GEOMETRIA 2 2024-2025 - SCO2045514
Topic outline
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Scopo del corso di Geometria 2 nel primo semestre (8 cfu, 6 h/s) è completare le conoscenze di Geometria 1, introducendo le nozioni fondamentali sugli oggetti geometrici di secondo grado (forme bilineari, quadratiche, coniche, quadriche). Gli strumenti introdotti e utilizzati rientrano nell'ambito dell'Algebra Lineare, e saranno usati in vari corsi (Analisi Matematica 2, corsi del terzo anno). Argomenti:
- richiami di geometria proiettiva/affine/euclidea;
- il primo argomento nuovo sara` lo studio delle forme bilineari e quadratiche, che generalizza e rende indipendente dalla base scelta la nozione di prodotto scalare; tutte le nozioni (ortogonalita`, decomposizioni e proiezioni ortogonali, basi ortogonali e ortonormali) saranno estese ad un ambiente piu` generale, in cui le funzioni non sono necessariamente definite positive [questi argomenti saranno poi usati in Analisi 2 per lo studio di massimi e minimi di funzioni di piu` variabili reali].
- il secondo argomento, geometria e classificazione di coniche e quadriche (gli oggetti piu` semplici dopo gli iperpiani: sono quelli definiti da equazioni di secondo grado) verra` svolto nelle geometrie proiettiva, affine, euclidea e sara` apprezzato solo avendo ottime basi per tutte, specie nel caso euclideo (si useranno matrici e riferimenti ortogonali per ottenere le equazioni canoniche e i vari invarianti: semiassi, fuochi,...).
- vedremo alcune applicazioni alla Grassmanniana delle rette e alle geometrie non-euclidee.
- si inizia lo studio della geometria differenziale delle curve immerse in R^n (lunghezza, curvatura, torsione, riferimenti ed equazioni di Frenet, teorema fondamentale di esistenza/unicità...),
Scopo del corso di Geometria 2 nel secondo semestre (6cfu, 4 h/s) è introdurre le nozioni base di geometria differenziale (alla Gauss) e di topologia generale (alla Hausdorff). Si useranno strumenti provenienti dalla geometria precedente e dall'Analisi "uno e mezzo". Argomenti:
- superficie immerse in R^3 (regolarita`, forme fondamentali, mappe di Gauss e Weingarten, curvature, teorema egregium, curve sulle superficie e geodetiche...),
- si introducono le nozioni di base di topologia (aperti, chiusi, funzioni continue, assiomi di separazione, connessione, compattezza...), dando per nota la topologia degli spazi metrici fatta completamente in analisi, e infine si studia la classificazione topologica delle superficie reali compatte.
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L'intelligenza artificiale cerca di studiare topologia:
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L'esame di Geometria 2 consiste nei due scritti (sulle parti dei due semestri) separatamente, e in un orale obbligatorio su tutto il programma.
Il primo semestre comprende: forme quadratiche, quadriche e coniche; curve differenziali;
Il secondo semestre comprende: superficie differenziali (e curve sulle superficie), topologia generale.
Gli scritti possono essere superati con i compitini durante un semestre, oppure con gli appelli ufficiali (in ogni appello si può fare la prima parte, la seconda parte, o tutto, o niente).
Nota: per la parte di geometria differenziale di curve e superficie è ammesso portare all'esame scritto un foglio protocollo con le formule di derivazione/integrazione e le formule ritenute utili dimostrate durante il corso.
Nota: per la parte di topologia è ammesso portare all'esame scritto una stampa della sezione "8.Tavole riassuntive" degli appunti di topologia in G&Te.
La consegna di uno scritto su una parte del corso implica la rinuncia ad eventuali voti precedenti su quella parte.
Date dei compitini: 25 novembre, 17 gennaio; 28 aprile, 12giugno.
Date degli appelli: 29 gennaio, 19 febbraio, 25 giugno, 14 luglio, 25 agosto, 12 settembre.
(gli orali si svolgono la settimana successiva agli scritti, in linea di massima)
Durante l'anno si useranno liste di iscrizione agli esami scritti su questa pagina moodle; dopo la fine del corso useremo liste su Uniweb; i risultati degli scritti e le liste di iscrizione per gli orali saranno sempre in questa pagina moodle.
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risultati complessivi delle prove parziali (aprile e 12 giugno) del secondo semestre:
la valutazione in 30-esimi e` quella complessiva delle due prove parziali (con voti >=16 si accede all'orale).
per vedere e ritirare gli elaborati: presso ufficio del docente in orario 8-10 o self-service.
Chi ha già i due voti sugli scritti e vuole sostenere l'orale con questi voti deve iscriversi alla lista uniweb specifica (lista orale pre-appelli), anche se intende sostenere l'orale in date successive [si può comunque cambiare idea e rifare qualche scitto]; per prenotare un giorno per sostenere l'orale, iscriversi alle liste sottostanti su questa pagina moodle (mettere una nota per problemi di orario e giornata).
Chi deve fare o rifare uno o più scritti si iscrive alle liste uniweb per gli scritti (in ogni data vi sono sia parte A sia parte B), e poi alle liste per l'orale in questa pagina moodle.
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Nel campo note si trovano le votazioni A:xx, B:xx in trentesimi per le parti A, B; si intende ammesso all'orale con punteggio >=16.
testi A e B; suggerimenti A e B.
I compiti sono disponibili davanti all'ufficio del docente.
I primi orali possibili sono il giorno 8 luglio (nella settimana fine giugno-inizio luglio sono irreperibile).
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