fratto x a 2 terzi.
25:02:980Annalisa Cesaroni: Ok, Che sarebbe cosa Un terzo per 1 fratto radice Cubicat di X al quadrato
25:12:210Annalisa Cesaroni: dominio di questa funzione. Qual è è R meno 0 ? In questo caso
25:19:20Annalisa Cesaroni: siamo partiti dal dominio r e devo togliere R: meno 0 .
25:23:360Annalisa Cesaroni: Devo togliere 0 , perché sono finita su. Se invece Alfa è minore di 0
25:30:460Annalisa Cesaroni: F di X uguale, 1 fra Twicks, Alph e no, 1 fratto X Alpha
25:38:540Annalisa Cesaroni: a dominio
25:44:160Annalisa Cesaroni: ha un certo dominio R meno 0 oppure dipenderà da come ha fatto questa Alfa e di nuovo F primo di X. Sarà uguale a Alpha per X All Alfa, meno 1 . Però X diverso da 0 . Ovviamente, per Xylella
25:57:760Annalisa Cesaroni: di nuovo, qua, se questo c'è il dominio, il dominio sarà di
26:06:480Annalisa Cesaroni: il dominio, sarà lo stesso. In questo caso.
26:10:20Annalisa Cesaroni: non voglio scrivere il dominio x diverso da 0 perché, per esempio, per Alfa uguale a meno un mezzo. Questo non è il dominio diverso da 0 . È dominio 0 più infinito, per esempio, no.
26:21:560Annalisa Cesaroni: Comunque, in ogni caso, sto dicendo semplicemente che la derivata di X Alfa è sempre Alfa per X Alfa. Almeno 1 , però bisogna stare attenti al caso X uguale a 0
26:31:710Annalisa Cesaroni: potrebbe essere che Xulla 0 debba essere tolto dal dominio della derivata. Ok, se alfa meno 1 diventa negativo o è negativo, perché già partiva negativo. Bisogna togliere izuola 0 dal dominio della
26:44:300Annalisa Cesaroni: Ok?
26:46:160Annalisa Cesaroni: E altri casi di e derivate facili che si possono trovare sono quelle di seno di X e tangente di X. Allora, se fdi su quale seno di X
26:57:750Annalisa Cesaroni: il limite peracca che tende a 0 di seno di h meno seno di X
27:04:890Annalisa Cesaroni: fratto h si riesce a calcolare. Qual è il punto? Il punto è che in questo caso.
27:16:410Annalisa Cesaroni: in questo caso, per calcolare
27:19:990Annalisa Cesaroni: calcolare il
27:27:870Annalisa Cesaroni: Per calcolare questo limite bisogna trovare, bisogna utilizzare le formule di addizione e del seno della della somma di 2 angoli, le formule di addizione delle formule trigonometriche di addizione. Ci sono delle formule che legano senno di Hca, con senno di xenofobaka. Ok.
27:50:340Annalisa Cesaroni: noi non le abbiamo fatte queste formule, ma tramite le forme di addizione.
28:03:360Annalisa Cesaroni: allora la formula di addizione diamo per buona di sapere la formula di addizione che non deve essere saputa.
28:11:740Annalisa Cesaroni: Supponiamo di sapere la formula di addizione, quindi questa supponiamo di saperla. Questa formula è seno di X coseno di H
28:21:740Annalisa Cesaroni: Vi
28:24:690Annalisa Cesaroni: Coseno di x seno di H,
28:28:20Annalisa Cesaroni: meno seno di x, allora la formula di addizione, scusate, la formula di addizione. Qualcuno di voi l'avrà fatta la scuola superiore? Chi non l'ha fatta? Non importa, non verrà mai chiesta una cosa di questo genere. E ci dice che il seno di schiocca si scrive in questo modo qua. Ok? Non la sapete, non importa, non verrà mai chiesta: Ok.
28:48:480Annalisa Cesaroni: Questo, infatti è come domanda scusate, ma c'è un brusio continuo. Non è facile parlare col business continuo dovete, sta zitti,
28:59:40Annalisa Cesaroni: Allora, limite, peraca che tende a 0 . Che cosa faccio? Raccolgo seno di X? E scrivo senno di X che moltiplica coseno di h meno 1 fratto Hk: E poi ciò coseno di X per seno dia h fratto H
29:14:200Annalisa Cesaroni: Ho semplicemente diviso. Ho raccolto qui il seno di Higgs. E poi ho diviso per Hca, e ora ho ottenuto coseno di x per seno di h diviso h ok? La somma di 2 frazioni che hanno lo stesso comune minimo comune e denominatore è la somma, con lo stesso denominatore. Ok, ora applico I e che cosa devo fare qua? Devo applicare il fatto che
29:39:890Annalisa Cesaroni: che tende a 0 se nondiate a fratto H è un limite notevole. Lo conosco, tende a 1
29:45:670Annalisa Cesaroni: e invece per accaca tendenza, cosino di acqua meno 1 fratto, H,
29:50:140Annalisa Cesaroni: un limite che conosco, perché
29:52:780Annalisa Cesaroni: allora io. So che cos'è lodiatta meno 1 fratto acca al quadrato. Tenderebbe a che cosa almeno un mezzo limite notevole. Ora, se questo è H. Io so che moltiplicando se moltiplico e divido per acqua, l'abbiamo fatto il conticino o l'altro giorno, se moltiplico e divido per hcca H
30:13:660Annalisa Cesaroni: tende a 0 o che questo tende a 0 .
30:18:430Annalisa Cesaroni: Questo tende al limite notevole. Meno Un mezzo
30:21:710Annalisa Cesaroni: ho meno un mezzo per 0 il prodotto tende tutto a 0 . Ok, Abbiamo visto che coseno di H meno 1 fratto h tende a 0 grazie al fatto.
30:30:970Annalisa Cesaroni: E quindi. E quindi cosa possiamo dire che questa parte qua attende a 0 e cosa mi rimane? Mi rimane coseno di x per 1 ,
30:40:310Annalisa Cesaroni: quindi la derivata. Se F è il seno di X, la derivata D. F è coseno di x.
30:49:960Annalisa Cesaroni: questo lo diamo Per buono, appunto, non abbiamo. Non abbiamo fatto le formule di addizione, quindi questa cosa non verrà chiesta
30:58:520Annalisa Cesaroni: e, analogamente, lo stesso applicando i limiti notevoli utilizzando la formula di addizione del coseno abbiamo che sef di X è coseno di X. La derivata d F
31:11:470Annalisa Cesaroni: è meno seno di x, quindi senno e coseno. Quando faccio le derivate, si scambiano l'una con l'altra.
31:28:610Annalisa Cesaroni: Ok.
31:30:410Annalisa Cesaroni: Ora queste funzioni. Quindi a questo punto, abbiamo le nostre, abbiamo cominciato a scriverci un po di formule per le derivate delle funzioni elementari e alla Xx come derivate alla X funzione derivata X alfa come funzione derivata alpha per itsala alpha meno 1 ,
31:51:970Annalisa Cesaroni: ovviamente.
32:00:730Annalisa Cesaroni: per X Alfa, almeno 1 eccetera. A Ok: seno. Come è derivata il coseno e coseno come è derivata meno seno Queste cose qui. Ovviamente, 1 all'inizio, non se le ricorda a memoria, però si fa la formula tabellina con le derivate delle funzioni elementari. Tra l'altro, ve l'ho anche scritta all'inizio della sezione sugli esercizi con gli esercizi per su Moodle, trovate un a un file dove ci sono le derivate e le
32:31:340Annalisa Cesaroni: derivate e le in
32:36:670Annalisa Cesaroni: a me
32:38:780Annalisa Cesaroni: va bene e derivate delle funzioni elementari. Poi ci saranno anche le primitive quando faremo gli integrali. Ma insomma, voi guardate solo le derivate.
32:47:630Annalisa Cesaroni: Buongiorno.
32:50:630Annalisa Cesaroni: Quindi adesso man mano, utilizzeremo.
32:59:260Annalisa Cesaroni: utilizzeremo le derivate delle funzioni elementari che più o meno ci calcoliamo con i limiti notevoli e risolvendo i limiti per trovare tutte le derivate di tutte le altre funzioni. E come si fa a a trovare le derivate delle altre funzioni? Beh, si utilizzano delle regole di calcolo, regole di calcolo per le derivate
33:29:50Annalisa Cesaroni: regole di calcolo per le derivate. Primo
33:32:70Annalisa Cesaroni: derivata di F Più G
33:37:840Annalisa Cesaroni: è la derivata di F, più La derivata di G
33:40:780Annalisa Cesaroni: derivata di una somma è la somma delle derivate.
34:00:200Annalisa Cesaroni: La derivata di una somma è la somma delle derivate. E questo è, diciamo, dipende dal fatto che il limite di una somma è uguale. Insomma dei limiti se i limiti sono finiti, Ok, il limite della somma dei rapporti incrementali è vuole la somma dei limiti. Basta che quelli siano finiti
34:17:840Annalisa Cesaroni: 2 :
34:19:110Annalisa Cesaroni: il prodotto.
34:21:630Annalisa Cesaroni: se ho F, per G e ne faccio il prodotto
34:26:340Annalisa Cesaroni: di X per Gheddafi e voglio calcolarmi il prodotto
34:31:170Annalisa Cesaroni: allora. Anche in questo caso, ovviamente, il limite del prodotto vuole prodotto dei limiti. Però attenzione. La derivata non è il limite del prodotto di F per G
34:39:310Annalisa Cesaroni: è il limite del qua stiamo facendo quando facciamo il la derivata di F per Gin. Che cos'è? Questo sarebbe il limite peracca che tende a 0 di F di X. Più hca meno è
34:57:110Annalisa Cesaroni: tutto fratto attacca. Questo non è il limite del prodotto di Frix pluka camminino fdi Extrattoaka per Gilid Shakespeare Oka non è la stessa cosa. Quindi, per quanto riguarda il prodotto, non è vero che il prodotto della derivata delle della derivata di un prodotto uguale al prodotto delle derivate, però è vera questa formula. Allora, se io ho il prodotto di 2 funzioni e ne voglio far la derivata e so calcolar la derivata di ciascuno dei fattori.
35:24:850Annalisa Cesaroni: La derivata di un prodotto è la derivata del primo termine per il secondo non derivato più
35:32:00Annalisa Cesaroni: il primo termine per la derivata del secondo.
35:43:960Annalisa Cesaroni: Quindi vedete, faccio un fattore derivato e l'altro non derivato. Ok, ne faccio la somma.
35:55:380Annalisa Cesaroni: Vi
35:58:330Annalisa Cesaroni: vediamo come si fa ad applicare questa formula. Tutte queste formule si possono dimostrare con tecniche cioè con piccoli trucchetti algebrici. Però
36:08:290Annalisa Cesaroni: mi
36:12:200Annalisa Cesaroni: esempio di applicazione. Se ci abbiamo, per esempio da voler calcolare la derivata di
36:18:680Annalisa Cesaroni: Tx
36:24:450Annalisa Cesaroni: Xala 3 quarti, persino di X
36:27:990Annalisa Cesaroni: derivato.
36:29:640Annalisa Cesaroni: Questo è F e questo è G. Dobbiamo fare la derivata di sala 3 quarti pers seno di X a 3 quarti non derivato per la derivata del seno Dix Scusate, lo stavo scrivendo già per la derivata del seno di X,
36:47:670Annalisa Cesaroni: ora X alla 3 quarti. La derivata di X alla 3 quarti. Che cos'è? Dobbiamo utilizzare? La formula generale che dice che la derivata di Sala Alfa
36:56:640Annalisa Cesaroni: è Alpha per X Alfa, meno 1 . Quindi è 3 quarti per x, la 3 quarti, meno 1
37:05:890Annalisa Cesaroni: seno di x
37:09:220Annalisa Cesaroni: x alla 3 quarti per la derivata del seno che abbiamo detto essere il coseno.
37:16:490Annalisa Cesaroni: La derivata di X alla 3 quarti
37:20:410Annalisa Cesaroni: per seno di x. Viene proprio così. 3 quarti per X alla 3 quarti, meno 1 . Quanto fa fa meno un quarto.
37:28:380Annalisa Cesaroni: sennò di sa più ix a 3 quarti coseno di x. Quand'è Che sarà vera questa cosa? Beh, la funzione di partenza F di X di partenza era Xylella 3 quarti seno Dix, dov'era definita questa funzione?
37:42:420Annalisa Cesaroni: Questa era definita X la 3 quarti. Che cos'è? È radice quarta di Salaterza, pers seno. Di X. Quindi questa funzione aveva come dominio cosa 0 , più infinito
37:54:740Annalisa Cesaroni: è 0 più infinito, perché
37:56:990Annalisa Cesaroni: X è positivo. X alla terza, rimane positivo e deve molestare la radice quarta, cioè bisogna che
38:04:780Annalisa Cesaroni: dato che sala 3 quarti vuol dire X alla terza pe elevato, un quarto e levarono un quarto vuol dire fare la radice quarta No. Allora, adesso 50 , chi sa? La terza è positivo, maggior uguale di 0 , ma X alla terza non tiene il segno di X, perché se e levo alla terza un numero, se è positivo, rimane positivo, 6 negativo rimane negativo.
38:30:120Annalisa Cesaroni: Quindi il dominio della funzione di partenza è 0 più infinito, 0 , incluso, mentre il dominio della funzione derivata, chi sarà 0 , più infinito. Già. Era escluso, perché ovviamente, qua. Alfa era più piccolo di 1 no. E quindi siamo passati sotto abbiamo 1 fratto la dice quarta di Nixo.
38:59:310Annalisa Cesaroni: seno di Radice, quarta dix laterza coseno di X.
39:06:960Annalisa Cesaroni: Ok? Queste sono le prime 2 regole. Terza regola che praticamente è una generalizzazione della della formula del prodotto. Ma va beh, facciamola. La derivata di F di Xx. È Questa
39:24:240Annalisa Cesaroni: la derivata di Fdxstrat Gilix è questa allora, a denominatore non ci sono derivate. C'è solo il denominatore al quadrato
39:35:340Annalisa Cesaroni: e al numeratore. C'è
39:37:390Annalisa Cesaroni: derivata del primo per il secondo, non derivato meno, questa volta col meno. Quindi ho derivata, pergino un derivato meno attenzione, non più come per il prodotto
39:50:700Annalisa Cesaroni: F di X, per G primo di X
39:57:140Annalisa Cesaroni: Vi.
40:00:210Annalisa Cesaroni: 1 non derivato, l'altro derivato sempre invece che far la somma si fa la differenza e si divide per Gheddafis al quadrato
40:11:140Annalisa Cesaroni: è una.
40:18:630Annalisa Cesaroni: E, volendo, spesso 1 può o ricordarsi questa formula qua o utilizzare
40:24:310Annalisa Cesaroni: la forma del prodotto in modo opportuno. Se si sa, la derivata di 1 fatto x-dx, facciamo per esempio questo caso facciamo la derivata di coseno di x-stratto x, derivata ovviamente x diverso da 0 . Qua il dominio Sarà No.
40:40:480Annalisa Cesaroni: Cos'è nodit agrave?
40:59:770Annalisa Cesaroni: La derivata del Coseno è meno seno di X per X.
41:04:760Annalisa Cesaroni: Ahimè, la derivata del coseno è meno seno e La derivata di X è 1 meno 1 coseno di x fratto x al quadrato. Quindi la derivata sarà meno Xx se no meno cosino di X, tutto fratto x.
41:23:210Annalisa Cesaroni: Ovviamente, anche in questo caso X diverso da 0 . Il dominio della derivata
41:31:20Annalisa Cesaroni: ake al quadrato non x.
41:38:60Annalisa Cesaroni: In realtà, qui, volendo avremmo anche Ok, qui abbiamo pensato di applicare questa formula con coseno uguale ad f e xeno, e cioè f uguale a coseno e G di X Ugualex. Ok, Ma potevamo anche applicare l'altra formula, la formula del prodotto Perché potevamo dire così No di X, tratto X derivata è
42:00:940Annalisa Cesaroni: il prodotto tra coseno di X e 1 fratto X derivata, cioè sarebbe il prodotto tra coseno di X e X alla meno 1 ,
42:08:910Annalisa Cesaroni: ok? Quindi 1 . Poteva anche dire
42:13:320Annalisa Cesaroni: 2 . Applicare la formula 2
42:16:540Annalisa Cesaroni: e dire Questo è derivata del coseno di X per X alla meno 1 , non derivato più
42:23:910Annalisa Cesaroni: coseno di X per derivata di X meno 1 ,
42:28:10Annalisa Cesaroni: cioè meno seno dix per X alla meno 1 , che sarebbe 1 fratto X. Possiamo segnarcelo. E poi più coseno di x. Per che cosa? Per la derivata dix Alla Meno, 1 , la derivata di 1 frattoìx è la derivata di X alla meno 1 cioè Dixla Alfa, con Alfa, uguale a meno 1 . Quant'è sta derivata, 1 fratto Alfa meno 1 , quindi meno 1 meno 1 per x all'a meno 1 , meno 1
42:56:750Annalisa Cesaroni: cioè meno seno di X per 1 fratto x. Poi qua ci avrei meno meno 1 fa meno 2
43:06:90Annalisa Cesaroni: meno cosino di x
43:10:150Annalisa Cesaroni: fratto 2 .
43:18:210Annalisa Cesaroni: Dov'è che ho sbagliato qua
43:24:400Annalisa Cesaroni: alfa meno 1 Se
43:29:470Annalisa Cesaroni: 7 or sono.
43:35:800Annalisa Cesaroni: cosa ho fatto, Ho sbagliato qualcosa.
43:40:500Annalisa Cesaroni: Ho sbagliato qualche
43:44:360Annalisa Cesaroni: posino di x, meno senno di X per 1 tratto coseno di X
43:52:70Annalisa Cesaroni: derivata di X alla meno 1
44:09:00Annalisa Cesaroni: meno derivata di X per
44:19:390Annalisa Cesaroni: Ah, scusate, non è 1 fatto alpha, meno 1 sì, scusate, 1 fratto meno. 1 . Allora, la derivata di X Alfa è alfa Hixala alfa meno 1 . Ecco, ho sbagliato questo.
44:34:180Annalisa Cesaroni: non stavo applicando bene. La formula no è meno 1
44:40:920Annalisa Cesaroni: meno 1 x alla meno 2 . Ecco qua. Almeno 2 meno seno di X per 1 fratto X meno cosino di X Frat per 1 fratix quadro che, dando il minimo comune multiplix quadro, viene meno xenofobia, x meno coseno di x.
44:57:350Annalisa Cesaroni: e avevo sbagliato scusate, x alla meno 1 derivata. Quant'è allora la derivata di x-alfa è Alpha xal alpha, meno 1 qui alfa
45:08:590Annalisa Cesaroni: Devo applicare questa formula per alfa uguale a meno 1
45:12:390Annalisa Cesaroni: uguale a meno 1 . Quindi viene meno 1 per x alla meno 1 , meno 1 , cioè meno 1 x alla almeno 2 ,
45:21:140Annalisa Cesaroni: meno 1 fratto x al quadrato.
45:24:580Annalisa Cesaroni: La derivata di 1 fratto x.
45:28:390Annalisa Cesaroni: la derivata di 1 fratto x
45:33:950Annalisa Cesaroni: la derivata di 1 fratto X è la derivata di X alla Meno 1 , e quindi rientra in questa casistica. Qua derivata di Sala alfa
45:44:520Annalisa Cesaroni: derivata di Sala Alpha è Alpha X Alfa, Meno 1 . Quindi è meno x alla meno 1 , meno 1 , meno 2 .
45:53:240Annalisa Cesaroni: Quindi Vedete che in questo caso 1 può fare
45:56:800Annalisa Cesaroni: per derivare per calcolarsi. La derivata di coseno di Xx può applicare la forma del prodotto del prodotto tra coseno di X e 1 a fratto X, o applicare la forma del rapporto tra così Novix e X Dipende da che cosa 1 preferisce fare? Ok.
46:12:940Annalisa Cesaroni: quindi formula del rapporto Fdix tra Gheddafi come derivata derivata della numeratore per il denominatore meno numeratore per derivata del denominatore fratto denominatore al quadrato.
46:26:600Annalisa Cesaroni: Ultimo caso, molto molto importante è la derivata di una funzione composta
46:34:170Annalisa Cesaroni: dove siamo? Arrivai 3 , 4 , derivata di una funzione composta F di Gdx derivato. Questa è molto importante come formula derivata di una funzione composta.
46:57:230Annalisa Cesaroni: Allora, che cos'è la derivata della funzione composta? Come si fa. Allora come sarebbe fatta la funzione composta? Noi prendiamo X, ci applichiamo Gheddafi e su questa ci applichiamo. F,
47:09:620Annalisa Cesaroni: Ok, quindi prima applichiamo G e poi applichiamo. F, Prima applichiamo la funzione che è scritta dentro e poi applichiamo la funzione che è scritta fuori
47:21:570Annalisa Cesaroni: prima applichiamo la F e poi applichiamo la G Quando facciamo la derivata. Che cos'è questa derivata, allora si deve fare? Si deve cominciare dalla funzione più esterna, si deve far la derivata della funzione più esterna, Quindi, f, primo, calcolata.
47:39:290Annalisa Cesaroni: calcolata nella funzione più interna lasciata così com'è
47:43:240Annalisa Cesaroni: per per la derivata della funzione più interna.
47:47:890Annalisa Cesaroni: Anche questo anche questo.
47:50:890Annalisa Cesaroni: E si vede come una
47:56:790Annalisa Cesaroni: anche questo si può vedere. Questa formula si può vedere
48:01:130Annalisa Cesaroni: applicando delle opportune manipolazioni algebriche al limite del rapporto incrementale
48:08:750Annalisa Cesaroni: F del Ghef non F per gf composta, G ha come derivata la derivata Df: calcolata in Ghedics per la derivata di G Perché? Questo è vero? Perché abbiamo che il limite peraca che tende a 0 . Questo sarebbe il limite per hca che tende a 0 di Fd.
48:28:160Annalisa Cesaroni: F
48:30:100Annalisa Cesaroni: D. Gd, X,
48:32:630Annalisa Cesaroni: fratto H
48:37:530Annalisa Cesaroni: Allora, io che cosa faccio qua 1 fa così limite peraca che tende a 0 di F di G
48:46:490Annalisa Cesaroni: Dix, più h
48:51:800Annalisa Cesaroni: metto sotto. Perché se non 1 spazio limite per A, che tende a 0 di effe di gigi Dix più H.
48:59:50Annalisa Cesaroni: F di Gdks.
49:01:980Annalisa Cesaroni: E poi l'idea è che si divide per giudix più H, meno gidix, e si moltiplica per Gilix, Più H meno
49:11:980Annalisa Cesaroni: H
49:15:210Annalisa Cesaroni: si fa questo. E allora il limite peraca che tende a 0 di questa cosa. Qui sarebbe la derivata prima di G
49:24:600Annalisa Cesaroni: e il limite di questo
49:27:50Annalisa Cesaroni: il limite di questo si può far vedere che è il limite
49:31:720Annalisa Cesaroni: di F ing-idx.
49:33:820Annalisa Cesaroni: Vi
49:35:390Annalisa Cesaroni: Vi
49:38:760Annalisa Cesaroni: adesso questa questa dimostrazione non verrà richiesta, però tanto per capire perché viene fuori questa cosa, Perché questo viene il limite peracca che tende a 0 , allora
49:50:170Annalisa Cesaroni: questo sarebbe F di Jihadi.
49:54:300Annalisa Cesaroni: x, più H, meno Gidix. Scriviamolo così: meno F di Giedix. Tutto fratto Gibix, più H meno
50:06:770Annalisa Cesaroni: Jihadix, più H
50:09:200Annalisa Cesaroni: meno Gheddafis fratto H.
50:12:340Annalisa Cesaroni: Allora, vedete che allora questo è il limite del rapporto incrementale. Questo tende oggi primo di X. Questo: che cos'è? È il limite della funzione F calcolata in Gd X qua F. Di Gheddafis più questo termine
50:27:150Annalisa Cesaroni: fratto quel termine lino. Quindi se se chiamiamo H primo Jihadix, più H
50:34:70Annalisa Cesaroni: meno Gheddafis
50:36:480Annalisa Cesaroni: questo diventerebbe F di Gdks più a caprimo meno F di Gheddafi
50:44:570Annalisa Cesaroni: Caprino, moralmente. Ok.
50:49:160Annalisa Cesaroni: E quindi questo se A caprino tende a 0 per acqua che tende a 0
50:56:730Annalisa Cesaroni: se G è continua
51:01:530Annalisa Cesaroni: questo, tende ad F primo di Jd X,
51:05:930Annalisa Cesaroni: ok? Cioè, E questo se a catena si accade a 0 . Io vorrei che anche caprino tendesse a 0 . Ok, Ma come si fa a vedere che caprino tende a 0 se a catena a 0 a Caprimo. È Questo qui
51:19:240Annalisa Cesaroni: a catena 0 . Questo tende a Jed X meno Gheddafi, cioè 0 seggi, e continua.
51:24:400Annalisa Cesaroni: Ok, Quindi se G è continua qui, abbiamo Fd Gidix, più acca primo, meno f di Gilix, stratocca. Primo, ch'è esattamente.
51:34:460Annalisa Cesaroni: limite. È esattamente f, primo calcolato in Gd X moltiplicato. Per il questo limite qua.
51:41:500Annalisa Cesaroni: Primo
51:44:90Annalisa Cesaroni: qui si che faccio. Il limite di un prodotto è il prodotto dei visiti.
51:48:890Annalisa Cesaroni: I 2 limiti sono finiti.
51:50:830Annalisa Cesaroni: Qr.
52:01:120Annalisa Cesaroni: Quindi se a che seg continua si vede che questo il limite del rapporto incrementale va a finire al prodotto tra
52:10:360Annalisa Cesaroni: F. I di Gileadks Pergi primo Dick.
52:14:420Annalisa Cesaroni: cioè la derivata del. La composizione derivata della funzione più esterna, calcolata nella funzione più interna, non derivata, non toccata per la derivata della funzione più esterna
52:26:290Annalisa Cesaroni: e più interna Scusa
52:28:570Annalisa Cesaroni: derivata. D. F composto G è derivata Ds funzione più esterna, calcolata nella funzione interna e
52:36:660Annalisa Cesaroni: è derivata di della funzione interna.
52:43:40Annalisa Cesaroni: Questa è, diciamo, la formula di base che ci servirà per fare tutto.
52:50:380Annalisa Cesaroni: Allora è la formula di base che ci servirà più o meno. Per fare tutto, esempio, calcoliamo chi non ha fatto le derivate a scuola o le ha fatte poco. Deve fare un po di esercizio di calcolo delle derivate. Prendete per esempio gli esercizi vari che vi ho messo su moddo e cercate di fare le derivate delle funzioni che compaiono
53:14:100Annalisa Cesaroni: esempio. Prendiamo la funzione F di X uguale A.
53:22:980Annalisa Cesaroni: Scriviamoci così
53:27:270Annalisa Cesaroni: e alla radice di
53:32:350Annalisa Cesaroni: una.
53:35:330Annalisa Cesaroni: anzi e alla radice di 2 X, facciamo così, diciamola semplice e alla radice di duzzo. Ovviamente il dominio di questa funzione è 0 più infinito, perché bisogna che sia ben definito e la radice. No? Allora, questa funzione è una funzione composta.
53:52:210Annalisa Cesaroni: è la funzione più interna e quella la funzione più esterna. Allora, questa è la funzione che manda X in radice di 2 X, e poi ci applica, e alla radice di dueit.
54:02:250Annalisa Cesaroni: Quindi la funzione più esterna è l'esponenziale. Ok, la funzione più interna è la radice.
54:08:510Annalisa Cesaroni: Allora, qual è la derivata di
54:12:190Annalisa Cesaroni: E. Ha la radice di 2 X?
54:15:210Annalisa Cesaroni: Dobbiamo calcolare la derivata di esponenziale.
54:19:330Annalisa Cesaroni: Quindi dovremmo fare
54:22:830Annalisa Cesaroni: derivata della funzione esponenziale.
54:26:130Annalisa Cesaroni: Scriviamola a parole
54:28:340Annalisa Cesaroni: derivata della funzione esponenziale
54:33:330Annalisa Cesaroni: calcolata
54:35:940Annalisa Cesaroni: in Radice Dwaks
54:38:640Annalisa Cesaroni: moltiplicato
54:42:880Annalisa Cesaroni: derivata
54:45:10Annalisa Cesaroni: della funzione
54:48:700Annalisa Cesaroni: radice di 2 X.
54:51:450Annalisa Cesaroni: Ok, perché la funzione più esterna è la funzione esponenziale. L'ultima che applico è la funzione esponenziale quindi è derivata della funzione più esterna, cioè della funzione esponenziale calcolata nella funzione interna, che è fissata Radicildwicks, moltiplicato moltiplicato per la derivata della funzione più interna, cioè la derivata della funzione radice di 2 x
55:15:590Annalisa Cesaroni: vi
55:22:390Annalisa Cesaroni: Allora calcoliamoci Sta derivata. E alla radice di 2 X derivata.
55:28:440Annalisa Cesaroni: Cos'è la derivata della funzione esponenziale? La derivata della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa. Quindi e
55:38:170Annalisa Cesaroni: calcolato in Radice di 2 X.
55:40:630Annalisa Cesaroni: Questo è la derivata.
55:43:550Annalisa Cesaroni: Questa è la derivata della funzione esponenziale
55:53:920Annalisa Cesaroni: calcolata
55:55:900Annalisa Cesaroni: in radice di 2 x.
55:59:10Annalisa Cesaroni: E poi qua devo farmi la derivata di radici di 2 x.
56:04:260Annalisa Cesaroni: Vediamo un attimo. Quant'è la derivata di radice di Waiks?
56:10:400Annalisa Cesaroni: Allora Questa sarebbe la derivata di radici di 2 per radice di X.
56:17:260Annalisa Cesaroni: Volendo, quindi è derivata di radice di 2 . Per dice di X, non derivato più radice, di 2 per derivata di radice di X.
56:26:580Annalisa Cesaroni: Ora.
56:29:280Annalisa Cesaroni: quant'è la derivata di radice di 2 radici? Di 2 o un numero è una costante quindi radici di 2
56:35:580Annalisa Cesaroni: è una costante, cioè la funzione costante
56:39:980Annalisa Cesaroni: è la funzione costante.
56:44:610Annalisa Cesaroni: È la derivata di una funzione costante.
56:47:960Annalisa Cesaroni: Quando faccio il limite per A, che tende a 0 di C. Meno C, fratto H
56:53:930Annalisa Cesaroni: cioè di radice di 2
56:58:80Annalisa Cesaroni: meno radice di 2 fratto H Questo è il limite peraca che tende a 0 di 0 fratto h che è 0 . Non è neanche una, non è una forma indeterminata, questa perché è la funzione che vale sempre 0 . Ok? Prima prima di calcolare il limite, questa funzione qua è sempre 0 ,
57:15:720Annalisa Cesaroni: ok?
57:17:520Annalisa Cesaroni: Per H fissato qualsiasi. Questa funzione è 0 .
57:21:960Annalisa Cesaroni: Il limite della funzione che vale sempre 0 . È 0 .
57:26:310Annalisa Cesaroni: Quindi questo limite è 0 .
57:28:660Annalisa Cesaroni: Qualsiasi funzione costante. Ha derivato a 0 perché radice di 2 radici di 2 è la calcolo in X La calcolo. Mix Biock è sempre radice di 2 è una costante.
57:39:990Annalisa Cesaroni: E questo quant'è? A questo punto questo è radice di 2 per derivata di radice Vix. Che cos'è? Riscriviamo l'ora dice di 2 per derivata Dixala, un mezzo che sarebbe cosa
57:53:780Annalisa Cesaroni: radice di 2 . Per Allora, qui dobbiamo sempre applicare la nostra formuletta con Alfa uguale un mezzo, quindi un mezzo per X alla un mezzo, meno 1
58:04:410Annalisa Cesaroni: radice di 2 fratto 2 per 1 fratto radice di X
58:09:970Annalisa Cesaroni: perché X alla un mezzo, meno 1 sarebbe x alla meno, un mezzo cioè sarebbe 1 fratto hitch un mezzo, cioè 1 fratto radice di X.
58:19:210Annalisa Cesaroni: Quindi, tornando a noi, la derivata di radice e alla radice di 2 X quant'è
58:25:900Annalisa Cesaroni: e alla radice di 2 X. Per
58:31:70Annalisa Cesaroni: che cosa? Per radice di 2 tratto 2 per 1 fratto radice di X.
58:37:780Annalisa Cesaroni: Questa è la derivata del termine più esterno della funzione più intera esterna. Questa è la derivata della funzione più interna.
58:53:970Annalisa Cesaroni: e bisogna che 1 faccia un po di esercizi su queste cose qui, perché in generale è complicato, altrimenti e vediamone. Un altro di esempio.
59:05:210Annalisa Cesaroni: facciamo la derivata di
59:09:370Annalisa Cesaroni: coseno di x quadro, più è alla X meno
59:14:730Annalisa Cesaroni: 1 fra Pix quadro
59:17:760Annalisa Cesaroni: Coseno di tutto questo? Fed X è questa.
59:21:620Annalisa Cesaroni: il dominio sarà x diverso da 0 .
59:29:240Annalisa Cesaroni: Allora quant'è la derivata di Df.
59:32:170Annalisa Cesaroni: Allora, quant'è la funzione più estetica? Qual è la funzione più esterna? È il coseno.
59:36:820Annalisa Cesaroni: Quindi devo fare la derivata del coseno
59:40:360Annalisa Cesaroni: calcolata nel suo argomento fisso.
59:45:260Annalisa Cesaroni: La derivata del coseno è meno seno quindi è meno seno.
59:51:30Annalisa Cesaroni: Quindi questa è la derivata del coseno, però la devo calcolare, non in X, ma nel suo argomento, cioè in X, al quadrato, più è alla Xx meno 1 fra X quadro. E poi devo moltiplicare per la derivata dell'argomento
00:10:190Annalisa Cesaroni: la derivata dell'argomento.
00:12:320Annalisa Cesaroni: quant'è questa derivata allora è meno seno Dix al quadrato più alla x meno 1 fratix quadro. Per
00:20:910Annalisa Cesaroni: allora devo far la derivata dix al quadrato. Più la derivata di Elena X
00:26:390Annalisa Cesaroni: è derivata
00:30:10Annalisa Cesaroni: più la derivata di me, anzi, meno scusate, teniamocelo fuori quel meno che tanto meno la derivata di 1 tra tix quadro derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate, anche derivata da una differenza uguale. A differenza delle derivate.
00:44:870Annalisa Cesaroni: E quindi, cosa abbiamo meno seno di X quadro, più alla X, meno 1 fra tix quadro.
00:51:470Annalisa Cesaroni: Tutto che moltiplica Allora, qua cosa viene
00:56:300Annalisa Cesaroni: questo l'argomento del seno? Sarà solo questo, Questo poi è moltiplicato, esterno derivata di X al quadrato. Quant'è
01:04:370Annalisa Cesaroni: è derivata di X al quadrato e 2 x
01:07:720Annalisa Cesaroni: derivata di eacute.
01:19:640Annalisa Cesaroni: Quindi devo applicar La derivata Dix alpha derivata di X Alfa.
01:25:640Annalisa Cesaroni: con Alfa uguale a meno 2 ,
01:28:310Annalisa Cesaroni: Quindi è
01:30:300Annalisa Cesaroni: meno 2
01:31:820Annalisa Cesaroni: x alla meno 2 , meno 1
01:39:320Annalisa Cesaroni: me. Questo è meno 2 che sarebbe l'alfano. Alpha
01:44:520Annalisa Cesaroni: X alla Alfa. Meno 1
01:47:790Annalisa Cesaroni: meno, invece, era il meno che c'era là e non ho portato.
01:53:150Annalisa Cesaroni: E quindi quanto viene questo meno seno di X al quadrato, più è alla X meno 1 fra pix quadro che moltiplica
02:02:140Annalisa Cesaroni: 2 x, più è alla X. Poi meno per meno fa più
02:07:360Annalisa Cesaroni: più 2
02:08:910Annalisa Cesaroni: x alla meno 3 . Lo posso scrivere come 1 fratto X alla terza
02:15:590Annalisa Cesaroni: 1 fratto X. Alla terza.
02:32:850Annalisa Cesaroni: facciamo 5 minuti di pausa
02:37:500Annalisa Cesaroni: con
02:46:530Annalisa Cesaroni: cominciamo.
02:49:340Annalisa Cesaroni: Allora,
02:52:840Annalisa Cesaroni: Ma allora è dalla formula della derivata della funzione composta, tiriamo fuori una formula molto importante per il calcolo della derivata della funzione inversa
03:06:540Annalisa Cesaroni: regola di calcolo della funzione inversa.
03:11:320Annalisa Cesaroni: Se la derivata.
03:13:400Annalisa Cesaroni: la cosa
03:16:310Annalisa Cesaroni: della funzione inversa
03:26:200Annalisa Cesaroni: regola di calcolo della derivata della funzione inversa, allora
03:33:80Annalisa Cesaroni: qual è il punto? Allora sappiamo che
03:37:570Annalisa Cesaroni: F, meno 1 di X è la funzione inversa di X. Df: Scusate, è la funzione inversa di F, meno. 1 , Ricordiamoci sempre che non è 1 fratto F, è la funzione inversa.
03:53:30Annalisa Cesaroni: F Si
03:56:240Annalisa Cesaroni: f meno 1 composto F di X è uguale a X per ogni x appartenente al dominio della funzione est e equivalentemente F Df: Meno 1 di X, è uguale a X per ogni X appartenente al dominio di F meno 1 .
04:12:150Annalisa Cesaroni: Ovviamente il domini cambiano allora
04:19:870Annalisa Cesaroni: allora noi vogliamo applicare.
04:24:100Annalisa Cesaroni: Vogliamo utilizzare questa formula qui per calcolarci la derivata della funzione inversa. Conoscendo la derivata della funzione. F Ok, allora perché qual è l'idea? L'idea è che
04:41:80Annalisa Cesaroni: abbiamo che per ogni X appartenente al dominio della nostra funzione. Quindi per ogni X appartenente al dominio d. F,
04:47:920Annalisa Cesaroni: F, a meno 1 composto F di X,
04:53:650Annalisa Cesaroni: è uguale a X. Quindi che cosa abbiamo? Abbiamo? Che la derivata di questa funzione qua sarà uguale alla derivata di questa Se 2 funzioni sono uguali, anche la loro derivata sarà la stessa in tutti i punti in cui la derivata si possa calcolare
05:11:230Annalisa Cesaroni: F. Meno. 1 Df di X è uguale a X.
05:16:110Annalisa Cesaroni: Quindi hanno la stessa derivata
05:18:650Annalisa Cesaroni: 2 funzioni.
05:20:480Annalisa Cesaroni: cioè le 2 funzioni F, meno 1 , F ed X
05:24:670Annalisa Cesaroni: e X hanno la stessa derivata. Dato che sono la stessa funzione.
05:32:770Annalisa Cesaroni: è F meno 1 , è composto, è Fedy Coincide con la funzione X. Hanno la stessa derivata la derivata della funzione X, la derivata di X. Che cos'è? È 1 ? Perché sarebbe la derivata di
05:46:940Annalisa Cesaroni: con Alfa uguale a 1
05:49:380Annalisa Cesaroni: con alfa uguale 1 Alfa, cioè 1 per X alla 1 meno 1 : 0 X alla 0 e uguale a 1 . No? La derivata di X è 1 . L'abbiamo anche calcolato. Quindi abbiamo che la derivata di F meno 1 F di X
06:04:640Annalisa Cesaroni: è uguale a 1 .
06:07:840Annalisa Cesaroni: Ok? Per ogni X in cui del dominio della funzione F in cui si possa calcolare queste foto Ma adesso. Qui applichiamo la regola di calcolo della funzione composta. Perché, vedete.
06:19:490Annalisa Cesaroni: applico.
06:27:260Annalisa Cesaroni: Forse è meglio utilizzare quell'altra. Va là,
06:31:900Annalisa Cesaroni: Se no, Si, fa, va bene. Anche questa, però facciamolo. Al contrario.
06:39:790Annalisa Cesaroni: ero sempre uguale la stessa cosa.
06:42:520Annalisa Cesaroni: F
06:43:700Annalisa Cesaroni: Df: Meno 1 per ogni 10 a meno 1 .
06:48:440Annalisa Cesaroni: Ok.
06:49:740Annalisa Cesaroni: facciamo quest'altra.
06:55:150Annalisa Cesaroni: Ok, applichiamo questa che è meglio.
07:00:160Annalisa Cesaroni: Fdf: A meno 1 di X,
07:07:90Annalisa Cesaroni: ovviamente. Quello che cambia è che devo prendere X che appartiene al dominio di essere meno 1
07:16:610Annalisa Cesaroni: Ok, allora qua, devo applicare la funzione con la regola della derivata della funzione composta. Qual è la funzione più esterna In questa composizione, la funzione più esterna F,
07:28:220Annalisa Cesaroni: la funzione più interna è F meno 1 ,
07:31:900Annalisa Cesaroni: allora la de la regola del calcolo delle funzioni, la regola del calcolo
07:37:550Annalisa Cesaroni: della derivata della funzione composta
07:43:630Annalisa Cesaroni: da che cosa, Da che questo è derivata, di F,
07:48:770Annalisa Cesaroni: calcolata dove in esse meno 1
07:52:990Annalisa Cesaroni: di X
07:54:950Annalisa Cesaroni: per
07:56:810Annalisa Cesaroni: derivata di F, meno 1 di x
08:00:90Annalisa Cesaroni: uguale a 1
08:01:910Annalisa Cesaroni: derivata della funzione più esterna. La derivata di esse calcolata nella funzione interna. F. Primo, meno 1 scusate per derivata della funzione più interna che è quello che voglio calcolarmi. Ok?
08:18:160Annalisa Cesaroni: Quindi ho la derivata della funzione composta. F, composto F meno 1 è la derivata della funzione più esterna che est calcolata nella funzione nella funzione interna. Non che non si tocca per prodotto per la derivata della funzione più interna.
08:34:930Annalisa Cesaroni: Quindi ho che F primo Df: A meno 1 di X e F, meno 1 primo
08:42:490Annalisa Cesaroni: è uguale a 1 .
08:44:149Annalisa Cesaroni: Cosa vuol dire che dividendo da entrambe le parti, io voglio trovarmi questa: No, La derivata di esse, almeno 1 : la derivata di esserne 1 . Che cosa sarà
08:54:00Annalisa Cesaroni: 1 fratto alla derivata? Df: calcolata in essere meno 1 di X.
09:00:950Annalisa Cesaroni: La derivata della funzione inversa. D. F è 1 fratto la derivata di F, ma non calcolata in x
09:09:990Annalisa Cesaroni: calcolata in esse meno 1 di x.
09:14:80Annalisa Cesaroni: La derivata di F meno 1 è 1 fra la derivata di F
09:20:779Annalisa Cesaroni: 1 non é 1 fratto. S. Elyn è l'inversa di S.
09:26:390Annalisa Cesaroni: Vediamo un esempio.
09:29:960Annalisa Cesaroni: Un esempio: quali sono. Qual è la coppia più facile possibile di F, meno 1 esponenziale e logarismo. Ok.
09:40:569Annalisa Cesaroni: facciamo un esempio. Questa è la regola quindi del calcolo della funzione della derivata della funzione inversa esempio, fdi X uguale e alla X, Chi è F. A meno 1 di X
09:52:40Annalisa Cesaroni: è logaritmo di x
09:53:990Annalisa Cesaroni: 6 .
09:57:550Annalisa Cesaroni: Voglio calcolarmi la derivata di logaritmo di X,
10:02:720Annalisa Cesaroni: la derivata di logaritmo di X. Dobbiamo applicare quella formula derivata di F meno 1 di X e 1 fratto derivata D F, calcolata in hi in F meno 1 di X.
10:19:810Annalisa Cesaroni: Allora F a meno 1 è logaritmo di X derivata del logaritmo di Xe.
10:25:30Annalisa Cesaroni: 1 fratto
10:26:690Annalisa Cesaroni: devo far la derivata di Ff Ef e alla X chi è la derivata di Elena X e e alla X stessa. Ok? Quindi qua devo mettere. E ma non. E alla X
10:40:930Annalisa Cesaroni: è la derivata calcolata in esse. Meno. 1 di X
10:45:750Annalisa Cesaroni: è la derivata dell'esponenziale calcolata non in Xx, non inx qua, Ma devo metterci. Questa quantità qui
10:54:480Annalisa Cesaroni: sarebbe e di esse meno 1 di X chi è F, meno 1 di sarebbe e calcolato in eff meno 1 di x volendo. Ma adesso mi devo ricordare chi è fe meno 1 di Schiaffe, meno 1 di X e logaritmo Dix. Quindi questo è 1 fratto, e alla X alla logaritmo di X
11:12:700Annalisa Cesaroni: è F. Meno 1 è logaritmo di X quant'è e alla logaritmo di X
11:18:380Annalisa Cesaroni: alla logaritmo reeps
11:20:920Annalisa Cesaroni: X.
11:22:20Annalisa Cesaroni: Quindi la derivata del logaritmo è 1 fratto X, ovviamente, e 1 fratto, il Logarismo di Xa. Come dominio eravamo partiti dal nostro dominio di F, meno 1 che è 0 più infinito. E il dominio qui della derivata del logoritmo è sempre il
11:40:60Annalisa Cesaroni: la derivata del logoritmo è un vofratto X.
11:43:50Annalisa Cesaroni: Come si fa a dimostrare con la formula di
11:49:70Annalisa Cesaroni: con la formula di passaggio al Quindi è la derivata della funzione inversa. È 1 fra la derivata della funzione non calcolata in x, ma calcolata in essere meno 1 di
12:01:170Annalisa Cesaroni: Quindi facciamo un altro esempio tangente arco-tangente seno arco seno. Questi sono i 3 esempi che potrebbero venir chiesti. Ah Ovviamente questo è un modo per calcolare la derivata del localismo di X 1 Potrebbe anche provare direttamente a fare il limite della porta incrementale.
12:17:890Annalisa Cesaroni: Bene, lo stesso.
12:19:840Annalisa Cesaroni: Un altro modo per calcolare
12:22:740Annalisa Cesaroni: facciamo questo e domani facciamo le altre 2 . Un altro modo per calcolare la derivata del logaritmo
12:28:980Annalisa Cesaroni: logaritmo di X derivata sarebbe fare il limite
12:32:460Annalisa Cesaroni: per H che tende a 0 di logaritmo di X più H, meno logaritmo di X fratto H.
12:40:590Annalisa Cesaroni: Questo sarebbe un altro modo diretto. Ci dimentichiamo che il logarismo è l'inversa dell'esponenziale. E calcoliamo direttamente questo. Come si fa qui a fare la cosa? Si scrive che logaritmo di H si scrive come logaritmo di X, che moltiplica 1 più h a fratto x. Si fa così
12:59:900Annalisa Cesaroni: tanto qua X è sicuramente diverso da 0 perché deve stare nel dominio del logaritmo
13:05:230Annalisa Cesaroni: e poi si applicano le proprietà di logaritmi logarippo del prodotto è la somma dei logaritmi quindi è il logaritmo di X
13:14:950Annalisa Cesaroni: più logaritmo di 1 più h fratto X, proprietà dei logaritmi. Ok? Quindi X più hca lo scrivo come X che moltiplica 1 più h a Fratto X, cosa che posso fare perché X deve stare nel dominio del logaritmo diverso da 0 , quindi maggiore di 0 , sicuramente diverso da 0 . Ora, logaritmo di aper B
13:37:70Annalisa Cesaroni: è logaritmo di A, per lo più logaritmo di B
13:41:100Annalisa Cesaroni: e quindi qua, riscrivo tutto.
13:44:130Annalisa Cesaroni: E questo è limite peracca che tende a 0
13:48:220Annalisa Cesaroni: di logaritmo di x, più logaritmo di 1 più h a fratto X, meno logaritmo di X
13:58:90Annalisa Cesaroni: fratto H
14:02:610Annalisa Cesaroni: lo butto via. E viene Che cosa Il limite peracca che tende a 0
14:09:960Annalisa Cesaroni: un po più
14:12:330Annalisa Cesaroni: il limite peracca che tende a 0
14:15:610Annalisa Cesaroni: di logaritmo di 1 più sarebbe 1 fratto X per Hkam Scriviamocelo così: fratto h No
14:23:990Annalisa Cesaroni: Invece di scrivere H Afratto X. Lo scrivo 1 fratto X per H,
14:28:190Annalisa Cesaroni: Perché questo a questo punto è un limite notevole. Noi sappiamo che il limite
14:34:970Annalisa Cesaroni: per H che tende a 0 di logaritmo di 1 più a per H è uguale a A.
14:43:480Annalisa Cesaroni: Hai.
14:44:920Annalisa Cesaroni: E qui chi è A è 1 fratto X
14:49:80Annalisa Cesaroni: Limite Notevole. Questa quantità qui va è uguale a 1 fratto X.
14:53:570Annalisa Cesaroni: Ca: l'avevamo scritto con la X, Ma invece che scriverlo con la X, possiamo scriverlo con la H. Ok, Il logaritmo di 1 più aperi X. Vuole ad là, no? L'abbiamo visto.
15:05:510Annalisa Cesaroni: E questa è la stessa cosa quando la variabile la chiamo H è quella che va a 0 , e il parametro a è 1 fratto x.
15:13:930Annalisa Cesaroni: Qua non si muove. No, è H che si muove. Quindi 1 , volendo il limite del logari e la derivata del logaritmo. La calcola anche con il limite notevole del logaritmo.
15:27:130Annalisa Cesaroni: sceglie L'altro Forse è più diretto perché l'esponenziale qua bisogna applicare le formule la regola del dei logarismi, il logaritmo di un prodotto uguale alla somma dei logarismi, e poi il limite notevole. Ok. Va bene.
15:47:450Annalisa Cesaroni: vabbè facciamo domani. Facciamo la formula e no, domani, mercoledì è della tangente ercotangente senno arcooseno, e poi andiamo avanti. Mercoledì: sono 3 ore, vero?
16:01:470Annalisa Cesaroni: Ad esempio.