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load dati_pressione.mat

%% Verifica del legame tra coefficiente di correlazione lineare e regressione lineare semplice

x = pressione_sistolica;
y = pressione_diastolica;

% Calcolo il coefficiente di correlazione lineare di Pearson tra x e y
% mediante stimatore campionario
R = corr([x y]); % corr mi dà in uscita una matrice di correlazione
r = R(1,2); % estraggo il coefficiente di correlazione che mi interessa

% Applico la regressione lineare semplice avente y come uscita e x come
% variabile indipendente
n = length(x);
X = [ones(n,1) x];
beta_hat = (X'*X)\X'*y;

% Coefficiente beta associato a x
beta1 = beta_hat(2);

% Verifico che beta1*sx/sy è equivalente a r
beta1*std(x)/std(y)
r

% Calcolo R2 e verifico che R2 è uguale a r2
SST = sum((y-mean(y)).^2);
residui = y - X*beta_hat;
SSE = sum(residui.^2);
R2 = 1-SSE/SST
r^2

%% Regressione lineare multipla
% Y = pressione diastolica
% X1 = pressione sistolica, X2 = età

y = pressione_diastolica;
x1 = pressione_sistolica; 
x2 = eta;

% Stima dei coefficienti di regressione
X = [ones(n,1) x1 x2]; 
beta_hat = (X'*X)\X'*y;

% Calcolo R2
SST = sum((y-mean(y)).^2);
residui = y - X*beta_hat;
SSE = sum(residui.^2);
R2 = 1-SSE/SST;

% Uscita predetta
y_hat = X*beta_hat;

% Verifico che R2 è uguale al coefficiente di correlazione lineare tra
% l'uscita e l'uscita predetta
R = corr([y y_hat]);
r = R(1,2);
r^2
R2