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  1. 2022-IN0515-000ZZ-2022-IN18101050-SF0802-IN0515
  2. >> Programma dettagliato e materiale didattico (update: 19/05/23)

>> Programma dettagliato e materiale didattico (update: 19/05/23)



Programma di teoria 

  • Numeri macchina: 

    » Rappresentazione dei numeri reali. 
    » Un esempio. 
    » Numeri macchina. 
    » Alcune proprieta' numeri macchina (minimo, massimo). 
    » Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura). 
    » Precisione singola e doppia; 
    » Troncamento e arrotondamento (con esempi e osservazioni); 
    » Precisione di macchina; 
    » Errori relativi e assoluti (per numeri e vettori), con esempi; 
    » Unita' di arrotondamento. 
    » Operazioni con i numeri macchina; 
    » Proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni floating point (con esempi); 
    » Errori nelle operazioni e loro propagazione; 
    » Il caso della somma, con dimostrazione; 
    » Esempio sulla cancellazione; 
    » Il caso del prodotto, con dimostrazione; 
    » Alcune problematiche numeriche; 
    » Valutazione di una funzione (condizionamento di una funzione); 
    » Alcuni esempi del condizionamento. 
    » Stabilita' di un algoritmo. 
    » Calcolo di una radice di secondo grado. 
    » Approssimazione di pi greco. 
    » Una successione ricorrente. 
    » Sulla somma ((1+x)-1)/x. 
    » Sulla valutazione di f(x)=x come tan(arctan(x)). 
    » Valutazione di polinomi: complessita' computazionale. 
    » Potenza di un numero. 
    » Determinanti: confronto della regola di Laplace e metodo con fattorizzazione LU.

  • Soluzione di equazioni non lineari: 

    » Soluzione numerica di equazioni nonlineari esempi, grafici e metodi iterativi. 
    » Ordine di convergenza, con esempio. 
    » Metodo di bisezione. 
    » Convergenza del metodo di bisezione. 
    » Test di arresto per il metodo di bisezione (con esempi). 
    » Metodo di Newton. 
    » Interpretazione grafica del metodo di Newton. 
    » Test di arresto per il metodo di Newton. 
    » Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione). 
    » Un teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione). 
    » Newton e zeri multipli. 
    » Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli). 
    » Newton: radici quadrate ed n-sime. 
    » Metodo delle secanti. 
    » Metodo delle secanti: un teorema di convergenza. 
    » Metodo delle secanti: un esempio. 
    » Metodi di punto fisso: introduzione. 
    » Teorema di punto fisso di Banach (senza dimostrazione). 
    » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (senza dimostrazione). 
    » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (ordine p, senza dimostrazione). 
    » Metodo di Newton come metodo di punto fisso. 
    » Metodo di Newton e teorema di punto fisso di convergenza locale (traccia della dimostrazione).

  • Interpolazione polinomiale: 

    » Interpolazione: introduzione. 
    » Esistenza e unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione) 
    » Errore di interpolazione (senza dimostrazione) 
    » Esempio di stima dell'errore di interpolazione. 
    » Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev; 
    » Convergenza uniforme: una stima uniforme dell'errore tra funzione e polinomio interpolatore; 
    » Teorema di Faber e di Bernstein; 
    » Controesempio di Runge: comportamento dell'interpolante in nodi equispaziati e di Chebyshev; 
    » Stabilita' dell'interpolazione polinomiale: stime, costante di Lebesgue; 
    » Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev.

  • Funzioni polinomiali a tratti e splines: 

    » Un problema dell'interpolazione polinomiale. 
    » Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s". 
    » Esistenza e unicita' delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s" su dati che sono multiplo di "s". 
    » Errore dell'interpolante polinomiale a tratti di grado 1. 
    » Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1". 
    » Splines. 
    » Differenza tra splines e interpolanti polinomiali a tratti. 
    » Splines cubiche interpolanti. 
    » Analisi dell'unicita' delle splines cubiche. 
    » Splines naturali, vincolate e periodiche. 
    » Splines not-a-knot. 
    » Convergenza delle splines cubiche. 
    » Osservazione sulla convergenza uniforme. 
    » Esperimento di Runge.

  • Minimi quadrati: 

    » Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni. 
    » Teorema che lega il numero di campionamenti all'errore dei minimi quadrati. 
    » Alcuni esempi. 
    » Curve fitting. 
    » Regressione lineare (con esempio). 
    » Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati.

  • Derivazione numerica: 

    » Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme. 
    » Analisi del rapporto incrementale (con dimostrazione). 
    » Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione). 
    » Esempi. 
    » Analisi del metodo alle differenze simmetriche (con dimostrazione). 
    » Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione). 
    » Esempi.

  • Integrazione numerica: 

    » Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione). 
    » Formule interpolatorie. 
    » Grado di precisione. 
    » Grado di precisione delle formule interpolatorie. 
    » Regole del rettangolo: definizione ed errore. 
    » Regola midpoint: definizione ed errore. 
    » Formule di Newton-Cotes chiuse. 
    » Regola del trapezio ed errore. 
    » Regola di Cavalieri-Simpson ed errore. 
    » Formule composte e splines. 
    » Formula composta midpoint, errore, grado di precisione, esempio. 
    » Formula composta trapezi, errore, grado di precisione, esempio. 
    » Formula composta Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione, esempio. 
    » Formule composte: esempi e rapporti di convergenza. 
    » Stabilita' formule di quadratura (con dimostrazione). 
    » Convergenza di alcune formule di quadratura (legame con la convergenza uniforme). 
    » Il caso delle formule di Newton-Cotes, di quelle basate sull'integrazione di interpolanti in nodi di Chebyshev e delle formule composte. 
    » Esempi.

  • Estrapolazione: 

    »  Il concetto di estrapolazione. 
    »Estrapolazione di Richardson. 
    » Le tabelle di estrapolazione. 
    » Formula dei trapezi composte e metodo di Romberg.

  • Algebra Lineare Numerica: 

    » Norma di vettori (definizione) 
    » Norme "p" e infinito. 
    » Esempi. 
    » Norme indotte di matrici (definizione). 
    » Raggio spettrale. 
    » Norme indotte di matrici (esempi p=1, p=2, p=inf). 
    » Sistemi perturbati Ax=b e numero di condizionamento (solo asserto, con esempio). 
    » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare. 
    » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare: complessita' computazionale. 
    » Risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana (esempio matriciale). 
    » Matrici cui a priori e' applicabile l'eliminazione gaussiana: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive. 
    » Fattorizzazione LU. 
    » Complessita' computazionale A=LU (senza dimostrazione). 
    » Risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana e loro legame con la fattorizzazione LU. 
    » Problematiche della fattorizzazione LU e della risoluzione dei sistemi lineari. 
    » Esempio di risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana con pivoting. 
    » Risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana con pivoting. 
    » Matrici di permutazione. 
    » Fattorizzazione PA=LU. 
    » Risoluzione del sistema Ax=b, nota PA=LU. 
    » Tempi di calcolo. 
    » Fattorizzazione Cholesky e sua complessita'. 
    » Risoluzione del sistema Ax=b, nota la Fattorizzazione Cholesky 
    » Determinante di una matrice: complessita' Laplace vs LU. 
    » Inversa: cofattori vs LU. 
    » Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione. 
    » Metodi iterativi stazionari: x^(k+1)=Bx^(k)+c. 
    » Metodi iterativi stazionari: legame tra metodo e soluzione di un problema di punto fisso. 
    » Metodi iterativi stazionari: un teorema di convergenza globale legato al raggio spettrale di B (senza dimostrazione). 
    » Metodo di Jacobi (esempio matrice 3 x 3). 
    » Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3). 
    » Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel (caso generale). 
    » Splitting A=D-E-F. 
    » Splitting A=P-N. 
    » Splitting A=P-N: caso Jacobi. 
    » Splitting A=P-N: caso Gauss-Seidel. 
    » Convergenza di Jacobi/Gauss Seidel per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione). 
    » Convergenza di Gauss Seidel per matrici simmetriche definite positive (senza dimostrazione). 
    » Metodi iterativi e loro convergenza: esempio. 
    » Test di arresto. 
    » Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione. 
    » Legame tra soluzione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione). 
    » Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky. 
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky. 
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky: un esempio. 
    » Matrici rettangolari e fattorizzazione QR. 
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR. 
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR: un esempio. 
    » Matrici rettangolari e fattorizzazione SVD. 
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD. 
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio.



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