ALGEBRA LINEARE (Ult. numero di matricola dispari)-SCP4063450-2022-2023
Weekly outline
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Libri di testo:
E. Gregorio, L. Salce. Algebra Lineare. Edizioni Libreria Progetto Padova. ISBN 978-8887331752
(Disponibile ad esempio presso le Librerie Progetto a Padova)
A. Tonolo. Algebra Lineare (appunti: corretto Ex. 2.3.7, corretta pag. 6)
Appelli anni precedenti:
2018-2019: 1 appello Tema 1, 1 appello Tema 2, 2 appello, 3 appello, 4 appello, 5 appello
2019-2020: 1 appello Tema 1, 1 appello Tema 2, 2 appello Tema 1, 2 appello Tema 2
2020-2021: 1 appello Tema 1, 1 appello Tema 2, 2 appello, 3 appello, 4 appello, 5 appello
2021-2022: 1 appello, 2 appello, 3 appello, 4 appello, 5 appello
Video:
Prodotto di matrici
Decomposizione LU video 1
Decomposizione LU video 2
Sistema lineare dipendente da parametro
Diagonalizzazione di una matrice
Diagonalizzazione di una matrice dipendente da parametro
Intersezione di sottospazi
Somma diretta
Spazio delle righe e spazio delle colonne di una matrice
Decomposizione QR
Unitaria diagonalizzabilità 1
Unitaria diagonalizzabilità 2
Matrici del cambiamento di base
Matrice associata ad una applicazione lineare. Come cambia al cambiare delle basi?-
Opened: Friday, 18 November 2022, 2:17 PMClosed: Tuesday, 22 November 2022, 11:17 PM
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Lezione 1 (5 ottobre). Introduzione al corso. Insiemi numerici. I numeri complessi: parte reale, parte immaginaria, coniugato, modulo. Reciproco di un numero complesso non nullo. Registrazione
Lezione 2 (7 ottobre) Soluzione delle equazioni di secondo grado a coefficienti complessi. Teorema fondamentale dell'algebra: scomposizione di ogni polinomio nel prodotto di polinomi di primo grado. Piano di Gauss. Complessi di modulo 1. Notazione trigonometrica per i numeri complessi. Prodotti e potenze di numeri complessi in notazione trigonometrica. Radici \(n\)-esime dell'unità.
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Lezione 3 (14 ottobre). Matrici, matrice trasposta, matrice trasposta hermitiana. Matrice simmetrica e matrice hermitiana. Somma tra matrici. Prodotto di un numero complesso per una matrice. Prodotto tra matrici. Registrazione.
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Lezione 4 (17 ottobre). Moltiplicazione di matrici: proprietà. Non vale la proprietà commutativa! Trasposta e trasposta hermitiana di una somma di matrici, della trasposta (hermitiana) di una matrice, del prodotto di uno scalare per una matrice, del prodotto di due matrici. Matrici identità e matrici invertibili. Inversa di un prodotto di matrici. Inversa della trasposta (hermitiana) di una matrice invertibile. Matrici ripartite: leggere anche pagina 14 della dispensa disponibile su Moodle. Registrazione
Video su prodotto di matrici. Appunti su prodotto di matrici ripartite.
Lezione 5 (19 ottobre). Matrici elementari. Pre-moltiplicazione e post-moltiplicazione per matrici elementari. Forma a scala di una matrice. Registrazione
Lezione 6 (21 ottobre). Decomposizione LU di una matrice. Rango di una matrice. Colonne dominanti di una matrice. Una matrice quadrata \(n\times n\) è invertibile se e solo se ha rango \(n\). Esempio di calcolo dell'inversa di una matrice \(2\times 2\). Registrazione
Video su decomposizione LU - Secondo Video su decomposizione LU
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Opened: Wednesday, 19 October 2022, 10:56 AMClosed: Thursday, 20 October 2022, 11:59 PM
Che ne dite di fissare il ricevimento online il venerdì alle 14:00?
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Lezione 7 (24 ottobre). Calcolo dell'inversa di una matrice. Sistemi lineari e decomposizione LU: matrice completa e incompleta di un sistema, incognite dominanti, un sistema è risolubile se e solo se l'ultima colonna non è dominante, insieme delle soluzioni di un sistema lineare. Registrazione
Lezione 8 (26 ottobre). Teorema di Rouché Capelli. Sistemi lineari dipendenti da parametri. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare risolubile. Registrazione
Video Sistema Lineare dipendente da parametro
Lezione 9 (28 ottobre). Decomposizione a rango pieno. Determinante di una matrice. Registrazione
Appunti ricevimento studenti
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Lezione 10 (2 novembre). Determinante e matrici elementari. Una matrice quadrata ha determinante diverso da zero se e solo se ha rango massimo. Matrice aggiunta.
Purtroppo per un non meglio specificato problema tecnico la registrazione non è disponibile.
Lezione 11 (4 novembre). Aggiunta e inversa. Righe e colonne linearmente indipendenti. Combinazione lineare di righe o di colonne. Le colonne dominanti di una matrice sono linearmente indipendenti e le altre colonne si ottengono come loro combinazione lineare. Il rango di una matrice è uguale al massimo numero di righe linearmente indipendenti che è uguale al massimo numero di colonne linearmente indipendenti. Volpi e galline. Potenze di matrici. Una possibile strategia. Registrazione
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Lezione 12 (9 novembre). Autovettori, autovalori, polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Una matrice è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore la molteplicità geometrica e quella algebrica coincidono. In generale la molteplicità geometrica è compresa tra 1 e quella algebrica. Registrazione
Lezione 13 (11 novembre). Diagonalizzabilità di una matrice. Come trovare gli autovettori associati ad un autovalore. Esempi ed esercizi. Registrazione
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Lezione 14 (16 novembre). Matrici simili. Proprietà comuni a matrici simili. Se \(A\) è una matrice diagonalizzabile, allora è invertibile se e solo se gli autovalori sono diversi da zero In tal caso anche \(A^{-1}\) è diagonalizzabile; gli autovettori di \(A^{-1}\) sono gli stessi di \(A\), mentre gli autovalori sono gli inversi degli autovalori di \(A\). Volpi e galline. Diagonalizzazione di una matrice dipendente da parametro. Registrazione
Video sulla diagonalizzabilità di una matrice dipendente da parametro
Lezione 15 (18 novembre). Spazi vettoriali. Dipendere linearmente da una famiglia di vettori. Combinazione lineare di vettori. Sottospazi. Intersezione di sottospazi è un sottospazio. L'unione di due sottospazi in generale non è un sottospazio. Spazi finitamente generati. Registrazione.
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Lezione 16 (23 novembre). Sgonfiare un sistema di generatori. Gonfiare una famiglia di vettori linearmente indipendenti. Base di uno spazio vettoriale finitamente generato. Due basi hanno lo stesso numero di elementi. Dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato. Coordinate di un vettore rispetto ad una base (targa). Registrazione.
Lezione 17 (25 novembre). Basi di uno spazio vettoriale. Insiemi di generatori minimali e insiemi di vettori linearmente indipendenti massimali. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Spazio delle righe e spazio delle colonne di una matrice. Come determinare una base dello spazio delle righe ed una dello spazio delle colonne di una matrice conoscendone una forma a scala di Gauss. Somme di sotttospazi ed intersezione di sottospazi. Registrazione
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Lezione 18 (28 novembre). Esercizi su intersezione di sottospazi, calcolo delle coordinate di un vettore rispetto ad una base, dimensione dello spazio delle righe e dello spazio delle colonne di una matrice. Prodotto hermitiano di due vettori di \(\mathbb C^n\): proprietà ed esempi. Lunghezza di un vettore di \(\mathbb C^n\). Registrazione
Lezione 19 (30 novembre). Ortogonalità e ortonormalità. Ortogonale di sottoinsiemi di \(\mathbb C^n\). Coordinate di un vettore rispetto ad una base ortonormale. Se \(U\) è un sottospazio di \(\mathbb C^n\), allora \(\mathbb C^n=U\oplus U^\perp\). Registrazione La registrazione non e’ utilizzabile: dopo 12 secondi dall’inizio si e’ interrotta. Non capisco come possa essere successo. Scusatemi.
Lezione 20 (2 dicembre). Se \(U\) è sottospazio di \(\mathbb C^n\), ogni vettore di \(\mathbb C^n\) si scrive in modo unico come somma di un vettore di \(U\) ed no di \(U^\perp\). Calcolo della proiezione ortogonale di un vettore su uno spazio. Proiezione di un vettore su \(U\) come miglior possibile approssimazione con un vettore di \(U\). Algoritmo di Gram-Schmidt e decomposizione \(Q_0R_0\) di una matrice. Registrazione
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Lezione 21 (5 dicembre). Algoritmo di Gram Schmidt e decomposizione QR. Esercizi. Matrice della proiezione ortogonale: \(QQ^H\). Registrazione
Lezione 22 (7 dicembre). Decomposizione QR e proiezione ortogonale. Risoluzione approssimata di un sistema lineare. Matrici unitarie. Registrazione
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Lezione 23 (12 dicembre). Matrici unitarie, matrici normali, matrici hermitiane, matrici antihermitiane. Unitaria diagonalizzabilità: definizione. Teorema spettrale. Procedura per determinare una matrice unitaria che diagonalizza una matrice normale. Registrazione
Lezione 24 (14 dicembre). Unitaria diagonalizzabilità. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Nucleo di una applicazione lineare. Registrazione
Lezione 25 (16 dicembre). Immagine di una applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Applicazionone lineare indotta da una matrice. Registrazione
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Lezione 26 (21 dicembre). Modi per definire una applicazione lineare. Matricer associata ad una applicazione lineare rispetto a prefissate basi su dominio e codominio. Come calcolare nucleo e immagine di na applicazione lineare usando la matrice associata rispetto a prefissate basi. La matrice del cambiamento di base. Registrazione
Anticipazione di quanto faremo nella prima lezione dell'anno nuovo:
Lezione 27 (11 gennaio). Matrice della composizione di due applicazioni lineari. Come cambia la matrice di una applicazione lineare al cambiare delle basi. Esercizi. Registrazione
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Lezione 27 (11 gennaio). Matrice della composizione di due applicazioni lineari. Come cambia la matrice di una applicazione lineare al cambiare delle basi. Esercizi. Registrazione
Esercitazione (13 gennaio). Esercizi. Registrazione
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