>> Programma previsto: argomenti e materiale didattico (update: 18/02/23)

Argomenti. 

• Approssimazione e interpolazione con polinomi algebrici: densita' ed errore di miglior approssimazione; Teorema di Weierstrass. 
• Laboratorio: Costanti di Lebesgue in Matlab.
• Approssimazione e interpolazione con polinomi algebrici. Errore di miglior approssimazione. Teoremi di Jackson. Polinomi di Chebyshev. Stabilita' e costanti di Lebesgue.
• Migliore approssimazione in spazi euclidei. Teorema di Bessel. 
• Cenno alle serie di Fourier in R e C. Polinomi ortogonali. Spazio L^2_w. 
• Funzioni peso. Ricorsione a tre termini. Proprieta' degli zeri di polinomi ortogonali.
• Laboratorio: Calcolo dell'espansione di funzioni continue e periodiche con polinomi trigonometrici complessi. 

Dispense. 

• Approssimazione e miglior approssimazione.
  • [SLIDES].
  • [PDF]


• Laboratorio: Introduzione a Chebfun.
  • [SLIDES],
  • [PDF].
  • Codici Matlab
    1. esempio1.m.
    2. esempio2.m.
    3. esempio3.m.
    4. esempio4.m.


• Miglior approssimazione in spazi euclidei.
  • [SLIDES], 
  • [PDF]


• Polinomi ortogonali.
  • [SLIDES], 
  • [PDF]

Multimedia. 
»Lezioni di teoria:

• Approssimazione e interpolazione con polinomi algebrici 
  
• 
  » Teoria: Argomento 1. Parte 1 (Introduzione al corso ↦ Teorema densita' e E_n(f) ) [47:47]; 
  » Teoria: Argomento 1. Parte 2 (Teorema densita' e E_n(f) ↦ Modulo di continuita' ) [32:09]; 
  » Teoria: Argomento 1. Parte 3 (Errore di miglior approssimazione ↦ Teoremi di Jackson) [11:08]; 
  » Teoria: Argomento 1. Parte 4 (Polinomi di Chebyshev) [5:02]; 
  » Teoria: Argomento 1. Parte 5 (Costante di Lebesgue) [31:06];



• Migliore approssimazione in spazi euclidei. 
  
  » Teoria: Argomento 2. Parte 1 (Spazi Euclidei ↦ Spazi Separabili/BasiOrtogonali) [33:59]; 
  » Teoria: Argomento 2. Parte 2 (Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti ↦ Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi) [41:37]; 
  » Teoria: Argomento 2. Parte 3 (Cenni alla FFT ↦ Stime sulla approssimazione di "f" periodica e continua, in L^2_C con polinomi trigonometrici complessi) [33:13] 



• Polinomi ortogonali 
  
  » Teoria: Argomento 3. Parte 1 (Lo spazio L^2_w. Miglior approssimazione in L^2_w↦ Funzioni peso classiche) [12:21] 
  » Teoria: Argomento 3. Parte 2 (Polinomi ortogonali ↦ Formula di ricorrenza a tre termini) [23:37] 

» Lezioni di laboratorio:

• Chebfun ed esperimenti in teoria dell'approssimazione 
  
  Lezioni:
  
  » Chebfun (Installazione) [1.39]; 
  » Laboratorio: Parte 1 (Introduzione a Chebfun ↦ Esercizi per casa) [39:25]; 
  » Laboratorio: Parte 2 (Confronto di Remez e interpolazione in nodi di Chebyshev per varie funzioni ↦ Confronti con alcune stime teoriche) [17:51]; 
  » Laboratorio: Argomento 1. Parte 3 (FFT e Chebfun. ↦) [32:07] 
  
  Correzione Esercizi:
  
  » Laboratorio: Correzione Esercizio 1 [6:59]; 
  » Laboratorio: Correzione Esercizio 2 [6:20]; 
  » Laboratorio: Correzione Esercizio 3 [15:20]  
  » Laboratorio: Correzione Esercizio 4 [12:35] 
  » Laboratorio: Argomento 1. Parte 3 (Correzione Esercizio 5) [24:11] 

Letture. 

• J.F. Epperson, On Runge example, Amer. Math. Monthly 94 (1987), no. 4, 329-341.
• C. Runge, Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten., Zeitschrift für Math. und Phys. 46 (1901), 224-243.
[Per esperti]
• J.P. Berrut, L. N. Trefethen Barycentric Lagrange interpolation., SIAM Review 46 (2004), 501-517. 
• M. Heideman ; D. Johnson ; C. Burrus, Gauss and the History of the Fast Fourier Transform, IEEE ASSP Magazine (Volume: 1, Issue: 4, October 1984)
• G. Wright, M. Javed, H. Montanelli, L.N. Trefethen, Extension of Chebfun to periodic functions, SIAM Sc. Comput., Vol. 37, No. 5, (2015) pp. 554-573.
• W. Gautschi, Orthogonal polynomials, quadrature, and approximation: computational methods and software, Volume 1883 of the series Lecture Notes in Mathematics, (2006) pp 1-77.
• V. Totik, Orthogonal polynomials, Surveys in Approximation Theory, 1 (2005), 70-125. [Per esperti]
• S.Khrushchev, Orthogonal Polynomials and Continued Fractions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 122. [Per esperti, sul legame tra polinomi ortogonali e frazioni continue. Per formule gaussiane si veda p.300]
• Ball and disk integrator, [HTML]
• Analizzatore armonico di Michelson, [PDF]
• D. Gottlieb and C-W. Shu, On Gibbs phenomenon and its resolution

Chebfun. 
» Alla pagina web https://www.chebfun.org/download/ si trovano le istruzioni per scaricare le routines di Chebfun (compatibile con Matlab 7.9 (R2009b)). 

Il metodo piu' diretto consiste nel lanciare Matlab, e digitare nella sua shell: 
unzip('https://github.com/chebfun/chebfun/archive/master.zip') movefile('chebfun-master', 'chebfun'), addpath(fullfile(cd,'chebfun')), savepath 


» Alla pagina web https://www.chebfun.org/docs/guide/chebfun_guide.pdf si trova un manuale su Chebfun. 

Argomenti. 

• Formule di Newton-Cotes. Formule composte.
• Laboratorio: Esercizio sulle formule composte.
• Formule gaussiane.
• Teoremi sugli errori. Teorema di Stieltjes. Teorema di Polya Steklov con osservazioni.
• Laboratorio: Esercizi sulle formule gaussiane.

Dispense. 

• Quadratura.
  • [SLIDES]
  • [PDF]


• Laboratorio.
  • [SLIDES].
  • [PDF].
  • [.m].

Multimedia. 

• Lezioni di teoria
  
  » Teoria: Argomento 4. Parte 1 (Introduzione alla quadratura numerica ↦ Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione) [14:06] 
  » Teoria: Argomento 4. Parte 2 (Formule di Newton-Cotes ↦ Formula di Cavalieri-Simpson composta) [29:43] 
  » Teoria: Argomento 4. Parte 3 (Formula Gaussiana ↦ Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione)) [31:56] 
  » Teoria: Argomento 4. Parte 4 (Errori formule Newton-Cotes ↦ Alcune considerazioni sul teorema di Stieltjes) [46:45] 
  » Teoria: Argomento 4. Parte 5 (Teorema di Polya-Steklov (con dimostrazione) ↦ Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane)) [34:22] 
  
  
• Lezioni di laboratorio
  
  » Laboratorio: Argomento 4. Parte 1 (Formule composte in Matlab (trapezi e Cavalieri Simpson). ↦ Esercizio 1) [37.35] 
  » Laboratorio: Argomento 4. Parte 2 (Formule gaussiane in Matlab ↦ Esercizi) [36:37] 
  
  
• Correzione esercizi
  
  » Laboratorio: Argomento 4. Correzione Esercizio 1 [26:50] 
  » Laboratorio: Argomento 4. Correzione Esercizio 2 [22:46]  ↓ 
  Letture. 
  
  • W. Gautschi, A Survey of Gauss-Christoffel Quadrature Formulae
  • L.N. Trefethen, J.A.C. Weideman, The Exponentially Convergent Trapezoidal Rule, SIAM review, vol. 56, No. 3, 2014, pp. 385-458.

Argomenti. 

• Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel.
• Algebra lineare numerica: metodi SOR e di Richardson. Teorema di convergenza (caso diagonalizzabile).
• Teorema di convergenza (caso diagonalizzabile). Teorema di Hensel (caso generale). Alcuni teoremi di convergenza di Jacobi, Gauss-Seidel, SOR. Test di Arresto.
• Laboratorio: Esercizi sui metodi iterativi stazionari.
• Metodi di discesa: Gradiente classico e Gradiente coniugato.
• Localizzazione di autovalori: alcuni teoremi di Gershgorin.
• Metodo delle potenze (dirette e inverse). Convergenza del metodo delle potenze. Metodo QR.
• Laboratorio: Esercizi sul calcolo degli autovalori/autovettori di matrici.

Dispense. 

• Algebra lineare numerica.
  • [SLIDES].
  • [PDF].


• Laboratorio: Algebra lineare numerica.
  • [SLIDES].
  • [.m].
  • [PDF].


• Autovalori.
  • [SLIDES].
  • [PDF].


• Laboratorio: Autovalori.
  • [SLIDES].
  • [.m].
  • [PDF].

Multimedia. 

• Algebra lineare numerica 
  
  » Teoria: Argomento 5. Parte 1 (Metodi iterativi. Introduzione ↦ Metodo di Jacobi) [22:47] 
  » Teoria: Argomento 5. Parte 2 (Metodo di Jacobi: un esempio su una matrice 3 x 3. ↦ Norme di matrici e loro proprieta') [42:50] 
  » Teoria: Argomento 5. Parte 3 (Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale (con dimostrazione) ↦ Convergenza per matrici simmetriche, definite positive [45:05] ↓ 
  » Teoria: Argomento 5. Parte 4 (Test dello step ↦ Stima dell'errore del gradiente coniugato) [59:30] ↓ 
  
  
• Lezioni di laboratorio
  
  » Laboratorio: Argomento 5. Parte 1 (Jacobi e SOR in Matlab ↦ Esercizio su minij) [22:20] ↓ 
  » Laboratorio: Argomento 5. Parte 2 (Gradiente coniugato in Matlab ↦ Esercizio su poisson) [36:36] ↓ 
  
  
• Correzione esercizi
  
  » Laboratorio: Argomento 5. Correzione Esercizio 1 [19:01]  ↓ 
  » Laboratorio: Argomento 5. Correzione Esercizio 2 [10:29]  ↓


• Autovalori 
  » Teoria: Argomento 6. Parte 1 (Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi) ↦ Metodo delle potenze inverse con shift) [47:15] ↓ 
  » Teoria: Argomento 6. Parte 2 (Metodo QR ↦ Implementazione di QR con matrici di Hessenberg) [20:29] ↓
• Laboratorio Autovalori. 
  
  » Laboratorio: Argomento 6. Parte 1 (Metodo delle potenze ↦ Esempi ed esercizi) [38:38] ↓ 
  » Laboratorio: Argomento 6. Correzione Esercizio 1 [12:21]  ↓ 
  
  

Letture. 

• G.H. Golub, D.P. O'Leary, Methods of Conjugate Gradient and Lanczos algorithms: 1948-1976, SIAM Review, Vol.31, n.1, p.50-102, March 1989.
• M.R. Hestenes, E. Stiefel, Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems, J. Res. of the National Bureau of Standards, Vol.49, n.6, Dec. 1952.
• D.P. O'Leary, Some History of Conjugate Gradients and Other Krylov Subspace Methods, SIAM Applied Linear Algebra Meeting 2009.
• Y. Saad, 
  • Iterative Methods for Sparse Linear Systems [parte 1]
  • Iterative Methods for Sparse Linear Systems [parte 2]
  • Iterative Methods for Sparse Linear Systems [parte 3]
  • Iterative Methods for Sparse Linear Systems [parte 4]
• Y. Saad, Numerical methods for large eigenvalue problems, SIAM (2011).
• J. G. F. Francis, The QR Transformation A Unitary Analogue to the LR Transformation. Part 1, The Computer Journal, Volume 4, Issue 3 (1961), p. 265-271.
• J. G. F. Francis, The QR Transformation. Part 2, Volume 4, Issue 4 (1962), p. 332-345.
• G. Golub, F. Uhlig, The QR algorithm: 50 years later its genesis by John Francis and Vera Kublanovskaya and subsequent developments, IMA Journal of Numerical Analysis (2009) 29, pp. 467-485.
• D. Bini, I teoremi di Gerschgorin.
• G. Golub, A. van der Vorst, Eigenvalue computation in the 20th century, Journal of Computational and Applied Mathematics Volume 123, Issues 1-2, 1 November 2000, Pages 35-65.

Argomenti. 

• Metodo di Eulero esplicito ed implicito. Consistenza.
• Convergenza Eulero esplicito (caso Lipschitziano). 
• Laboratorio: Esercizi su Eulero esplicito, implicito e formula dei trapezi.
• Assoluta stabilita', Metodi linear multistep.
• Convergenza linear multistep e barriere di Dahlquist.
• Laboratorio: Esercizi su ODE.

Dispense. 

• Equazioni differenziali ordinarie.
  • [SLIDES]
  • [PDF].
  • Laboratorio: Equazioni differenziali ordinarie.
    [SLIDES] [.m] [PDF]
  Multimedia. 
  
  • Lezioni di teoria
    
    » Teoria: Argomento 7. Parte 1 (Problema di Cauchy ↦ Linear Multistep methods (LMM)) [24:04] ↓ 
    » Teoria: Argomento 7. Parte 2 (Metodi LMM per quadratura. ↦ Convergenza) [61:16] ↓ 
    » Teoria: Argomento 7. Parte 3 (Convergenza LMM ↦ Convergenza Eulero implicito (con dimostrazione).) [47:23] ↓ 
    » Teoria: Argomento 7. Parte 4 (A Stabilita' ↦ Runge-Kutta (ordine 2 e 4)) [54:01] ↓ 
    
    
  • Lezioni di laboratorio
    
    » Laboratorio: Argomento 7. Parte 1 (Equazioni Differenziali Ordinarie in Matlab: Eulero esplicito, Eulero implicito, Crank-Nicolson. ↦ Esercizi) [17:04]↓ 
    » Laboratorio: Argomento 7. Parte 2 (RK2 ↦ Esercizi) [07:09] ↓ 
    » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 1 [5:06]  ↓ 
    » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 2 [7:06]  ↓ 
    » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 3 [7:27]  ↓ 
    » Laboratorio: Argomento 7. Correzione Esercizio 5 [15:21]  ↓ 
    » - 
    Letture. 
    
    
    • C. F. Curtiss and J. O. Hirschfelder, Integration of Stiff Equations, PNAS March 1, 1952. 38 (3) 235-243.
    • G. Dahlquist, A special stability problem for linear multistep methods, BIT Numerical Mathematics, March 1963, Volume 3, Issue 1, pp 27-43.
    • G. Dahlquist, 33 years of numerical instability, Part I. BIT Numerical Mathematics, March 1985, Volume 25, Issue 1, pp.188-204.

Argomenti. 

• Problema di Poisson univariata con metodo alle differenze.
• Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
• Esempio.
• Equazione del calore.
• Metodo delle linee.
• Alcune stime (autovalori, condizionamento e errori). 
• Test di stabilita' e comportamento Eulero esplicito ed implicito.

Dispense. 

Teoria 

• Equazione di Poisson
  • [SLIDES]
  • [PDF].


• Equazione del calore
  • [SLIDES]
  • [PDF]

Laboratorio 

Equazione di Poisson

• [SLIDES]
• [.m]
• [PDF]

Equazione del calore

• [SLIDES]
• [.m]
• [PDF]

Multimedia. 

Lezioni di teoria

» Teoria: Argomento 9. Parte 1 (Equazione del calore ↦ Alcune stime) [37:04] ↓ 
» Teoria: Argomento 9. Parte 2 (Equazione del calore e test di stabilita' ↦ Nota sul condizionamento di certe matrici) [51:33] ↓ 

Lezioni di Laboratorio


» Laboratorio: Argomento 8. Parte 1 (Problema di Poisson ↦ Esempi) [41:40] ↓ 
» Laboratorio: Argomento 9. Parte 1 (Equazione del calore in Matlab ↦ Eulero esplicito, implicito e theta metodi.) [40:17] ↓ 

Il file [PDF] contiene gli esercizi che gli studenti devono svolgere personalmente.