GEOMETRIA 2 2024-2025 - SCO2045514
Indice degli argomenti
-
Scopo del corso di Geometria 2 nel primo semestre (8 cfu, 6 h/s) è completare le conoscenze di Geometria 1, introducendo le nozioni fondamentali sugli oggetti geometrici di secondo grado (forme bilineari, quadratiche, coniche, quadriche). Gli strumenti introdotti e utilizzati rientrano nell'ambito dell'Algebra Lineare, e saranno usati in vari corsi (Analisi Matematica 2, corsi del terzo anno). Argomenti:
- richiami di geometria proiettiva/affine/euclidea;
- il primo argomento nuovo sara` lo studio delle forme bilineari e quadratiche, che generalizza e rende indipendente dalla base scelta la nozione di prodotto scalare; tutte le nozioni (ortogonalita`, decomposizioni e proiezioni ortogonali, basi ortogonali e ortonormali) saranno estese ad un ambiente piu` generale, in cui le funzioni non sono necessariamente definite positive [questi argomenti saranno poi usati in Analisi 2 per lo studio di massimi e minimi di funzioni di piu` variabili reali].
- il secondo argomento, geometria e classificazione di coniche e quadriche (gli oggetti piu` semplici dopo gli iperpiani: sono quelli definiti da equazioni di secondo grado) verra` svolto nelle geometrie proiettiva, affine, euclidea e sara` apprezzato solo avendo ottime basi per tutte, specie nel caso euclideo (si useranno matrici e riferimenti ortogonali per ottenere le equazioni canoniche e i vari invarianti: semiassi, fuochi,...).
- vedremo alcune applicazioni alla Grassmanniana delle rette e alle geometrie non-euclidee.
Scopo del corso di Geometria 2 nel secondo semestre (6cfu, 4 h/s) è introdurre le nozioni base di geometria differenziale (alla Gauss) e di topologia generale (alla Hausdorff). Si useranno strumenti provenienti dalla geometria precedente e dall'Analisi "uno e mezzo". Argomenti:
- si inizia lo studio della geometria differenziale delle curve immerse in R^n (lunghezza, curvatura, torsione, riferimenti ed equazioni di Frenet, teorema fondamentale di esistenza/unicità...),
- e delle superficie immerse in R^3 (regolarita`, forme fondamentali, mappe di Gauss e Weingarten, curvature, teorema egregium, curve sulle superficie e geodetiche...),
- si introducono le nozioni di base di topologia (aperti, chiusi, funzioni continue, assiomi di separazione, connessione, compattezza...), dando per nota la topologia degli spazi metrici fatta completamente in analisi, e infine si studia la classificazione topologica delle superficie reali compatte.
-
-
-
-
-
L'esame di Geometria 2 consiste nei due scritti (sulle parti dei due semestri) separatamente, e in un orale obbligatorio su tutto il programma.
Gli scritti possono essere superati con i compitini durante un semestre, oppure con gli appelli ufficiali (in ogni appello si può fare la prima parte, la seconda parte, o tutto, o niente).
La consegna di uno scritto su una parte del corso implica la rinuncia ad eventuali voti precedenti su quella parte.
Date dei compitini: novembre, gennaio; aprile, giugno.
Date degli appelli: gennaio, febbraio, giugno, luglio, agosto, settembre.
(gli orali si svolgono la settimana successiva agli scritti, in linea di massima)
Durante l'anno si useranno liste di iscrizione agli esami scritti su questa pagina moodle; dopo la fine del corso useremo liste su Uniweb; le liste di iscrizione per gli orali saranno sempre in questa pagina moodle.
-