Assistente AI
Trascrizione
00:01:300Annalisa Cesaroni: Ok, Allora, oggi introduciamo una particolare classe di funzioni che si chiamano successioni che sono delle funzioni un po più semplici da studiare e su cui riusciremo a fare qualche conto in più.
00:20:390Annalisa Cesaroni: Allora successioni numeriche.
00:27:430Annalisa Cesaroni: Cos'è una successione numerica? Una successione numerica è una funzione.
00:34:140Annalisa Cesaroni: una successione è una funzione
00:41:720Annalisa Cesaroni: a valori in r
00:45:390Annalisa Cesaroni: valori in r. Significa che la sua immagine, che prende valori iner la sua immagine è un sottoinsieme di r
00:52:220Annalisa Cesaroni: e condominio.
00:56:660Annalisa Cesaroni: l'insieme dei numeri naturali
01:03:950Annalisa Cesaroni: o un sottoinsieme infinito dei numeri naturali
01:09:700Annalisa Cesaroni: infinito
01:12:160Annalisa Cesaroni: di numeri naturali.
01:18:290Annalisa Cesaroni: vi
01:21:90Annalisa Cesaroni: e una successione è una funzione. Questa è la definizione.
01:27:410Annalisa Cesaroni: È una funzione che ha valori in R, cioè
01:31:940Annalisa Cesaroni: i valori che assume sono valori in r in numeri reali.
01:37:380Annalisa Cesaroni: ma ha come dominio
01:40:850Annalisa Cesaroni: o i numeri naturali, o un sottoinsieme di numeri naturali. Esempio
01:45:560Annalisa Cesaroni: esempio F da cu n meno lo 0 .
01:50:510Annalisa Cesaroni: Prendiamo n meno lo 0 . Quindi questo è un sottoinsieme dei numeri naturali infinito, ovviamente, perché prendo 1 , 2 , 3 , 4 , ecc.
01:59:110Annalisa Cesaroni: Che in R. È definita così a ogni n associo
02:04:370Annalisa Cesaroni: radice ennesima di n
02:07:320Annalisa Cesaroni: esempio.
02:10:110Annalisa Cesaroni: Ovviamente per anni uguale a 0 radice 0 esima di 0 non ha senso, no? Allora questa è una funzione tale che Fd 1 è radice, 1 di 1 , Cioè, 1
02:23:830Annalisa Cesaroni: 1 fdi, 2 , è radice quadrata di 2 Ftre è radice cubica di 3
02:33:800Annalisa Cesaroni: F, di 4 è radice, quarta di 4 e via, così
02:38:540Annalisa Cesaroni: che i valori che assume sono
02:42:120Annalisa Cesaroni: numeri reali.
02:43:800Annalisa Cesaroni: naturali.
02:45:310Annalisa Cesaroni: radice di 2 . È un numero reale. Non è un numero naturale.
02:49:740Annalisa Cesaroni: Vi
02:52:610Annalisa Cesaroni: questa si chiama successione. È una funzione che a ogni numero naturale. In questo caso, ogni numero naturale è diverso da 0 , associa un certo valore.
03:03:390Annalisa Cesaroni: Altra successione possibile
03:05:450Annalisa Cesaroni: F è per esempio anche qua da n meno 0
03:09:610Annalisa Cesaroni: in R, fatta così an a associo il reciproco 1 fra toenne.
03:17:440Annalisa Cesaroni: Ok, la funzione che a ogni N si associa il reciproco del numero naturale, ovviamente questa va dai numeri naturali diversi da 0 , altrimenti il reciproco non si definisce.
03:29:990Annalisa Cesaroni: ha i numeri reali, perché 1 fratto M ovviamente, a meno che Enel sia 1 non è naturale, Ok.
03:38:810Annalisa Cesaroni: Ora, Ora, quindi
03:41:910Annalisa Cesaroni: le successioni, le successioni o le potrei indicare anche loro. Con la terminologia Fdm, ecc. Però di solito, siccome
03:52:480Annalisa Cesaroni: diciamo per le successioni.
03:58:460Annalisa Cesaroni: che cosa facciamo noi per le funzioni reali di variabile reale, noi mettiamo F da
04:04:490Annalisa Cesaroni: come facciamo a indicare una funzione reale di variabile reale F da un certo dominio in R in R. Come la mettiamo, diciamo, Fdi X uguale un certo valore, no?
04:15:740Annalisa Cesaroni: Diciamo in che modo Xynr viene mandato in Edix, che ne so, è Fed X uguale, Logaritmo Dix Al quadrato più 1 che ne so una cosa così no? Questo è il modo che noi abbiamo di indicare le funzioni reali di variabile reale per le successioni per le successioni, Che cosa dovremmo fare? Dovremo indicare F Dienne.
04:38:760Annalisa Cesaroni: perenne appartenente ad Enne, Dovremo indicare Fdn scrivere Fdm uguale una certa cosa. Ok? Invece di utilizzare la terminologia, la terminologia Fdm: Utilizziamo la terminologia adn
04:53:150Annalisa Cesaroni: le successioni.
04:58:30Annalisa Cesaroni: Indicò,
05:00:130Annalisa Cesaroni: ed è semplicemente una nozione di Cioè, è semplicemente una
05:06:590Annalisa Cesaroni: un modo per indicarle, non è niente di particolare, no. Invece di scrivere Fdm dico Adn, cosa dico: La successione Adn è uguale 1 su
05:17:570Annalisa Cesaroni: adn scritta così uguale 1 su en è la successione
05:24:720Annalisa Cesaroni: che a ogni n
05:27:30Annalisa Cesaroni: associa
05:29:130Annalisa Cesaroni: 1 suenne
05:30:610Annalisa Cesaroni: ok Quindi in generale, invece di mettere è semplicemente una questione di modo di indicare le cose invece di scrivere Fdn
05:41:340Annalisa Cesaroni: invece di scrivere Fdm: dirò
05:44:630Annalisa Cesaroni: N, Quindi
05:46:390Annalisa Cesaroni: n sarà il
05:49:940Annalisa Cesaroni: l'argomento Adn un modo per indica, cioè semplicemente un modo più veloce. Invece di scrivere f per ricordarmi che queste sono funzioni un po particolari.
06:01:160Annalisa Cesaroni: Quindi quando scrivo Adn successione generica, sto intendendo il valore. Quindi Adn, tipicamente, se scrivo ad n
06:13:470Annalisa Cesaroni: intendo il valore
06:17:890Annalisa Cesaroni: nel e in
06:22:640Annalisa Cesaroni: il valore reale
06:25:650Annalisa Cesaroni: della successione
06:28:930Annalisa Cesaroni: che a e ne associa il valore a Vienna.
06:33:310Annalisa Cesaroni: nel punto
06:35:450Annalisa Cesaroni: n.
06:37:850Annalisa Cesaroni: Adn, è come si scrive invece di scrivere Fdn: Scrivo Adn per le successioni, Ok, è semplicemente la stessa cosa.
06:52:490Annalisa Cesaroni: Potrei scrivere anche f di enel
06:56:700Annalisa Cesaroni: viene utilizzata Quest'altro modo di indicarle, ma è semplicemente un modo di indicarle.
07:07:590Annalisa Cesaroni: è semplicemente un modo di indicarle, però loro sono funzioni esattamente come tutte le altre, cioè sono funzioni da un sottoinsieme di numeri reali, che è in particolare un sottoinsieme di numeri naturali, che è anche un sottoinsieme di numeri reali a
07:22:810Annalisa Cesaroni: R. Quindi anche per le successioni valgono le stesse cose che ho detto Per le funzioni, Cioè, è possibile dare la definizione di limite. Ok, allora.
07:35:440Annalisa Cesaroni: come faccio a dare la definizione di limite per la successione.
07:39:590Annalisa Cesaroni: allora? Dove si definiscono i limiti per una funzione, per una funzione, calcoli e limiti, definisco per F da di finerre a valori. In r posso calcolare i limiti dove
07:53:680Annalisa Cesaroni: i limiti
07:56:350Annalisa Cesaroni: 1
07:57:580Annalisa Cesaroni: nei punti X 0
08:00:470Annalisa Cesaroni: che siano, di accumulazione per il dominio
08:07:650Annalisa Cesaroni: 2
08:08:790Annalisa Cesaroni: per x che tende a meno infinito Se il dominio è illimitato inferiormente
08:16:940Annalisa Cesaroni: 3 per X che tende a più infinito Sed è illimitato.
08:23:610Annalisa Cesaroni: questi sono i limiti che calcolo per una funzione No.
08:28:150Annalisa Cesaroni: Calcolo i limiti nei punti. Se è possibile calcolarli, però, ha senso parlare di limiti nei punti di accumulazione del dominio
08:37:610Annalisa Cesaroni: ha più infinito Se il dominio è illimitato, superiore a meno infinito. Se il dominio è illimitato inferiormente
08:45:100Annalisa Cesaroni: Qr
08:55:420Annalisa Cesaroni: dienne illimitato
08:58:710Annalisa Cesaroni: a valori in er
09:00:400Annalisa Cesaroni: Allora.
09:01:280Annalisa Cesaroni: questo.
09:02:780Annalisa Cesaroni: quali sono i punti di accumulazione dei numeri naturali?
09:06:330Annalisa Cesaroni: I numeri naturali non hanno punti di accumulazione. Ok, quindi questo non c'è
09:13:870Annalisa Cesaroni: e n non ha
09:16:940Annalisa Cesaroni: punti di accumulazione.
09:21:700Annalisa Cesaroni: Il primo caso non si verifica mai.
09:25:130Annalisa Cesaroni: Secondo caso, n. Non è illimitato inferiormente. Non ha senso calcolare il limite perenne che tende a meno infinito, perché ne va da 0 . In su.
09:34:800Annalisa Cesaroni: quindi l'insieme dei numeri naturali è limitato inferiormente
09:40:170Annalisa Cesaroni: tutti i numeri naturali sono più grandi di 0 . Ok, Quindi la seconda limite non si può calcolare l'unico limite che ha senso calcolare per le successioni.
09:51:90Annalisa Cesaroni: È questo
09:52:640Annalisa Cesaroni: il limite perenne che tende a più infinito, perché ogni sottoinsieme illimitato dei numeri naturali è illimitato, superiore. Ok, Quindi per le successioni. L'unico limite che ha senso calcolare è il limite perenne che tende a più infinito.
10:07:980Annalisa Cesaroni: L'unico
10:10:880Annalisa Cesaroni: nel senso che
10:12:500Annalisa Cesaroni: il dominio delle successioni è un insieme discreto che ha un punto qui. Un punto qui non ha punti di accumulazione.
10:21:00Annalisa Cesaroni: perché i punti di accumulazione Sono punti che stanno vicinissimi.
10:24:790Annalisa Cesaroni: Ha tanti punti del dominio, cioè un punto di accumulazione, vuol dire che se ho un punto di accumulazione per il dominio vuol dire che ogni intervallino centrato in quel punto contiene punti del dominio.
10:36:360Annalisa Cesaroni: Ma per i numeri naturali, non è vero, perché appena
10:39:690Annalisa Cesaroni: prendo un intervallino, è abbastanza piccolo, Già, non becco più nessun numero naturale o becco solo lui.
10:48:190Annalisa Cesaroni: l'unico limite che ha senso calcolare per le successioni è
10:51:970Annalisa Cesaroni: e li mette a più infinito. Quindi scriverò il limite perenne che tenga più infinito via con n.
10:57:950Annalisa Cesaroni: Questo vi ricordo che sarebbe F, con N,
11:01:560Annalisa Cesaroni: E a volte, invece che scrivere il limite perenne che tenga più infinito, scriverò direttamente il limite perenne, cioè intanto è inutile indicare dove deve andare. N: L'unico possibile caso è che M tenda più infinito. Ok.
11:17:60Annalisa Cesaroni: a volte. Non scriverò neanche il limite perenne che tenga più infinito. Scriverò se ho solo un limite Per n sotto
11:24:850Annalisa Cesaroni: Intendo n va più infinito, cioè non bisogna specificarlo per le successioni, perché l'unico limite possibile sensato è a più infinito.
11:33:550Annalisa Cesaroni: Ok? E ovviamente anche per le successioni c'è la stessa definizione dei limiti che abbiamo per le funzioni. Quindi dobbiamo prendere la definizione del limite per X che tenga più infinito. Allora 1 . Il limite perenne che tende a più infinito dia con nenne è uguale a delle
11:51:890Annalisa Cesaroni: L è numero reale. Se
11:55:140Annalisa Cesaroni: Per ogni épsilon positivo esiste m grande
12:01:900Annalisa Cesaroni: positivo tale che
12:04:480Annalisa Cesaroni: se N è maggiore di M a questo punto n è la variabile.
12:09:500Annalisa Cesaroni: Ok, è nella variabile che va a più infinito. Se prendo N molto grande
12:15:200Annalisa Cesaroni: con N
12:16:880Annalisa Cesaroni: Sta tra L. Più Epsilon e L meno Epsilon, cioè ha con N
12:22:280Annalisa Cesaroni: è vicino a L.
12:25:360Annalisa Cesaroni: Vi
12:27:330Annalisa Cesaroni: dicendo che ogni volta che fisso epsilo
12:30:420Annalisa Cesaroni: basta che prendo n sufficientemente grande che il valore della successione è vicino al limite.
12:43:930Annalisa Cesaroni: 2 limite perenne che tende a più infinito dià con n e uguale a più infinito. Può essere se per ogni m positivo Esiste n positivo tale che
12:56:370Annalisa Cesaroni: è maggiore di enne
12:58:760Annalisa Cesaroni: allora
13:00:180Annalisa Cesaroni: A con N, è maggiore di M Cioè, sto dicendo che se prendo n sufficientemente grande
13:08:860Annalisa Cesaroni: con N diventa anche lei molto grande. Questo vuol dire che il limite va a più infinito. Vedete.
13:15:80Annalisa Cesaroni: a conenne, diventa grande qua. Invece, il limite è finito. Vuol dire che ha conenne più o meno si stabilizza il valore di aconne si stabilisce
13:23:670Annalisa Cesaroni: terzo, il limite perenne che tende a meno infinito.
13:27:990Annalisa Cesaroni: bianco, N eacute.
13:38:640Annalisa Cesaroni: allora a conenne diventa molto piccolo, diventa più piccolo di meno. M
13:43:710Annalisa Cesaroni: Se. E
13:48:120Annalisa Cesaroni: sto dicendo che se l'argomento prendo l'argomento, allora l'argomento del, l'argomento in cui calcolo la funzione è sempre n Quindi se n è abbastanza grande, il valore della successione diventa sempre più negativo.
14:02:190Annalisa Cesaroni: ponenne.
14:03:590Annalisa Cesaroni: tende a meno infinito.
14:07:540Annalisa Cesaroni: Ed è esattamente se voi riscrivete, riguardate la definizione di limite di funzione per X che tenga più infinito, ottenete esattamente la stessa cosa sostituendo a X. N.
14:18:790Annalisa Cesaroni: Ok, Se scrivete, trovate la definizione limite per X che tende a più infinito di affid X, guardalle
14:27:260Annalisa Cesaroni: e a X sostituite N. E trovate esattamente la stessa identica definizione. Ok? E anche per limite per X che tenga più infinito di appeti X uguale più infinito o limite per X che tenga più infinito di affidi X. Quale è meno infinito? È sempre la stessa.
14:42:380Annalisa Cesaroni: Aka Nen è una funzione, è F di n.
14:51:510Annalisa Cesaroni: Quindi anche per le successioni, perché facciamo le successioni? Perché vedremo che per le successioni
14:56:740Annalisa Cesaroni: e riusciamo a dire delle cose
14:59:190Annalisa Cesaroni: fatto di avere questo dominio così semplice. E sono i numeri naturali. Ci permette di dedurre delle cose un po
15:09:820Annalisa Cesaroni: Ci permette di dedurre delle cose un po più precise sui limiti. E ok, anche se le successioni, avendo questo dominio così appunto, facile però discreto, cioè con tantissimi. Buchi abbiamo 1 , 2 , 3 , 4
15:28:240Annalisa Cesaroni: che ha tantissimi buchi e non avendo punti di accumulazione, sono delle funzioni per cui tante cose non le potrò fare. Per esempio, lo dico per chi le conosce già, per esempio, non ha senso parlare di derivata per una successione perché come si faranno. Poi lo faremo per chi non le ha viste. Non importa come si fa a calcolare la derivata di una funzione, bisognerà calcolare un limite. Il limite dei rapporti incrementale
15:53:580Annalisa Cesaroni: per X che tende a un punto per calcolare la derivata di una funzione in Xcon 0 Dovrà fare il limite del rapporto incrementale per X che tende Ex con 0 dove Xconger sta nel dominio della funzione ed è di accumulazione per il dominio della funzione. Ok?
16:09:850Annalisa Cesaroni: Ora, non avendo punti di accumulazione, questo dominio delle successioni per le successioni, tante cose che faremo con le funzioni generali, non si potranno fare. Ok.
16:20:90Annalisa Cesaroni: per esempio, la derivata non avrà senso. Ok, per queste funzioni qui, perché così come non ha senso calcolare il limite perenne che tende a un certo valore. Ok? Ha senso solo calcolare il limite perenne che tende a più infinito.
16:36:460Annalisa Cesaroni: Benissimo. Ora diamo qualche definizione.
16:41:40Annalisa Cesaroni: diciamo che
16:44:220Annalisa Cesaroni: sono esattamente le stesse definizioni che diamo per le funzioni, solo che dette per le successioni. Diciamo che la successione ha con N
16:57:940Annalisa Cesaroni: è limitata.
17:00:880Annalisa Cesaroni: Cosa vuol dire che una funzione è limitata, una funzione è limitata quando la sua immagine è limitata. Ok? Anche per le successioni è la stessa cosa. La successione conenne è limitata se esiste C tale che a con N è compreso tra C Facciamoci positivo tra Ce e meno. C. Per ogni enne
17:19:599Annalisa Cesaroni: numero naturale
17:21:640Annalisa Cesaroni: per ogni n che sta nel dominio
17:25:170Annalisa Cesaroni: contenuto nei numeri naturali, scriviamo così.
17:28:470Annalisa Cesaroni: È limitata
17:30:320Annalisa Cesaroni: esempio
17:32:30Annalisa Cesaroni: successione. Ha con en uguale 1 su N,
17:35:650Annalisa Cesaroni: e cioè la successione che a ogni N N è diverso da 0 , associa 1 su n. È limitata.
17:44:00Annalisa Cesaroni: 1 su N è sempre compreso, addirittura tra 0 e 1 .
17:50:90Annalisa Cesaroni: Ok, Quindi è compreso tra 2 e meno 2 tra un mezzo e meno me. Insomma, posso prendere C, come mi pare, è limitata.
17:59:660Annalisa Cesaroni: mentre la successione che ne so, la successione che a conenne che adenne associa 3 elevato alla Enne cioè N, che te ne manda 3 né alla n. Non è limitata.
18:16:70Annalisa Cesaroni: perché 3 alla n. Non è più piccolo di. Dovrei trovare una C tale che 3 allaenne è sempre maggiore di 0 . Questo sì. Però non esiste. C tale che questo valga per ognienne no, perché 3 alla n. Man mano che N
18:34:670Annalisa Cesaroni: Ok.
18:36:760Annalisa Cesaroni: Quindi limitata. Altra definizione: cosa vuol dire che una funzione è monotona crescente. Una funzione è monotona crescente quando mantiene le disuguaglianze tra elementi del dominio. Se x è più xuno, è più piccolo di X 2 nel dominio Fdix 1 è più piccolo di Effex 2 . Una successione è una funzione. È monotona crescente. Se la disuguaglianza tra gli elementi del dominio rimane la stessa. Quando si applico la funzione no.
19:05:500Annalisa Cesaroni: Allora, F da D. In R. A valori in R è crescente, monotona crescente. Se xuno minore dix 2 implica Fdx, 1 minor uguale di Fdix 2 o minore, stretto. 6 crescente strettamente, no? Vi ricordate decrescente. Dall'altra parte, invece decrescente, se invece è
19:27:670Annalisa Cesaroni: x 1 minore di X 2 diventa appartenenti al dominio, entrambi appartenenti al dominio, diventa fdi maggiore uguale di F di X 2 ,
19:37:320Annalisa Cesaroni: oppure senza l'uguale. Se si tratta di strettamente, no.
19:43:370Annalisa Cesaroni: strettamente strettamente per le successioni per le successioni, dovrei fare la stessa cosa? Ok, dovrei dire? Prendo 2 numeri naturali e dico 1 è più piccolo. Allora dato Però questo dev'essere vero per ogni coppia, perché la funzione sia crescente Dev'essere vero per ogni coppia? No, non è che da una parte può essere la funzione, è crescente, se è vero sempre no.
20:09:750Annalisa Cesaroni: Per la successione basta, dato che i numeri naturali sono già in ordine
20:15:790Annalisa Cesaroni: 1 2 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , Quindi abbiamo n. N. Più 1
20:22:370Annalisa Cesaroni: N è sempre più piccolo di dirne più. 1 basterà andare a vedere su un n generico. Se Fdm è più piccolo D. F viene più 1 o il contrario. Ok, Allora, se per ogni n appartenente al dominio della successione contenuto in Nne
20:38:860Annalisa Cesaroni: con N è più grande di A con N, più 1 , no, anzi facciamo più piccolo di H. Nen, più 1
20:47:640Annalisa Cesaroni: per ogni n.
20:51:430Annalisa Cesaroni: Allora la successione si chiama allora
20:55:30Annalisa Cesaroni: con N è crescente.
21:01:550Annalisa Cesaroni: Dette. Cioè, sto chiedendo che per ogni ennesima conenne man mano che cresce. N cresce anche a conenne. Ok? È esattamente la stessa cosa di qua. Xuno più piccolo di x, 2 Fdix 1 è più piccolo di Fhed Sex, cresce, cresce anche. F
21:19:200Annalisa Cesaroni: ok? Ma qui si dice, si deve dire genericamente per X, appartenente al dominio. Qui invece lo dico, so che il dominio della successione sono i numeri naturali. Quindi ho 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ocu, un socchi insieme di numeri naturali. Quindi Basta che sia N più piccolo di N An. Ah, basta che lo controlli
21:40:730Annalisa Cesaroni: per ogni anno, passando da nn. Più 1 , perché una volta che ho quello. Ovviamente, se passo da N a M
21:48:210Annalisa Cesaroni: allora. Sem: è più piccolo. Dn: Vuol dire che da N. A. M, avrò fatto M: meno N: passaggio tutte le volte, cresco, e quindi alla fine sarò cresciuta
21:58:360Annalisa Cesaroni: e ovviamente senza l'uguale, se strettamente
22:05:280Annalisa Cesaroni: con enne minore diaconenne più 1 per ogni N Implica con nne strettamente crescente
22:14:240Annalisa Cesaroni: dall'altra parte. E se invece se ha con enfa è più grande di a nenne più 1 per ogni enne o che a con enne.
22:24:460Annalisa Cesaroni: è decrescente. Ovviamente, man mano che
22:28:770Annalisa Cesaroni: man mano che n cresce
22:31:40Annalisa Cesaroni: con N cala.
22:33:540Annalisa Cesaroni: E se A. N è strettamente maggiore di Aconne più 1 per ogni n con n é strettamente decrescente.
22:47:690Annalisa Cesaroni: decrescente. Man mano che ha con N e che N cresce a Konenne. Cala strettamente.
22:55:770Annalisa Cesaroni: Cala strettamente.
23:05:250Annalisa Cesaroni: Questo. È e questa è non è Ah nenne. Più 1 è
23:10:110Annalisa Cesaroni: funzione calcolata in n. Più. 1 non è,
23:13:420Annalisa Cesaroni: ha con N il più 1 insieme. É questo qui. Questo sarebbe Fdn, e questo sarebbe? Fdn.
23:21:350Annalisa Cesaroni: Scrivo: Ah, con n più 1 è
23:24:820Annalisa Cesaroni: n più 1 è tutto l'argomento,
23:29:540Annalisa Cesaroni: Questo è tutto sotto
23:37:300Annalisa Cesaroni: ora
23:38:350Annalisa Cesaroni: e osservazione teoremino osservazione che non dimostreremo, ma
23:43:810Annalisa Cesaroni: teorema, insomma.
23:47:570Annalisa Cesaroni: Allora, teorema 1 . Se la successione ha con N è crescente.
23:57:630Annalisa Cesaroni: allora
23:59:180Annalisa Cesaroni: sempre limite a più infinito
24:07:940Annalisa Cesaroni: ha sempre limite. E ovviamente ha sempre limite punto, cioè, e
24:14:620Annalisa Cesaroni: E il limite perenne che tende a più infinito. Dana N è uguale.
24:19:930Annalisa Cesaroni: Ah, più è finito. Se ha conenne. È illimitata
24:26:730Annalisa Cesaroni: superiormente.
24:31:600Annalisa Cesaroni: è che l'estremo superiore dei valori
24:37:290Annalisa Cesaroni: che assume la successione a con n
24:41:360Annalisa Cesaroni: Se invece la conne è limitata.
24:47:530Annalisa Cesaroni: se vogliamo. Ok.
24:49:880Annalisa Cesaroni: sto dicendo che
24:53:600Annalisa Cesaroni: esempio
24:55:390Annalisa Cesaroni: la successione ha conne uguale 3 alla N E stre è crescente perché
25:01:630Annalisa Cesaroni: a conenne e 3 alla n. Ha conne più 1 e 3 alla n. Più 1 , no, e ha con n più 1 , cioè 3 alla n. Più 1 è maggiore di 3 alla n. Che ha con enne perché 3 per 3 ,
25:21:370Annalisa Cesaroni: il limite perenne che tende a più infinito di 3 alla n. È più infinito
25:26:750Annalisa Cesaroni: 3 alla N è
25:39:160Annalisa Cesaroni: è superiore illimitata. 3 . Alanne prende tutti i valori grandi quanto vogliono.
25:47:360Annalisa Cesaroni: Comunque, in ogni caso, tutte le successioni crescenti ammettono limite e questo limite si calcola come l'estremo superiore dei valori, dell'insieme dei valori.
26:00:290Annalisa Cesaroni: E Come si fa a dimostrare questa cosa? Beh, si scrive la caratterizzazione di estremo superiore, l'estremo superiore di un certo insieme. Questo è un sottoinsieme di r a conne. Sono elementi di R.
26:12:510Annalisa Cesaroni: Tutti I valori che assume la successione sono elementi di R
26:15:980Annalisa Cesaroni: Ok? Quindi questo insieme qua, tutti i valori che assume la successione è un sottoinsieme di r i sottoinsieme di Harry, se sono limitati, ammettono sempre estremo superiore
26:27:460Annalisa Cesaroni: sono illimitati. Invece non ammette l'estremo superiore al più infinito. Ora, questo coincide con il limite della successione
26:39:340Annalisa Cesaroni: E invece Se Akomen è decrescente, il limite della successione sarà l'estremo inferiore
26:45:540Annalisa Cesaroni: semplicemente
26:47:700Annalisa Cesaroni: se a conenne è decrescente.
26:53:180Annalisa Cesaroni: essa mette sempre limite. Non è detto che tutte le successioni ammettano limite, però essa mette sempre limite e
27:00:630Annalisa Cesaroni: il limite dia conenne
27:02:950Annalisa Cesaroni: uguale
27:04:350Annalisa Cesaroni: meno infinito. Si ha con enne.
27:07:400Annalisa Cesaroni: è inferiormente
27:10:660Annalisa Cesaroni: illimitata
27:14:210Annalisa Cesaroni: oppure l'estremo inferiore di i valori. Ha con n
27:22:40Annalisa Cesaroni: esempio.
27:23:590Annalisa Cesaroni: esempio, la successione
27:25:710Annalisa Cesaroni: e ha conenne uguale 1 frattoenne.
27:30:90Annalisa Cesaroni: è l'estremo inferiore
27:32:520Annalisa Cesaroni: 1 frattoenne è decrescente? Ovviamente no.
27:36:180Annalisa Cesaroni: Perché ha con N più 1 , sarebbe 1 fra toenne più 1 , che è sicuramente più piccolo di 1 fratto enne che ha con enne. Questo è decrescente strettamente. E qual è l'estremo inferiore dei reciproci dei numeri naturali, l'abbiamo calcolato è 0 .
27:54:120Annalisa Cesaroni: Il limite perenne che tende a più infinito di 1 fra toenne. È 0 .
28:03:360Annalisa Cesaroni: È una caratterizzazione. Insomma, va Beh, non è che aggiunge niente. Era una cosa che più o meno.
28:11:340Annalisa Cesaroni: però la cosa importante è dire queste successioni in realtà anche per le funzioni crescenti e decrescenti. Si può dimostrare che esisto è sempre il limite. Il limite destro è il limite sinistro, e magari son diversi Se la funzione non è continua però e per le successioni.
28:28:460Annalisa Cesaroni: se una funzione anche se una funzione è crescente
28:32:650Annalisa Cesaroni: e il dominio è illimitato. Esiste sempre il limite a più infinito. O è più infinito o un certo valore. Ok, Anche in questo caso, però, per le successioni è più facile da vedere.
28:46:300Annalisa Cesaroni: E scusate, vediamo un'applicazione importante di questo teorema applicazione importante che ci servirà varie volte.
29:00:320Annalisa Cesaroni: considero q- numero reale
29:06:447Annalisa Cesaroni: diverso da 0
29:08:580Annalisa Cesaroni: e considero la successione che A. N. Associa, cu elevato alla n.
29:14:690Annalisa Cesaroni: Considero questa successione
29:20:310Annalisa Cesaroni: questa successione Cou N, che so che manda
29:25:370Annalisa Cesaroni: N che manda. Fu elevato alla N, che è un numero ovviamente reale, no.
29:31:480Annalisa Cesaroni: cui è fissato
29:37:430Annalisa Cesaroni: co fissato.
29:40:880Annalisa Cesaroni: allora. Voglio calcolarmi il limite di questa successione al variare di Q. Se esiste ohi, ovviamente il dominio di questa successione è: tutti i numeri naturali no 0 viene mandato in cuor a 0 , che è 1 1 . Viene mandato in Kuwa a 1 che cu
29:57:450Annalisa Cesaroni: e 2 viene mandato in cu al quadrato.
30:00:760Annalisa Cesaroni: 3 viene mandato in cuor cubo, eccetera, eccetera
30:04:340Annalisa Cesaroni: Sono
30:05:870Annalisa Cesaroni: e via. Così
30:10:750Annalisa Cesaroni: Ora mi chiedo: qual è il limite? Voglio calcolare
30:16:670Annalisa Cesaroni: percu fissato
30:20:850Annalisa Cesaroni: il limite perenne che tende a più infinito di Q. Alla N.
30:25:980Annalisa Cesaroni: Vi
30:27:260Annalisa Cesaroni: vi
30:30:240Annalisa Cesaroni: allora
30:32:540Annalisa Cesaroni: bisogna fare vari casi, vari casi.
30:40:120Annalisa Cesaroni: Voglio calcolare questo limite a cui fissato. Ok, il limite di Kuwain ovviamente può essere positivo, negativo o nullo. Perché anche se tu è negativo, tanto lo devo elevare un numero naturale. Quindi questo è ben definito. Ok? Questa cosa, se se cuè meno 3 , questa sarà la funzione e la funzione che ha ogni numero naturale a socia meno 3 alla n.
31:03:830Annalisa Cesaroni: Quindi sarà più positivo, negativo. Positivo. Secondo: Kenne sia pari a rispetto.
31:09:180Annalisa Cesaroni: Ok. Prima osservazione: se cu è uguale a 1 , questa è la successione che a N Associa
31:16:670Annalisa Cesaroni: 1 ha la N,
31:18:740Annalisa Cesaroni: che è sempre uguale a 1 .
31:21:280Annalisa Cesaroni: E se qua è uguale a 0 . Questa è la cosa che associa a 0 a n 0 Lam: sempre 0 . Quindi in questo caso, il limite perenne che tiene più infinito di
31:32:460Annalisa Cesaroni: alla N è uguale a 1 , il limite perenne che tende più infinito di 0 alla N è uguale a 0 . Poco da fare. Ok?
31:40:790Annalisa Cesaroni: 2 :
31:41:730Annalisa Cesaroni: cu è positivo e maggiore di 1
31:47:150Annalisa Cesaroni: cu è maggiore di 1 . Che cosa abbiamo? Abbiamo? Che Q. Alla n. Più 1 ,
31:52:650Annalisa Cesaroni: che sarebbe qua, la N per è maggiore di cura. N:
31:57:690Annalisa Cesaroni: Ok, perché è maggiore di 1 ,
32:01:530Annalisa Cesaroni: quindi a alla n. Più 1
32:04:200Annalisa Cesaroni: è maggiore
32:05:650Annalisa Cesaroni: di ala n
32:08:180Annalisa Cesaroni: A. N. Più 1 ,
32:09:870Annalisa Cesaroni: se Cu è maggiore di 1
32:12:60Annalisa Cesaroni: culla n più 1 qual n più 1 . Lo scrivo come cuola N per Pu
32:17:70Annalisa Cesaroni: Qr
32:21:800Annalisa Cesaroni: qua La n. Lo scrivo come cuola. Em, Per cui qual è è uguale a quella n è maggiore liuno. La disguaglianza non si mantiene. E quindi questo che cosa mi dice che a n. Più 1 è maggiore di arenne.
32:34:440Annalisa Cesaroni: vuol dire che la successione è crescente.
32:39:210Annalisa Cesaroni: La successione
32:43:120Annalisa Cesaroni: fu alla n è crescente strettamente, in realtà
32:49:470Annalisa Cesaroni: strettamente crescente.
32:51:650Annalisa Cesaroni: Inoltre, inoltre, non è limitata, non è limitata dall'alto
32:58:400Annalisa Cesaroni: e non è limitata
33:02:240Annalisa Cesaroni: dall'alto.
33:04:420Annalisa Cesaroni: Vi
33:05:790Annalisa Cesaroni: Non esiste nessun cip positivo tale che Co: la n. Più piccolo. Dc: Per ogni n numero naturale non esiste. No, è facile accorgersi che questo non può essere. Non esiste nessuno. Se io prendo n grandissimo, qual è, né a un certo punto lo Supereràcci Ok, basterà prendere insomma la cosa giusta
33:26:670Annalisa Cesaroni: in termini del logaretto.
33:29:650Annalisa Cesaroni: Quindi questo non è possibile e quindi è una successione crescente, strettamente crescente e non limitata.
33:39:910Annalisa Cesaroni: Qual è: il limite?
33:41:290Annalisa Cesaroni: Abbiamo visto prima? Più infinito. È una successione che cresce sempre. E non non ha mai un
33:49:170Annalisa Cesaroni: un limite superiore. Non è fermata da niente, Cioè, non esiste nessun costante ci tale che qua ne sta sempre sotto C. Quindi il limite di questa successione è più infinito.
34:01:70Annalisa Cesaroni: Cresce sempre e non si ferma mai. Quindi il limite
34:06:220Annalisa Cesaroni: di cui alla N è più infinito, perenne che tende per Cook maggiore di 1 . Quindi è per maggiore di 1 .
34:15:260Annalisa Cesaroni: Il limite di scuola n è più infinito.
34:19:389Annalisa Cesaroni: Vi
34:20:620Annalisa Cesaroni: questo ovviamente lo sapeva. Cioè, lo potevamo immaginare. No.
34:26:889Annalisa Cesaroni: il limite di Cuola Anne è più infinito.
34:30:290Annalisa Cesaroni: é maggiore di 1 . Ora prendiamo cui invece compreso tra 0 , e 1 .
34:42:870Annalisa Cesaroni: Prendiamo cu compreso tra 0 e 1 . Ora, che cosa ho che qua l'enne più 1 che è co la N Percu, questa volta è minore di Cola N
34:53:290Annalisa Cesaroni: per 1
35:00:384Annalisa Cesaroni: più piccolo di 1 . Quindi
35:02:980Annalisa Cesaroni: scrivo che qua la
35:08:610Annalisa Cesaroni: può rendere più un nuovo schema come Cola M. Perkù, che è più piccolo di quo, l
35:14:450Annalisa Cesaroni: perché uguale è sempre positivo. È tutto positivo. Lo sto moltiplicando per qualcosa di più piccolo di 1 . Quindi cala la successione cala
35:26:460Annalisa Cesaroni: qua La n Cioè, la successione
35:30:40Annalisa Cesaroni: acoenne
35:31:630Annalisa Cesaroni: e la
35:32:570Annalisa Cesaroni: Scriviamola così con la n. La successione qualan è strettamente
35:37:430Annalisa Cesaroni: decrescente.
35:40:690Annalisa Cesaroni: decrescente? E inoltre.
35:44:710Annalisa Cesaroni: ecco la n. È sempre maggior uguale di 0 minore uguale di 1 quindi è limitata.
35:52:400Annalisa Cesaroni: Questo è vero per ogni anno.
35:56:370Annalisa Cesaroni: Qui, ripeto, ripeto, ripeto.
35:58:780Annalisa Cesaroni: Qr
36:06:170Annalisa Cesaroni: ora è limitata. Quindi che cos'ho che il limite perenne che tende a più infinito di Kuwa N è uguale all'estremo inferiore dei valori culla N perenne numero naturale.
36:18:390Annalisa Cesaroni: E qual è questo estremo inferiore?
36:20:740Annalisa Cesaroni: Abbiamo visto per uguale un mezzo, ma la stessa. Abbiamo fatto le l'esempio per uguale ad un mezzo, ma insomma, la stessa cosa funziona per tutti e cu Questo estremo inferiore è 0 .
36:34:670Annalisa Cesaroni: Quindi se cu è compreso tra 0 e 1 , beh, anche con 0 , compreso, se volete, perché tanto 0 alla Ne abbiamo detto Il limite perenne che tende a più infinito di Kohla N è uguale A 0 .
36:52:450Annalisa Cesaroni: Metteremo tutto insieme nella nostra, Nello schematto finale, Sì,
37:00:290Annalisa Cesaroni: di cosa? Del dominio
37:02:770Annalisa Cesaroni: dominio? No, Perché non meno numeri naturali.
37:06:950Annalisa Cesaroni: punto di accumulazione del dominio No.
37:10:90Annalisa Cesaroni: non può essere
37:12:650Annalisa Cesaroni: Ma noi, quando, per calcolare il limite dobbiamo fare nei punti di accumulazione del dominio, il limite si fanno i punti.
37:22:880Annalisa Cesaroni: Il valore del limite vuol dire che vuol dire che tutti i valori della funzione, Se una certa successione a un certo limite, L Certo, i valori della della successione si si stabilizzano intorno al valorelle, ma quello no. Noi non calpriamo il limite. In Elena abbiamo bisogno di
37:44:370Annalisa Cesaroni: 3
37:46:10Annalisa Cesaroni: è compreso tra meno 1 . E allora facciamo u negativo
37:53:220Annalisa Cesaroni: negativo.
37:56:30Annalisa Cesaroni: Allora, come scriviamo qua la n. Per più negativo
37:59:660Annalisa Cesaroni: con la n. Lo scriviamo come siccome è negativo, si scrive come meno valore assoluto di se cu è negativo, uguale. A meno 3 si scrive come
38:11:260Annalisa Cesaroni: meno valore assoluto di meno 3
38:14:170Annalisa Cesaroni: valore sono tri meno 3 . E 3 . Ok.
38:19:50Annalisa Cesaroni: questo sarebbe meno valore assoluto di Q. Tutto elevato alla N,
38:23:290Annalisa Cesaroni: che cioè è meno 1 all'an per valore assoluto di Q. Elevato alla n.
38:28:790Annalisa Cesaroni: Ora, questo adesso è positivo, No.
38:31:900Annalisa Cesaroni: valore assoluto di Q. È positivo.
38:36:970Annalisa Cesaroni: Quindi mi sono scritta. Co: La N come meno 1 alla n. Per
38:41:500Annalisa Cesaroni: fu elevato alla n.
38:44:30Annalisa Cesaroni: Andiamo a vedere come si comportano queste cose. Allora, se
38:49:90Annalisa Cesaroni: se Cu è uguale a meno 1 , Che cosa c'ho qua?
38:52:950Annalisa Cesaroni: Ho meno 1 alla N e questo è meno 1 alla n. Per 1 , all'aenne, la successione meno un l'aenne
39:01:430Annalisa Cesaroni: dove andrà questa successione.
39:03:470Annalisa Cesaroni: Questa successione è una successione limitata, prende solo valori, 1 e meno 1 , ma non ha limite.
39:09:760Annalisa Cesaroni: perché non ha limite? Perché non esiste nessun valore su cui si stabilizza questa successione, e sen è pari.
39:18:530Annalisa Cesaroni: Sen è pari, meno 1 alla n. È uguale a 1 seenne dispari
39:25:170Annalisa Cesaroni: meno 1 alla N è uguale a meno 1 . Quindi questa continua a oscillare tra 1 meno 1 , 1 , 1 , meno 1 , 1 , meno 1 , 1 , meno 1 , 1 meno 1 . Non si stabilizza da nessuna parte. Non può avere limite dire che una successione a limite vuol dire che si stabilizza a un certo valore o va a più infinito o va a men infinite. Qui non si può fare questa cosa
39:46:440Annalisa Cesaroni: se invece cu è diverso da meno: 1 . Se, per esempio, Q è compreso tra meno 1 e 0
39:53:440Annalisa Cesaroni: se cu è compreso tra meno 1 e 0 .
39:57:510Annalisa Cesaroni: Se cuè qua.
39:59:210Annalisa Cesaroni: vuol dire che valore assoluto di Q. È minore di 1
40:02:930Annalisa Cesaroni: Qr.
40:12:130Annalisa Cesaroni: Il valore assoluto di meno. Un terzo è un terzo. Quindi se custa tra meno 1 e 0 , il valore assoluto starà tra 0 e 1 ,
40:21:150Annalisa Cesaroni: ovviamente, tra 0,1 . E Quindi che cosa abbiamo? Che Co: La N è uguale a meno 1 alla N per valore assoluto di quoola N
40:29:400Annalisa Cesaroni: Senn tende a più infinito.
40:31:890Annalisa Cesaroni: cosa qui a quanto tende, dato che il valore assoluto di cui è minore di 1
40:37:260Annalisa Cesaroni: valore assoluto di scuola n. Tende a 0 perché cu è compreso tra 0 e 1 . L'abbiamo già appena provato. Questo tende a 0 . Questo non tende da nessuna parte, però è limitato.
40:53:100Annalisa Cesaroni: Volendo, possiamo dire che questa cosa qui è sempre compresa tra valore assoluto, di qua e ne meno valore assoluto di
41:00:980Annalisa Cesaroni: Perch Eacute.
41:05:330Annalisa Cesaroni: A volte è 1 , a volte meno 1 ,
41:07:620Annalisa Cesaroni: Ok.
41:09:700Annalisa Cesaroni: scrivo di qua. Scusate che così Co: La n. È meno 1 alla n. Valore assoluto di cuola. N
41:16:700Annalisa Cesaroni: Questo è sempre minor uguale di quale N E maggior uguale di meno. Cura? N:
41:22:380Annalisa Cesaroni: Perché meno 1 alla n.
41:24:560Annalisa Cesaroni: È sempre compreso tra 1 e meno 1 . A volte vale 1 a volte vale meno 1 Ok, Allora, se cu
41:34:840Annalisa Cesaroni: se cuù è compreso e sta tra scriviamolo così, tra meno 1 e 0 ,
41:40:550Annalisa Cesaroni: valore assoluto di custa tra 0 e 1 . E quindi cumula enne in modulo, modulo di cura n tende a 0 e che cosa ho, o che questo attende a 0 . Questo tende a 0
41:53:910Annalisa Cesaroni: principio del confronto teorema del confronto, quello in mezzo tende a 0 . Quello e me è messo tra 2 quantità che tendono a 0
42:03:360Annalisa Cesaroni: il limite perenne che tende a più infinito di Q. Alla N è uguale a 0 per confronto, perché sta in mezzo tra 2 cose che tendono a 0 .
42:14:560Annalisa Cesaroni: Questo tende a 0 col meno davanti, spenderà 0 o meno. Mi interessa dove tende. Questo tende a 0 col più davanti tederalzero più. Ma sempre 0 ès. Quelli entrambi vanno a 0 .
42:27:980Annalisa Cesaroni: E se invece con
42:29:820Annalisa Cesaroni: è minore di meno 1 , Cosa vuol dire
42:32:570Annalisa Cesaroni: Qui ci abbiamo 0 . Qui ci abbiamo meno 1 . È qua.
42:35:720Annalisa Cesaroni: Chi sarà valore assoluto? Di Q.
42:38:10Annalisa Cesaroni: Valore assoluto. Di Q. Sarà maggiore di 1 no. Perché? E devo andare da quest'altra parte per prendere il valore assoluto.
42:46:370Annalisa Cesaroni: Ok, valore assoluto di meno. 5 è 5 , che è più grande 1 , no? E quindi che cosa posso dire in questo caso? Che valore assoluto di cuola N tende a più infinito.
42:59:280Annalisa Cesaroni: Ok, però. Co la n. Lo scrivo come meno 1 alla n. Q. Alla n.
43:06:260Annalisa Cesaroni: Ora, che cosa mi succede? Che questa cosa qui.
43:10:20Annalisa Cesaroni: Questo termine qui
43:12:140Annalisa Cesaroni: va sempre a più infinito. Questo termine qui cambia segno se n'è pari, è positivo, se né dispari è negativo, 6 né pari, è più 1 , se ne disperi e meno 1 . Quindi come farà questa successione?
43:26:370Annalisa Cesaroni: Una successione che, perenne pari diventa grandissima perenne dispari diventa negativissima.
43:32:440Annalisa Cesaroni: Non ha limite. Non si può stabilizzare da nessuna parte. Ok? Perché se si stabilizzasse da qualche parte o andare o andrebbe a più infinito o meno infinito, ma perenne. Perenne Pari, prendiamo uguale a meno 5
43:47:180Annalisa Cesaroni: 5 alla n. Per meno 1 alla n. Allora, 5 linee diventa grandissimo però meno 1 . La n. Allora perenne dispari è meno nne pari è più quindi questo oscilla tra valori sempre più grandi. 1 positivo e 1 negativo non ha limite.
44:09:70Annalisa Cesaroni: Riassumiamo tutta la nostra faccenda che questa sarà importante. Riassumiamo tutta la faccenda di questi limiti.
44:18:120Annalisa Cesaroni: Che cosa abbiamo trovato? Abbiamo trovato che.
44:22:810Annalisa Cesaroni: riassumendo, tutto il limite perenne che tende a più infinito di qua. La n è uguale a
44:29:390Annalisa Cesaroni: più infinito se cu è maggiore di 1
44:34:270Annalisa Cesaroni: 1 se cu è uguale a 1
44:40:690Annalisa Cesaroni: 0 . Secu è compreso tra meno 1 e 1 ,
44:45:370Annalisa Cesaroni: tutti i culi in mezzo
44:49:200Annalisa Cesaroni: meno 1 e 1 sono tutti.
44:53:440Annalisa Cesaroni: Abbiamo sempre limite: 0 . Perché? Perché per cu uguale a 0 . Il limite 0 , perché è la costante Secu, è maggiore, è trazzare 1 , la successione è decrescente e ha come estremo inferiore 0 se cu è più piccolo di 0 , ma sta tra meno 1 e 0 . Abbiamo termine che tendi a 0 per termine limitato. Quindi il prodotto tendi a 0 per il teorema del confronto.
45:17:960Annalisa Cesaroni: e poi non ha. Non esiste il limite.
45:24:660Annalisa Cesaroni: per cui più piccolo di meno 1 per cui minore uguale di meno 1 . Il limite non esiste perché se ho cougula almeno 1 , questo oscilla tra 1 meno 1 1 , meno 1 , meno 1 , meno 1 non ha limite, non si stabilizza e se cu è più piccolo di meno. 1 addirittura oscillo tra è più infinito, meno infinito, più finito e meno infinito. Non è possibile.
45:47:390Annalisa Cesaroni: Questo schemetto qua ci torna, bisogna saperlo, ed è una cosa che utilizzeremo.
45:54:600Annalisa Cesaroni: Abbiamo messo insieme tutte le cose, ovviamente, qua.
45:59:610Annalisa Cesaroni: fu compreso strettamente tra meno 1 e 1 no
46:02:900Annalisa Cesaroni: uguale a 1 . Ovviamente il limite è 1 ,
46:05:670Annalisa Cesaroni: Fu strettamente compreso tra meno 1 e 1 Il limite è 0 .
46:12:930Annalisa Cesaroni: Facciamo 10 minuti di pausa.
46:17:920Annalisa Cesaroni: 10 meno di 10 . Facciamo
46:24:130Annalisa Cesaroni: la
46:26:320Annalisa Cesaroni: E benissimo, allora questo intanto per queste per questa successione particolare cola N Allora, qua, la N tende a 0 per Q. Compreso strettamente tra meno 1 e 1 ,
46:40:430Annalisa Cesaroni: altrimenti, se Cu è più piccolo di meno 1 , il limite non esiste. Quindi se 1 deve fare un esempio di successione che ha limite che non esiste. Fa questo esempio quifer co più piccolo di meno 1 oppure che ha limite infinito, limite. 0
46:55:950Annalisa Cesaroni: 1 Però dice vabbè, ma una tante di queste cose, più o meno le potevo immaginare anche da quello che abbiamo visto sulle funzioni reali di variabile reale.
47:06:890Annalisa Cesaroni: Vi
47:09:360Annalisa Cesaroni: sto dicendo, per esempio, che il limite perenne che tende a più infinito di 3 alla N è più infinito. Va beh, però anche il limite per X che tende a più infinito di 3 alla X è più infinito. Questo l'avevamo visto no?
47:22:510Annalisa Cesaroni: E E sto dicendo praticamente le stesse cose. In effetti, in effetti è vero che
47:29:530Annalisa Cesaroni: effetti è vero che. E c'è questo teorema che collega i limiti di successione ai limiti di funzioni che si chiama Teorema ponte
47:40:240Annalisa Cesaroni: fiorema ponte
47:42:450Annalisa Cesaroni: allora che funziona, solo
47:45:720Annalisa Cesaroni: che funziona solo per successioni che si possono estendere a funzioni. Allora io considero ha conne una successione.
47:57:420Annalisa Cesaroni: Tale che
47:59:110Annalisa Cesaroni: vi
48:01:890Annalisa Cesaroni: ha conenne sia uguale a F, con N Per una qualche F
48:09:170Annalisa Cesaroni: va da un certo dominio di R in r. Esempio.
48:15:830Annalisa Cesaroni: ha conne uguale 1 fratto è nella successione 1 fra toenne
48:22:840Annalisa Cesaroni: allora a conenne uguale ad f dienneco, dove F è la funzione che va da r meno 0 a r e a ogni X associa 1 fratto X
48:38:00Annalisa Cesaroni: ha conenne uguale A, 3 alla n. Appunto Con N è uguale ad Fdn, dove esse è la funzione che va da la
48:51:20Annalisa Cesaroni: 0 più infinito a R che a ogni X Associa Opo Danda, anzi da Rnr, scusate
48:58:470Annalisa Cesaroni: da Rnr che a ogni X associa 3 alla X,
49:06:770Annalisa Cesaroni: Allora, o che sia con n coincide n perenne con il valore di una certa funzione funzione reale di variabile reale.
49:15:370Annalisa Cesaroni: In questo caso, per esempio, ha conne uguale 3 Alan coincide quando io la calcolo solo sui valori naturali, con la funzione che X Associa 3 alla X. Ovviamente questa è una funzione definita su tutto R a un dominio molto più grande della successione. Ok.
49:32:120Annalisa Cesaroni: Allora, se questo è vero, il limite perenne che tende a più infinito dià con enne è uguale al limite per X che tende a più infinito
49:43:250Annalisa Cesaroni: se per ogni N
49:45:780Annalisa Cesaroni: F di N è uguale a da con enne questo, no?
49:49:340Annalisa Cesaroni: Cioè, quello che ho scritto prima, l'ho iscritto qua.
49:54:440Annalisa Cesaroni: Quindi è la stessa cosa calcolare il limite della successione, o il limite della funzione
49:59:320Annalisa Cesaroni: ad essa associata.
50:01:90Annalisa Cesaroni: Non sempre. Non sempre una successione è associata a una funzione. Ok, non sempre
50:08:850Annalisa Cesaroni: qual è, per esempio, il caso di una successione che non è associata a una funzione.
50:14:370Annalisa Cesaroni: successione che non è associata a una funzione. Per esempio, è la successione che abbiamo indicato prima radice ennesima di n
50:23:460Annalisa Cesaroni: radice ennesima di Enne. Beh, lo posso. Be volendo quella quella quella. Volendo Volendo la posso. La posso pensare come una funzione, Ma no. Quindi quello non è un esempio, giusto? Facciamo un altro, allora non sempre
50:42:60Annalisa Cesaroni: se ha con N è successione.
50:47:30Annalisa Cesaroni: Esiste una funzione
50:51:570Annalisa Cesaroni: f da un certo sottoinsieme di numeri reali a R. Tale che
50:56:870Annalisa Cesaroni: Fdn è uguale a da conenne non sempre. Questo è vero esempio. Prendiamo la successione. Ha con n enfattoriale
51:06:630Annalisa Cesaroni: in questo modo.
51:08:790Annalisa Cesaroni: a con 0 . È uguale a 1 , ha con 1 e uguale a 1
51:14:650Annalisa Cesaroni: a con 2 è uguale a 2 , per 1 , cioè 2 ,
51:18:880Annalisa Cesaroni: con 3 è uguale a 3 per 2 per 1 , cioè 6
51:23:870Annalisa Cesaroni: con 4 uguale 4 per 3 verdue, per 1 , eccetera.
51:28:610Annalisa Cesaroni: cioè 4 , per 3 , 4 , per 6 , 24 .
51:32:120Annalisa Cesaroni: Ah, quindi nfattoriale è
51:35:290Annalisa Cesaroni: n perenne, meno 1 perenne, meno 2 , eccetera, eccetera. Il prodotto
51:43:760Annalisa Cesaroni: dei primi n
51:47:790Annalisa Cesaroni: numeri naturali.
51:52:590Annalisa Cesaroni: o, volendo, è n per è nemmeno 1 fattoriale, se volete. O possiamo definire così. È.
51:59:370Annalisa Cesaroni: Quindi ha conne più 1 e n più 1 moltiplicato peraconenne tutte le volte prendo il valore a cui sono arrivata. Vedete parto da 0 fattoriale. Lo pongo uguale a 1
52:13:930Annalisa Cesaroni: 0 fattoriale. Lo pongo uguale a 1 1 fattoriale sarebbe 1 per 1 ,
52:19:890Annalisa Cesaroni: 2 fattoriale. Sarebbe 2 per 1 , 2 , 3 fattoriale.
52:26:250Annalisa Cesaroni: il prodotto dei primi 3 numeri naturali, 3 per 2 per 1 oppure 3 per 2 fattoriale
52:34:360Annalisa Cesaroni: è nefattoriale. Lo scrivo come n Per è nemmeno 1 fattoriale, oppure enefattoriale equivalentemente è il prodotto dei primi nnumeri.
52:47:490Annalisa Cesaroni: In questo caso, ovviamente, non è evidente come fare ad associarsi una funzione qui perché e non è che F di Se prendo X, numero reale positivo, cosa vuol dire fare il prodotto dei primi X numeri reali? Ce ne sono infiniti, Ok, mentre se io prendo n uguale a 5 , ce ne sono solo 5 prima, di cioè, sono 5 di numeri naturali minori di 5 , 1 , 2 , 3 ,
53:14:390Annalisa Cesaroni: e
53:16:290Annalisa Cesaroni: e via. Così. Ok. Quindi per esempio, questa è una successione
53:21:930Annalisa Cesaroni: per cui non c'è,
53:24:170Annalisa Cesaroni: non c'è l'equivalente, funziona in realtà, poi vedremo che la funzione gamma Diulero in qualche modo è un equivalente. Ma
53:35:950Annalisa Cesaroni: E che cosa abbiamo di questa successione? Questa successione è una successione importante. È una successione che tende a più infinito. Perché è una successione sicuramente crescente. No.
53:48:150Annalisa Cesaroni: è nefattoriale. È successione crescente.
53:53:500Annalisa Cesaroni: Come mai è una successione crescente perché a n. Più 1 sarebbe n più 1 perenne, perenne, meno 1 , eccetera, eccetera. Cioè Sarebbe n. Più 1 per
54:05:730Annalisa Cesaroni: è nefattoriale.
54:10:100Annalisa Cesaroni: Anne più 1 è n più 1 fattoriale. Sarebbe il prodotto dei primi n. Più 1 numeri naturali, quindi è n più 1 per il prodotto dei primi n numeri naturali
54:19:680Annalisa Cesaroni: partendo da 1 non da 0 , ovviamente. E quindi è n più 1 per acorenne, che ovviamente è più grande di acconenne.
54:27:820Annalisa Cesaroni: K perché n. Più 1 è più grande di un
54:32:150Annalisa Cesaroni: e illimitata. Quindi il limite perenne che tende più infinito di enefattoriale. Evidentemente più infinito no è illimitata. Cresce sempre di più tutte le volte moltiplico per un altro numero naturale.
54:45:160Annalisa Cesaroni: Comunque, il teorema ponte ci sarà utile perché adesso riusciremo a trovare dei limiti di
54:50:600Annalisa Cesaroni: funzioni importanti e di successioni importanti dai limiti di successione, passeremo, troveremo dei limiti di funzioni grazie al teorema ponte allora
55:03:60Annalisa Cesaroni: il teorema ponte quindi ci permetterà di passare da 1 all'altro, da funzioni a successioni e viceversa anche dall'altra parte funziona. Questa è un'uguaglianza. Se io si riesco a calcolare il limite di F e calcolare il limite di Connem.
55:17:370Annalisa Cesaroni: Allora vi ricordo.
55:19:730Annalisa Cesaroni: ricordiamo.
55:21:690Annalisa Cesaroni: Vi
55:24:30Annalisa Cesaroni: e il numero è numero di nepero
55:29:470Annalisa Cesaroni: è l'estremo superiore di questa successione qua
55:32:790Annalisa Cesaroni: di questo insieme di numeri. Qua
55:35:410Annalisa Cesaroni: non l'abbiamo dimostrato.
55:37:970Annalisa Cesaroni: Abbiamo detto che
55:39:930Annalisa Cesaroni: era questa
55:45:190Annalisa Cesaroni: questa quantità qui è crescente neanche questo l'abbiamo dimostrato.
55:52:110Annalisa Cesaroni: E tutto questo è abbastanza complicato da dimostrare. Ma insomma, è in premiamolo per buono. Abbiamo che effettivamente è il limite perenne che tende a più infinito di questa successione, 1 più 1 fra toenne alla N e l'estremo superiore di questa successione dei valori di questa successione. Ed é anche il limite di questa successione, perché questa è un'associazione monotona
56:17:00Annalisa Cesaroni: scelte. Non è facile da vedere che è monotona crescente. Ok, non è per niente facile che far vedere che è una successione monotona crescente, perché vedete, l'esponente cresce con n però la base cala, perché è 1 più qualcosa di sempre più piccolo. Quindi la base cala e l'esponente cresce. In realtà tutto quanto cresce grazie al fatto che l'esponente cresce tanto, però è complicato.
56:41:830Annalisa Cesaroni: Vere e
56:42:840Annalisa Cesaroni: diamolo per buono. Quindi teniamo per buono questo che è uguale a questa quantità
56:49:410Annalisa Cesaroni: teorema Ponte
56:51:970Annalisa Cesaroni: Teorema Ponte abbiamo che il limite per X che tende a più infinito
56:57:510Annalisa Cesaroni: di 1 più 1 fratto X alla X è uguale a de
57:02:140Annalisa Cesaroni: Il Teorema ponte limite per X che tende a più infinito. È questo quick
57:19:810Annalisa Cesaroni: ora. Ora.
57:23:520Annalisa Cesaroni: Quindi questo è un primo limite da sapere
57:27:400Annalisa Cesaroni: da a
57:30:750Annalisa Cesaroni: da questo. Adesso sto tra le funzioni e cerco di vedere che cosa posso dedurre ancora da questo limite, perché potrò dedurre delle altre cose abbastanza importanti. Quindi abbiamo che il limite per X che tende a più infinito di 1 più 1 fratto X alla X è uguale a De
57:47:320Annalisa Cesaroni: Ora
57:49:480Annalisa Cesaroni: vi
57:52:690Annalisa Cesaroni: scrivo il limite. Prendo un numero areale a positivo tale che limmi e voglio calcolarmi il limite per X che tende a più infinito di 1 o più. Afratto X
58:02:960Annalisa Cesaroni: ha fissato alla X,
58:08:650Annalisa Cesaroni: allora vedete che è positivo.
58:12:70Annalisa Cesaroni: X ed è fissato.
58:18:750Annalisa Cesaroni: Posso pensare cosa faccio e voglio cercare di riscrivermi tutto quanto nella nuova variabile. Questo lo posso scrivere come il limite per X che tende a più infinito di 1 o più
58:30:800Annalisa Cesaroni: 1 fratto x-fatto A.
58:33:830Annalisa Cesaroni: Il fratto ha lo metto sotto
58:35:940Annalisa Cesaroni: elevato alla X-fatto A Pera.
58:39:50Annalisa Cesaroni: moltiplico e divido per
58:41:180Annalisa Cesaroni: nell'esponente.
58:43:250Annalisa Cesaroni: E adesso mi ricordo che potenza di potenza è
58:46:810Annalisa Cesaroni: il prodotto delle potenze quindi e levare alla X fratto a e poi elevare a là è la stessa cosa. Ora vediamo che questo x-stratto a che compare qui.
58:56:330Annalisa Cesaroni: X tenga più infinito e hai un numero positivo, hai fissato, non tende da nessuna parte a quanto tenderà x-fatto a tenderà più infinito.
59:05:630Annalisa Cesaroni: X fratto a tende a più infinito anche lui, perché
59:09:210Annalisa Cesaroni: X tende a più infinito e A è positivo, fissato.
59:14:690Annalisa Cesaroni: E quindi, questo, è come dire il limite per il Psion, che tende a più infinito di 1 fratuno fra alla Ypsi, non tutto elevato ala.
59:23:880Annalisa Cesaroni: Questo è questo tende
59:26:310Annalisa Cesaroni: questo
59:28:140Annalisa Cesaroni: questo limite qua.
59:30:240Annalisa Cesaroni: vedete chiamando Xx, questo tende a de elevato alà.
59:42:150Annalisa Cesaroni: Quindi il limite per X che tende a più infinito di 1 più afratto X alla X è uguale a de Al La
59:51:350Annalisa Cesaroni: e Teorema ponte anche il limite perenne che tenga più infinito di 1 più a fratto, enne e levato la n tende a detta là,
00:00:860Annalisa Cesaroni: teorema ponte. Dall'altra parte.
00:03:110Annalisa Cesaroni: Ok.
00:04:540Annalisa Cesaroni: questo è un altro limite importante.
00:11:700Annalisa Cesaroni: Vi
00:13:840Annalisa Cesaroni: altro limite Che posso.
00:16:690Annalisa Cesaroni: Altro limite che posso trovare
00:20:60Annalisa Cesaroni: altro limite che posso trovare, o che il limite per X, che tende a più infinito. Abbiamo detto di 1 più afratto X e levato la X uguale a dealano con appositivo, allora e il limite per X che tende a 0 di 1 o più a per X e levatolo 1 a fratto X è 0 più
00:41:150Annalisa Cesaroni: a quanto attenderà se X tende a 0 più
00:44:870Annalisa Cesaroni: 1 fratto X tende a
00:47:500Annalisa Cesaroni: è finito.
00:49:630Annalisa Cesaroni: Quindi questo è il limite per X che tende a 0 più di 1 , più a fratto, 1 fratto X moltiplicare peretterà per X è come dividere per 1 fratto Xx.
01:06:940Annalisa Cesaroni: Ok.
01:09:460Annalisa Cesaroni: a quanto tende. Questo è esattamente fare il limite per Ypslon, che tende a più infinito di 1 più afratto, Y, lo è elevato alla Ypsilon, cioè e Ala.
01:25:20Annalisa Cesaroni: Se X tengazzro più
01:27:630Annalisa Cesaroni: Vi
01:32:450Annalisa Cesaroni: ora ora
01:38:740Annalisa Cesaroni: ora, e mi chiedo, beh, ma questa funzione qua è definita anche per X, cioè questa funzione, la funzione che X associa 1 più afratto X elevato alla Ricks è definita anche per X molto negativo. No? Perché
01:55:310Annalisa Cesaroni: Quindi potrei provare a calcolarmi il limite per X che tende a meno infinito di 1 più 1 fratto X elevato alla X, Ha senso calcolarlo? No. Perché, come ha fatto il dominio di questa funzione? Beh, è sufficiente che questa quantità qui sia maggiore di 0 perché io possa calcolarci l'esponenziale. No 1 più 1 fratto X deve essere maggiore di 0 . Quindi
02:18:640Annalisa Cesaroni: vi
02:23:230Annalisa Cesaroni: come si fa? E quindi, mi chiedo, esiste il limite per X che tende a meno infinito di 1 più 1 fratto X alla X.
02:31:280Annalisa Cesaroni: Io so il limite per X che tende a più infinito.
02:36:180Annalisa Cesaroni: Come faccio allora? E se X tende a me a più infinito, a meno infinito, scusate.
02:44:540Annalisa Cesaroni: a meno infinito.
02:46:400Annalisa Cesaroni: X tenderà a meno meno infinito, cioè più infinito. Cerco di riscrivermi di fare un conticino algebrico e di passare da X a meno X.
02:56:260Annalisa Cesaroni: Quindi 1 più 1 fratto, meno meno x, e levato alla meno Meno X. Ok.
03:05:320Annalisa Cesaroni: Scriviamo tutto così al posto di scrivere al posto di scrivere X, scrivo meno meno X
03:12:890Annalisa Cesaroni: allora. Quindi questo diventa.
03:14:920Annalisa Cesaroni: Chiamo meno X. Lo chiamo yazi, non tanto per non dovermi portare dietro tutta questa cosa. Quindi questo diventerà
03:23:360Annalisa Cesaroni: 1 fratto meno Y
03:26:670Annalisa Cesaroni: è levato alla meno Y Graziel: Ok.
03:30:880Annalisa Cesaroni: Ho chiamato Ylon Meno X, e ho scritto x come meno men Quindi X sarebbe meno Youtube
03:39:580Annalisa Cesaroni: se Ypsi non è meno x-
03:42:230Annalisa Cesaroni: ok? Quindi questo è 1 meno 1 fratto Y non elevato alla meno Y Graziel.
03:48:870Annalisa Cesaroni: Ok.
03:50:390Annalisa Cesaroni: Questo è:
03:52:430Annalisa Cesaroni: diamo il minimo comune multiplo ipsilomeno 1 fra to Yo Ylon, alla meno Y Grazielon.
03:58:680Annalisa Cesaroni: Vi
04:00:640Annalisa Cesaroni: cosa vuol dire elevare? Ho dato il minimo comune multiplo qua dentro? Cosa vuol dire elevare
04:06:220Annalisa Cesaroni: meno? Y Grazie. Queste cose qui sono conticini algebrici. E
04:13:60Annalisa Cesaroni: cosa vuol dire levare alla meno Inps non vuol dire scambiare, e non ammiratore con denominatore. Quindi vuol dire Ypsilon, fratto Ypsil meno 1 elevato alla
04:24:170Annalisa Cesaroni: Kay. Ho scambiato un numeratore con denominatore.
04:28:360Annalisa Cesaroni: Ora
04:30:970Annalisa Cesaroni: questo come lo posso scrivere lo posso scrivere come Ipsil meno 1 , più 1 fratto Ipsilomeno 1 tutto elevato alla Y Cilon ho aggiunto e tolto 1 . Perché perché questo lo voglio scrivere come 1 più 1 fratto ipsilomeno 1 e il patto alla
04:48:90Annalisa Cesaroni: Vedete che è sempre la stessa cosa.
04:54:770Annalisa Cesaroni: Questa cosa qui, se ridate il minimo comune multiplo, qua, trovate esattamente Questo è esattamente lui. Ok.
05:03:130Annalisa Cesaroni: perché qua, diamo il minimo comune motivo? E il sì, o meno. 1 ma qua faccio Youtube o meno 1 , più 1 ipsi. Lo mi rimane numeratore. Ok.
05:13:640Annalisa Cesaroni: Ma adesso. Adesso.
05:17:250Annalisa Cesaroni: Adesso, Quindi il limite per X che tende a meno infinito di 1 più 1 fratto X alla X.
05:25:830Annalisa Cesaroni: L'abbiamo riscritto.
05:27:960Annalisa Cesaroni: Questo era 1 più 1 fratto X alla X. No, questo L'abbiamo riscritto. Questa quantità qui. L'abbiamo riscritta come questa
05:37:620Annalisa Cesaroni: questa quantità Qui l'abbiamo riscritta come questa.
05:41:150Annalisa Cesaroni: facendo il cambio
05:43:350Annalisa Cesaroni: chiamando Ypsil: meno X.
05:46:320Annalisa Cesaroni: Ora, se X tende a meno infinito, dove tende Ypsilo Fende a meno meno infinito, cioè più infinito.
05:55:370Annalisa Cesaroni: Ok?
05:57:90Annalisa Cesaroni: Quindi questo è il limite per ylon che tende a più infinito. Yp: Lo uguale a meno X di 1 fratto Ypsil o meno 1 elevato alla
06:12:850Annalisa Cesaroni: perché abbiamo fatto vedere che questa quantità qui è esattamente uguale a questa. Quando chiamo Yplor meno X, Ok, facendo i conticini.
06:26:180Annalisa Cesaroni: Questo è esattamente uguale a quell'altro. Ok? Siamo partiti da 1 più rocato X alla X.
06:32:180Annalisa Cesaroni: Abbiamo scritto al posto di X, Abbiamo scritto meno Ypsil, Ok, 1 più al posto di X. Abbiamo scritto meno Yps, non meno x. Abbiamo dato il minimo comune multiplo qua dentro, ha fatto i conti e levato alla meno Yps. Non tolto il meno dall'esponente e cambiato un numeratore con denominatore.
06:52:510Annalisa Cesaroni: Quindi, Ma questo, che cos'è questo? Che cos'è? È il limite per Youtube che tende a più infinito. Di che cosa
07:00:620Annalisa Cesaroni: vedete? Abbiamo 1 più 1 fratto? Ypsil o meno 1 elevato. Se volete, all'ex lo meno 1 xylo fratto Ypsil meno 1 .
07:10:400Annalisa Cesaroni: Così
07:12:910Annalisa Cesaroni: questa quantità qui dentro, A cosa mi tende?
07:17:490Annalisa Cesaroni: Allora, se ypsi lo tende a più infinito.
07:20:620Annalisa Cesaroni: Xylella, meno 1 tende a più infinito.
07:25:350Annalisa Cesaroni: Questa quantità qui dentro
07:27:750Annalisa Cesaroni: tende a be
07:30:710Annalisa Cesaroni: perché 1 più 1 fratto, qualcosa che tenga più infinito è levato a quella qualcosa, e tende a di
07:37:410Annalisa Cesaroni: questo esponente qui a cosa tende? Tende a 1 perché Questo è Ipsil, un fratto Xy, Lo meno 1 . Lo scrivo come ipsino. Sotto raccolgo la
07:50:980Annalisa Cesaroni: hip, lo tenga più infinito: 1 fra hip si contende a 0 o 1 fratto 1 . Quindi questo tende a 1 . Quindi questo limite tende a de
07:59:130Annalisa Cesaroni: anche il limite per X che tende a meno infinito di questa cosa, tende a
08:06:00Annalisa Cesaroni: anche il limite a meno infinito tende a te. E si fa questo trucchetto, Quindi il limite per X che tende a più infinito o a meno infinito di 1 più
08:15:970Annalisa Cesaroni: a fratto X elevato alla X è sempre uguale a de elevato a là, sia Xtenda, più infinito sia che Xtenda, meno infinito, sia che ha sia positivo sia che ha sia negativo qualsiasi cosa. Ok.
08:37:140Annalisa Cesaroni: Ora, benissimo. Questa è una prima. È una prima cosa. Da Ovviamente il terreno ponte non ha senso. Può farlo perché non farò n che tengami un infinito no? Te Ema ponte lo lascio stare qua.
08:51:170Annalisa Cesaroni: Il suo
08:52:170Annalisa Cesaroni: Ora passo invece al caso, vedete visto che Xtend può tendere anche a meno infinito. Allora qua potevo anche prendere x che tende a 0 . Meno.
09:03:310Annalisa Cesaroni: Ok, Quindi ha esattamente come nell'altro caso, anche il limite per X che tende a 0 si azzarro più che 0 meno di 1 , più Af: per I alla X elevato alla 1 fratto X tende a de a là per ogni a diverso da 0 ,
09:19:979Annalisa Cesaroni: perché questo è vero perché, e devo calcolarmi il limite per X che tende a 0 più il limite per X che tende alzare o meno, e vedo che entrambi sono uguali a dea là
09:30:710Annalisa Cesaroni: limite per X che tende a 0 più
09:33:430Annalisa Cesaroni: di 1 più Up X all' 1 fratto X. Allora qui dico: e scrivo il limite per X che tende a 0 più di 1 o più a fratto 1 fratto X
09:47:80Annalisa Cesaroni: e
09:48:680Annalisa Cesaroni: 1 fratto X Qua tende 1 fratto X tende a più infinito. Quindi questo è, E Ala.
09:55:850Annalisa Cesaroni: Il limite per X che tende a 0 meno di 1 più a x Levatolo, 1 fratto X è uguale al limite per X che tende a 0 meno della stessa cosa, 1 più a fratto 1 fratto X.
10:08:250Annalisa Cesaroni: Tutto quanto è levato alla 1 fratto X.
10:10:800Annalisa Cesaroni: Questo allora, in questo caso 1 fratto, X tende a meno infinito.
10:17:50Annalisa Cesaroni: Ma abbiamo detto che anche per i per y che teniamo all'infinito questo è E Ala: Quindi questi 2 sono uguali, vuol dire che il limite.
10:24:650Annalisa Cesaroni: il limite destro coincide col limite sinistro, vuol dire che il limite è uguale, a quello
10:32:760Annalisa Cesaroni: quindi il limite per x che tende a 0 di 1 più a per X, Se hai diverso da 0 , se no, questo sarebbe la funzione, è identicamente uguale a 1 .
10:44:340Annalisa Cesaroni: Quindi il limite è 1 , ovviamente. Ok.
10:49:70Annalisa Cesaroni: vabbè quindi coincide anche allo 0,1 .
10:56:110Annalisa Cesaroni: Che cos'altro deduciamo da questo? Riduciamo un altro limite importante.
11:02:80Annalisa Cesaroni: un altro limite notevole, Allora, quindi questo è un altro limite importante. Questo è un limite importante.
11:08:850Annalisa Cesaroni: e ovviamente qua non faccio il teorema ponte perché non ci sono. Cioè, non ha senso calcolare il limite della successione per anni che tende a 0 . Ok, allora altro limite importante, Faccio il limite per X che tende a 0 di logaritmo di 1 più a X Fratto X
11:29:600Annalisa Cesaroni: con a diverso da 0
11:31:910Annalisa Cesaroni: limite per X che tende a 0 di questa cosa qua. Che cos'è?
11:38:430Annalisa Cesaroni: Questo è un altro limite notevole Allora vedete che il logaritmo d' 1 più a per X è ben definito
11:48:600Annalisa Cesaroni: se 1 più a x è maggiore di 0 no? Ma qua, sto mandando X a 0 sextende a 0
11:57:180Annalisa Cesaroni: qua. Questa quantità qui, 1 più per X rimane positiva, perché è 1 più qualcosa di molto piccolo. Quindi ci siamo il limite. Lo posso calcolare. Ora, che cosa Che cosa osservo? Osservo che questo è il limite per X che tende a 0 di
12:13:100Annalisa Cesaroni: 1 fratto X logaritmo di 1 più a per X dividere, per dividere, per X
12:19:510Annalisa Cesaroni: dividere per X è come moltiplicare per 1 fratto X e moltiplicare e un fattore davanti al logarismo, Lo porto dentro come
12:28:650Annalisa Cesaroni: esponente.
12:31:660Annalisa Cesaroni: quindi qua, proprietà del logaritmo
12:36:360Annalisa Cesaroni: Questo è il limite per X che tende a 0 di logaritmo di 1 più a X elevato, alla 1 fratto X.
12:43:710Annalisa Cesaroni: Questo fattore davanti al Logaritmo. Lo porto dentro come esponente dell'argomento del Logaritmo. No?
12:50:890Annalisa Cesaroni: Perché ho che a per logaritmo di B è uguale al logaritmo di B elevato, là
12:56:900Annalisa Cesaroni: il fattore davanti lo porto dentro come esponente dell'argomento del logaritmo.
13:02:550Annalisa Cesaroni: Ora.
13:04:420Annalisa Cesaroni: a quanto tende questa quantità qui dentro per X, che tende a 0
13:09:870Annalisa Cesaroni: 1 più a x elevato a 1 tratto x tende a Dea. La
13:14:190Annalisa Cesaroni: Questo tende a dea il logaritmo è continuo. Quindi questo spende al logaritmo di Ala, cioè a
13:24:650Annalisa Cesaroni: chi è logaritmo di elaà: Ah, Quindi questo limite è a
13:30:520Annalisa Cesaroni: x uguale a se ha uguale a 1 . Questo sarà 1 .
13:39:670Annalisa Cesaroni: Questo è un altro limite notevole. Importante.
13:43:850Annalisa Cesaroni: quindi logaritmo di 1 più x tratto X tenga da ha fissato, quindi logaritmo Per esempio, se devo calcolarmi logaritmo di 1 più tra x fratto X, il link fratto X per X che tende a 0 tenderà a 3 .
14:03:170Annalisa Cesaroni: Ok.
14:07:510Annalisa Cesaroni: Lo scrivo di lacchia Sennò non c'è spazio
14:11:50Annalisa Cesaroni: ultimo limite associato facciamo il limite per X che tende a 0
14:19:990Annalisa Cesaroni: di Healy e alla X meno 1 fratto X. Vedete.
14:24:450Annalisa Cesaroni: Vedete, che questo sarebbe una forma indeterminata. Sto risolvendo forme indeterminate in questo modo. Perché vedete che e se io volessi calcolarmi a mano il limite che cosa avrei avrei il logaritmo di 1 fratto 0 , lo Caritrudi 1 a 0 0 : 0 , Euro fatto 0 . Questa sarebbe una forma indeterminata che sto risolvendo in questo modo.
14:47:750Annalisa Cesaroni: questa è una forma indeterminata perché per X che tende a 0 e alla 0 è uguale a 1 meno 1 : 0 0 0 . 0 .
14:55:660Annalisa Cesaroni: Queste sarebbero tutte forme indeterminate che sto risolvendo a mano.
15:00:920Annalisa Cesaroni: Sarebbe una forma indeterminata
15:04:270Annalisa Cesaroni: 0 su 0 . Però come faccio a risolverla? L'ho risolta, perché so che il limite, perché so che il numero è uguale a questo limite qua.
15:19:710Annalisa Cesaroni: L'ultimo è questo. Allora, cosa faccio qua? Qua. Devo fare un conticino un po più. Allora dico, x uguale logaritmo Diéala x.
15:29:810Annalisa Cesaroni: Vi
15:31:280Annalisa Cesaroni: e questo è logaritmo di 1 e alla x meno 1
15:37:280Annalisa Cesaroni: non cambia niente.
15:42:620Annalisa Cesaroni: Allora questo lo posso scrivere come il limite per X che tende a 0 di e alla X meno 1 fatto logaritmo di 1 o più, e alla x meno 1 .
15:54:310Annalisa Cesaroni: Ho scritto x come logaritmo di Elena X.
15:57:830Annalisa Cesaroni: Ok, questo è sempre vero per ogni xport reale, positivo o negativo o nullo.
16:03:940Annalisa Cesaroni: E poi l'ho scritto così. Allora
16:07:100Annalisa Cesaroni: vedo che ciò e alla X meno 1 sotto era X meno 1 sopra.
16:11:410Annalisa Cesaroni: si stende a 0 a quanto tende se X tende a 0 a quanto tende, e alla X meno 1 :
16:18:560Annalisa Cesaroni: tende a eacute.
16:24:300Annalisa Cesaroni: Ok? E alla X meno 1 tenga a 0 . No, La quantità in azzurro. Quindi questo è come il limite per Yazilon, che tende a 0 di ipsilonfratto logaritmo di 1 più,
16:40:550Annalisa Cesaroni: dove, al posto della quantità in azzurro, mi sono dimenticata quant'è la quantità in azzurro? L'unica cosa che mi interessa è dove tende, tenga a 0 .
16:49:860Annalisa Cesaroni: Che cos'è? Questo Questo è il reciproco di un limite che sappiamo calcolare.
16:56:50Annalisa Cesaroni: Noi sappiamo che il limite.
16:58:610Annalisa Cesaroni: Noi sappiamo che il limite per X che tende a 0 di logaritmo di 1 più x fratto X è uguale a 1 e il caso ha uguale a 1 prima di prima no.
17:09:140Annalisa Cesaroni: se ha uguale a 1 qua.
17:12:540Annalisa Cesaroni: Quindi questo quanto sarà il reciproco Niuno?
17:17:420Annalisa Cesaroni: Quindi 1 :
17:19:810Annalisa Cesaroni: questo limite, anche questo è una forma indeterminata che risolvo in questo modo
17:25:540Annalisa Cesaroni: e alla X meno 1 fratto X tende a 1
17:30:170Annalisa Cesaroni: altro limite notevole che sarà importante per calcolarsi il valore della derivata di hits questi. Ok, quindi questi limiti sono limiti notevoli, che si danno per buoni, e vengono tutti vengono tutti dal grande dal limite di e che però non abbiamo dimostrato. Va bene, Finiamo qua, ci vediamo domani.