Topic outline

  • PROBABILITA' E STATISTICA 2022-2023

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    Docente

    Marco Formentin (marco.formentin@unipd.it), Ufficio 5BC8 in Torre Archimede, Quinto Piano, Corridoio BC

    Modalità e orario delle lezioni

    Lun 10:30-12:30
    Mar 10:30-12:30

    Le lezioni saranno in presenza in Aula EF4 (Ex Fiat).

    Ricevimento

    In ogni momento è possibile richiedere un ricevimento su appuntamento, scrivendo un'e-mail a marco.formentin@unipd.it.

    Esercizi settimanali e tutorato

    Ogni settimana - probabilmente partendo dalla seconda settimana - proporrò un nuovo foglio di esercizi che verrà risolto durante il tutorato. 

    Il tutorato si svolgerà ogni martedì, a partire dal 14 Marzo,  dalle 14:30 alle 16:30 in Aula EF9 (ex Fiat) e sarà tenuto dalla dottoressa Elisa Marini (elisa.marini@math.unipd.it).

    Testi di riferimento

    Seguirò da vicino la struttura di

    testo corso probabilità Quentin Berger, Francesco Caravenna e Paolo Dai Pra. Probabilità. Springer, 2021



    Un ottimo testo anche se meno "amichevole" del precedente, più sintetico e con approccio generale è il seguente

    Hans-Otto Georgii. Stochastics. Introduction to Probability and Statistics. Ed. de Gruyter, 2008



    Inoltre, alla fine di ogni settimana di corso, caricherò su Moodle gli appunti delle lezioni.

    Modalità d'esame

    L'esame consiste in una prova scritta con esercizi da risolvere e domande di teoria. Prima della fine del corso pubblicherò su Moodle una lista di risultati la cui dimostrazione è richiesta per l'esame. Tutti gli enunciati e le definizioni sono richieste per l'esame.

    È prevista la possibilità di superare l'esame sostenendo due prove parziali (compitini); in questo caso il voto finale sarà dato dalla media degli esiti delle due prove.

    Le date e gli orari dei compitini sono:

    PRIMO COMPITINO: 18 Aprile, 14:30-16:30, Aula EF9 e EF2;

    SECONDO COMPITINO: 6 Giugno, 14:30-16:30, Aula EF9 e EF3.

    Importante 1: il voto dei compitini resta valido fino al quinto appello compreso. Consegnando uno degli appelli si rinuncia al voto dei compitini.

    Importante 2: per registrare la media dei compitini come voto dell'esame sarà sufficiente iscriversi ad un appello e non presentarsi.


  • Presentazione del corso

    Contenuti. 

    (Prima parte) Spazi di probabilità discreti. Variabili aleatorie discrete: variabili uniformi, di Bernoulli, binomiali, geometriche e di Poisson. Variabili aleatorie indipendenti. Media, momenti e varianza di una variabile aleatoria. Disuguaglianze di Markov-Chebychev, di Jensen, di Cauchy-Schwarz. 

    (Seconda parte) Spazi di probabilità generali e sigma-algebra generata da una famiglia di eventi. Variabili aleatorie reali e sigma-algebra boreliana in R. Variabili aleatorie assolutamente continue. Teoremi limite classici: Legge dei Grandi Numeri, Teorema del Limite Centrale e loro applicazioni.

    Obiettivi. 

    Conoscenza dei concetti e degli strumenti di base della Probabilità e delle sue applicazioni.  

    Prerequisiti. 

    Successioni e serie numeriche, calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale.


    BUONO STUDIO!

  • SETTIMANA 1

    • Lezione 1 (27.02.2023) -  Introduzione al Corso. Spazio di probabilità: spazio campionario, eventi e probabilità.
    • Lezione 2 (28.02.2023) -  Proprietà della probabilità: probabilità del vuoto, additività finita e probabilità dell'evento complementare, monotonia, subadditività, formula di inclusione-esclusione (per due eventi e in generale per n eventi), continuità della probabilità.


    Riferimenti al testo: Sezione 1.1.1 e 1.1.2.

  • SETTIMANA 2

    • Lezione 3 (06.03.2023) -  Spazi di probabilità discreti: probabilità e densità discreta. Spazi di probabilità uniforme.
    • Lezione 4 (07.03.2023) -  Esercizi sugli argomenti delle lezioni 1, 2 e 3.


    Riferimenti al testo: Sezioni 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5.


  • SETTIMANA 3

    • Lezione 3 (13.03.2023) -  Introduzione al calcolo combinatorio. Fatti base. Il principio fondamentale del conteggio. Disposizioni con ripetizione. Esempi.
    • Lezione 4 (14.03.2023) -  Disposizioni semplici e permutazioni. Esempi. Il paradosso del compleanno. Combinazioni. Esempi.


    Riferimenti al testo: Da Sezione 1.2.1 a Sezione 1.2.5 inclusa.


  • SETTIMANA 4

    • Lezione 7 (20.03.2023) -  Esercizi di calcolo combinatorio. Estrazione con inserimento e senza reinserimento di palline da un'urna. Esempi/esercizi.
    • Lezione 8 (21.03.2023) -  Probabilità condizionata. Regola della catena. Formula delle probabilità totali. Formula di Bayes.


    Riferimenti al testo: Sezione 1.2.6. Sezione 1.3.1 e 1.3.2.


  • SETTIMANA 5

    • Lezione 9 (27.03.2023) -  Indipendenza di due eventi. Indipendenza vs causalità. Indipendenza di una famiglia arbitraria di eventi. Indipendenza vs indipendenza a coppie. Indipendenza e complementazione. Schema di prove ripetute indipendenti ed equiprobabili.
    • Lezione 10 (28.03.2023) -  Il paradosso di Borel (o della scimmia instancabile). Variabili aleatorie: definizione ed esempi.


    Riferimenti al testo: Sezione 1.3.3 e 1.3.4. Sezione 3.1.1 e 3.1.2. 


  • SETTIMANA 6

    • Lezione 11 (03.04.2023) -  Variabili aleatorie discrete: distribuzione e densità discreta. Costruzione canonica di una variabile aleatoria.
    • Lezione 12 (04.04.2023) -  Densità discrete congiunte e marginali. Indipendenza di variabili aleatorie. Caratterizzazione dell’indipendenza attraverso densità congiunta e densità marginali.


    Riferimenti al testo: Sezioni 3.1.3, 3.1.4, 3.1.5 e 3.1.6. Sezioni 3.2.1, 3.2.2.


  • SETTIMANA 7

    • Lezione 13 (17.04.2023) -  Proprietà dell'indipendenza. Costruzione di variabili aleatorie indipendenti. La media di variabili aleatorie discrete.

    Riferimenti al testo: Sezioni  3.2.4 e 3.2.5. Sezione 3.3.1.

  • SETTIMANA 8

    • Lezione 15 (01.05.2023) -  Proprietà della media. Media ed indipendenza. Definizione degli spazi Lp. Momento k-esimo di variabili aleatorie.


    Riferimenti al testo: Sezioni  3.3.2 e 3.3.3. 


  • SETTIMANA 9

    • Lezione 16 (08.05.2023) - Covarianza e varianza: proprietà della varianza.  Indipendenza e scorrelazione. Varianza di una somma di variabili aleatorie indipendenti. Funzione generatrice dei momenti: definizione, teorema di caratterizzazione e funzione generatrice di somme di variabili indipendenti.
    • Lezione 17 (09.05.2023) -  Variabili aleatorie discrete notevoli e loro principali proprietà: Bernoulli, binomiali, Poisson. Poisson come limite di una binomiale.

     Riferimenti al testo: Sezioni 3.3.3 e 3.3.4. Sezione 3.4.5. Sezioni 3.5.2, 3.5.3, 3.5.5.

  • SETTIMANA 10

    • Lezione 18 (15.05.2023) - Somma di Poisson indipendenti è ancora Poisson. La geometrica. Interpretazione come probabilità di primo successo. probabilità di lunga attesa. Mancanza di memoria della geometrica.
    • Lezione 19 (16.05.2023) -  Funzione di ripartizione. Massimi e minimi di variabili casuali indipendenti. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Chebyshev.  Disuguaglianza di Jensen.

     Riferimenti al testo:  Sezione 3.3.5. Sezioni 3.4.1, 3.4.2 e 3.4.4. Sezioni 3.5.5 e 3.5.6.

  • SETTIMANA 11

    • Lezione 20 (22.05.2023) - Introduzione agli spazi di probabilità generali. Sigma-algebre: definizione, proprietà ed esempi.
    • Lezione 21 (23.05.2023) - Spazi di probabilità generali. Costruzione canonica sui reali. Variabili aleatorie generali.
    • Lezione 22 (25.05.2023) - Variabili aleatorie assolutamente continue: definizione, legame tra densità e funzione distribuzione, indipendenza. Esempi.

     Riferimenti al testo:  Capitolo 5 tutto. Sezioni 6.1 e 6.2.

  • SETTIMANA 12

    • Lezione 23 (29.05.2023) - Variabili aleatorie Uniformi, Gamma, Esponenziali. Definizione e proprietà.  Convoluzione di variabili aleatorie.Variabili Normali/Gaussiane, loro media e varianza. 
    • Lezione 24 (30.05.2023) - Proprietà delle variabili Normali. Uso delle tavole numeriche della Gaussiana standard. Esempi ed esercizi.
    • Lezione 25 (01.06.2023) - Legge dei Grandi Numeri. Enunciato; validità della legge sotto varie ipotesi; dimostrazione della legge in L2. Teorema del Limite Centrale: enunciato ed esempi.

     Riferimenti al testo:  Capitolo 6, sezioni 6.3.1, 6.3.2, 6.3.3 e 6.3.4. Capitolo 7, sezioni 7.1.1 e 7.2.1.

  • SETTIMANA 13

    • Lezione 25 (5.06.2023) - Metodo Monte Carlo per il calcolo di integrali. Esempi. Esercizi. Esercizi di ripasso.
    • Lezione 26 (6.06.2023) - Esercizi di ripasso.

     Riferimenti al testo:  Capitolo 7, sezione 7.1.2.